浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 等差数列满足，公差为2，则（ ）
A. 96B. 90C. 84D. 78
3. 已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.04B. 0.48C. 0.5D. 0.96
5. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ）

A. B. C. 2D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数是偶函数的是（ ）
A B.
C. D.
10. 设，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确是（ ）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 的最小值为
C. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆交点
D. 若，，，（为坐标原点）四点共圆，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________．
13. 已知，，均平面单位向量，且两两夹角为120°，则____．
14. 圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）证明：平面．
（2）若为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为．
（1）当切线与直线垂直时，求实数的值；
（2）当时，求的最大值．
18. 已知在椭圆：上，的左焦点在抛物线的准线上，为的左顶点，直线，分别与另交于，两点，直线，的斜率之积为.
（1）求的方程；
（2）求面积的最大值.
19. 已知数列满足，，成公差为1的等差数列，且满足，，成公比为的等比数列；的数列满足，，成公比为的等比数列，且满足，，成公差为1的等差数列．
（1）求，．
（2）证明：当时，．
（3）是否存在实数，使得对任意，？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．