2023-2024学年广西钦州市浦北县高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西钦州市浦北县高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs2040°=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
2.已知曲线C1：y=sinx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是( )
A. 将曲线C1向左平移2π3个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线C2
D. 将曲线C1向左平移π3个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2
3.作用于原点的两个力F1=(1,1)，F2=(2,3)，为使它们平衡，需加力F3等于( )
A. (3,4)B. (1,2)C. (−3,−4)D. (2,3)
4.已知锐角α、β是△ABC的两个角，且sinα、tanβ是方程2x2−3x+1=0的两根，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形或钝角三角形
C. 钝角三角形D. 等边三角形
5.折扇图1在我国已有三千多年的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化.图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l1，C，D间的圆弧长为l2=12l1，当弦长AB为d=2 3，圆弧所对的圆心角为θ=2π3，则扇面字画部分的面积为( )
A. πB. 4π3C. 2π3D. π3
6.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则BF=( )
A. 34AB+14AD
B. −14AB+12AD
C. 12AB+AD
D. 34AB+14AD
7.探索如图所呈现的规律，判断2015至2017箭头的方向是( )
A. B. C. D.
8.将函数f(x)=cs2x的图象向右平移π6个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ω(ω>1)，得到函数g(x)的图象，若在区间[0,π)内有5个零点，则ω的取值范围是( )
A. 2312≤ω<2912B. 2312<ω≤2912C. 2912≤ω<3512D. 2912<ω≤3512
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知sin(π+α)=−12，则下列计算正确的是( )
A. sin(5π−α)=12B. sin(π2+α)= 32
C. cs(α−3π2)=−12D. tan(π2−α)= 3
10.下列命题中错误的是( )
A. |a+b|≤|a|+|b|
B. 若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
C. 若a⋅b=a⋅c，则b=c
D. 若△ABC是等边三角形，则〈AB,BC〉=2π3
11.已知函数f(x)=sinx+csx+|sinx−csx|2，则下列结论正确的有( )
A. f(x)的最小正周期是2πB. f(x)的最小值是−1
C. f(x)的对称轴是x=π4+kπ，k∈ZD. f(x)在[π2,3π4]上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的终边经过点P(1,−2)，求csα= ______．
13.已知f(x)=tanx(ex+e−x)+6，f(t)=8，则f(−t)= ______．
14.如图，在△ABC中，AD⋅BC=0，BC=3BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若AM=λAB，AN=μAC(λ>0,μ>0)，则λ+2μ的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a= 2,B=60°．
(1)若C=75°，求b的值；
(2)若b= 14，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知平面直角坐标系内存在三点：A(1,5)，B(7,8)，C(5,2)．
(1)求cs∠BAC的值；
(2)若平面上一点P满足：AP//CB，CP⊥AB，求点P的坐标．
17.(本小题15分)
已知向量|a|=1,|b|=2．
(1)若向量a,b的夹角为120°，求a⋅b的值；
(2)若|a+b|= 5，求|2a−3b|的值；
(3)若a⋅(a−b)=0，求a,b的夹角．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin(−2x+π4)−1．
(1)求函数f(x)的对称轴，对称中心以及单调减区间；
(2)求y=f(x)在[−π4,π4]上的最值及对应的x的值．
19.(本小题17分)
如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮做逆时针匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度是关于t的函数f(t)=Asin(ωt+φ)+h(其中A>0，ω>0，|φ|<π)，求函数f(t)解析式及40min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面(60+25 3)m及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：cs2040°=cs(6×360°−120°)=cs(−120°)=cs120°=−12．
故选：C．
由题意，根据诱导公式化简即可得所求结果．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：C2：y=sin(2x+2π3)=sin[2(x+π3)]，
先把C1：y=sinx上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得到函数y=sin2x的图象，
再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到y=sin[2(x+π3)]，即曲线C2．
故选：B．
将曲线C2的方程化为y=sin[2(x+π3)]，再根据函数图象平移和伸缩变换的原则，即可得解．
本题考查三角函数图象的变换，理解函数图象平移和伸缩变换的原则是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知，F3+F1+F2=0，
则F3=−(F1+F2)=(−3,−4)．
故选：C．
结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算法则，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为sinα、tanβ是方程2x2−3x+1=0的两根，且α、β是锐角，
所以sinα=1(舍)，tanβ=12或sinα=12，tanβ=1，
故α=30°，β=45°，则第三个角为105°．
故选：C．
结合方程先求出sinα=12，tanβ=1，进而可求出α，β，从而可求．
本题主要考查了三角形状的判断，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：记OA=R，如图所示，
在△OAB中，因为OA=OB=R，AB=2 3，∠AOB=θ=2π3，
所以12ABR=sinπ3，即 3R= 32，解得R=2；
又l2=12l1，即OD⋅2π3=12×OB⋅2π3，
所以OC=OD=12R=1，
所以扇面字画部分的面积为：
S=12θ⋅OA2−12θ⋅OC2=12×2π3⋅(22−12)=π．
故选：A．
利用等腰三角形求得扇形半径OB，然后得出小扇形半径OD，再由扇形面积公式计算．
本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题可知AD=BC，BE=12BA，CF=12CE，
则BF=BC+CF=AD+12CE=AD+12(BE−BC)=AD+12(12BA−AD)=AD−14AB−12AD=12AD−14AB，
故选：B．
根据题意BF=BC+CF，再结合AD=BC，CF=12CE进行替换即可．
本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，由数字取值的规律可知数字的箭头方向具有周期性，周期为8．
则2015到2017的箭头方向和3到5的箭头方向相同，
故选：D．
根据题意，由数字取值的规律可知数字的箭头方向具有周期性，利用周期性确定2015到2017的箭头的方向，即可得答案，
本题考查归纳推理的应用，利用数字规律得到数字排列的周期性是解决本题的关键，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：将函数f(x)=cs2x的图象向右平移π6个单位长度，得到f(x−π6)=cs[2(x−π6)]=cs(2x−π3)的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ω(ω>1)，得到函数g(x)=cs(2ωx−π3)的图象．
x∈[0,π)时，2ωx−π3∈[−π3,2ωπ−π3),
y=csx在y轴右方的零点为x=π2,3π2,5π2,7π2,9π2,11π2,⋯
因为函数g(x)的图象在区间[0,π)内有5个零点，
所以9π2<2ωπ−π3≤11π2，解得2912<ω≤3512．
故选：D．
根据三角函数图象的平移变换可得g(x)=cs(2ωx−π3)，再根据余弦函数的图象可得9π2<2ωπ−π3≤11π2，求解即可．
本题主要考查了余弦函数图象的变换及函数零点存在条件的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：依题意，sin(π+α)=−sinα=−12,sinα=12，
所以csα=± 1−sin2α=± 32，
所以sin(5π−α)=sinα=12，A选项正确；
sin(π2+α)=csα=± 32，B选项错误；
cs(α−3π2)=−sinα=−12，C选项正确．
tan(π2−α)=sin(π2−α)cs(π2−α)=csαsinα=± 3，D选项错误．
故选：AC．
根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案．
本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由向量模的性质可知，|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b同向共线时，等号成立，故A正确；
向量不能比较，故B错误；
a⋅b=a⋅c，
则a⋅(b−c)=0，当a，b−c垂直时，等式也成立，故C错误；
△ABC是等边三角形，
则∠ABC=π3，
故〈AB,BC〉=2π3，故D正确．
故选：BC．
根据已知条件，结合向量模的性质，以及向量垂直的性质，向量夹角的定义，即可依次求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x+2π)=sin(x+2π)+cs(x+2π)+|sin(x+2π)−cs(x+2π)|2
=sinx+csx+|sinx−csx|2=f(x)
且f(x+π)=sin(x+π)+cs(x+π)+|sin(x+π)−cs(x+π)|2
−sinx−csx+|−sinx+csx|2≠f(x)，
故f(x)的最小正周期是2π，A正确；
B选项，当sinx≥csx，即x∈[π4+2k1π,5π4+2k1π],k1∈Z时，
f(x)=sinx+csx+|sinx−csx|2=sinx，
当x=5π4+2k1π,k1∈Z时，f(x)取得最小值，最小值为− 22，
当sinxf(x)=sinx+csx+|sinx−csx|2=csx>− 22，
故f(x)的最小值为− 22，B错误；
C选项，因为f(x+π2+2kπ)=sin(x+π2+2kπ)+cs(x+π2+2kπ)+|sin(x+π2+2kπ)−cs(x+π2+2kπ)|2
=csx−sinx+|csx+sinx|2，
f(−x)=sin(−x)+cs(−x)+|sin(−x)−cs(−x)|2=−sinx+csx+|−sinx−csx|2
=csx−sinx+|csx+sinx|2，
故f(x+π2+2kπ)=f(−x)，f(x)的对称轴是x=π4+kπ，k∈Z，C正确；
D选项，画出函数图象，可以看出函数在[π2,3π4]上单调递减，D正确．
故选：ACD．
A选项，计算出f(x+2π)=f(x)，f(x+π)≠f(x)，得到函数的最小正周期；B选项，分sinx≥csx和sinx本题主要考查了函数图象的变换，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】 55
【解析】解：由题意，csα=1 1+4= 55．
故答案为： 55．
根据任意角余弦函数的定义，可得答案．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13.【答案】4
【解析】解：f(x)=tanx(ex+e−x)+6，f(t)=8，
所以f(−x)+f(x)=tanx(ex+e−x)+6−tanx(ex+e−x)+6=12，
因为f(t)=8，
所以f(−t)=4．
故答案为：4．
由已知代入可得f(−x)+f(x)=12，然后代入即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是发现f(t)+f(−t)=12的规律．
14.【答案】83
【解析】解：MB=MD+DB=(1−λ)AB
M，D，N三点共线，∴存在实数k，使MD=kMN=−kλAB+kμAC，DB=13CB=13AB−13AC；
∴(13−kλ)AB+(kμ−13)AC=(1−λ)AB
∴13−kλ=1−λ，kμ−13=0，
∴μ=λ3λ−2，
∴λ+2μ=λ+2λ3λ−2
设f(λ)=λ+2λ3λ−2，λ>0；
∴f′(λ)=9λ2−12λ(3λ−2)2，令f′(λ)=0得，λ=0，或43；
∴λ∈(0,43)时，f′(λ)<0，λ∈(43,+∞)时，f′(λ)>0；
∴λ=43时，f(λ)取极小值，也是最小值；
∴f(λ)的最小值为83；
即λ+2μ的最小值为83．
故答案为：83．
先确定λ，μ的关系，再利用导数法，即可求出λ+2μ的最小值．
考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，通过求导求函数的最小值的方法及过程．
15.【答案】解：(1)a= 2,B=60°，C=75°，
则A=45°，
由正弦定理得asinA=csinC=bsinB，
所以 2 22=b 32，
所以b= 3；
(2)b= 14，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
所以14=2+c2− 2c，
解得c=3 2，
△ABC的面积S=12bcsinA=12× 2×3 2× 32=3 32．
【解析】(1)先求解A，然后由已知结合正弦定理即可求解b，
(2)由余弦定理可求c，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)A(1,5)，B(7,8)，C(5,2)，
则AB=(6,3)，AC=(4,−3)，
故AB⋅AC=24−3×3=15，|AB|= 62+32=3 5，|AC|= 42+(−3)2=5，
故cs∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=153 5×5= 55；
(2)CB=(2,6)，
∵AP//CB，
∴可设AP=tCB=(2t,6t)(t∈R)，
∴CP=AP−AC=(2t−4,6t+3)，
∵CP⊥AB，
∴CP⋅AB=6(2t−4)+3(6t+3)=0，解得t=12，
∴CP=(−3,6)，
设P(x,y)，
则CP=(x−5,y−2)，即x−5=−3y−2=6，解得x=2y=8，
故P(2,8)．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量的数量积运算，向量模公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解；
(2)根据已知条件，先设出AP，再结合向量垂直的性质，求出t，结合向量的坐标运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|cs120°=1×2×(−12)=−1；
(2)因为|a+b|= 5，
所以(a+b)2=5，即|a|2+2a⋅b+|b|2=5，所以1+2a⋅b+4=5，解得a⋅b=0，
所以|2a−3b|= (2a−3b)2= 4a2−12a⋅b+9b2= 4×1−0+9×4=2 10；
(3)因为a⋅(a−b)=0，
所以a2−a⋅b=|a|2−|a|⋅|b|cs=0，
即1−1×2×cs=0，
所以cs=12，即=π3，
故a,b的夹角为π3．
【解析】(1)根据平面向量数量积的定义，即可得解；
(2)将|a+b|= 5两边平方，可推出a⋅b=0，再由|2a−3b|= (2a−3b)2，结合平面向量数量积的运算法则展开运算，即可；
(3)由a⋅(a−b)=0，可得|a|2−|a|⋅|b|cs=0，代入数据运算即可．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量数量积的运算法则和模长的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=2sin(−2x+π4)−1=−2sin(2x−π4)−1，
令2x−π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=3π8+kπ2,k∈Z，
令2x−π4=kπ,k∈Z，解得x=π8+kπ2，k∈Z，
故对称中心为(π8+kπ2,−1)(k∈Z)，
令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z，
故f(x)的单调减区间为[−π8+kπ,3π8+kπ],k∈Z；
(2)∵x∈[−π4,π4]，
∴2x−π4∈[−3π4,π4]，
当2x−π4=−π2，即x=−π8时，f(x)的最大值为(−2)×(−1)−1=1，
当2x−π4=π4，即x=π4时，f(x)的最小值为(−2)× 22−1=− 2−1；
【解析】(1)根据已知条件，先对f(x)变形，再结合正弦函数的性质，依次求解；
(2)根据已知条件，先求出2x−π4的取值范围，再结合正弦函数的有界性，即可求解．
本题主要考查正弦函数的性质，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意知，A=50，h=60，T=30，
所以2π|ω|=30，又ω>0，所以ω=π15，
即f(t)=50sin(π15t+φ)+60，
又摩天轮上的点p的起始位置在最低点处，即f(0)=10，
所以50sinφ+60=10，
即sinφ=−1，又|φ|<π，所以φ=−π2，
所以f(t)=50sin(π15t−π2)+60=−50csπ15t+60，
当t=40时，f(40)=50sin(40π15−π2)+60=85，
所以40min时点P距离地面的高度为85m．
(2)因为从最低处开始到达高度为(60+25 3)m刚好能看到全貌，经过最高点再下降至(60+25 3)m时又能看到全貌，
由(1)知f(t)=−50csπ15t+60≥60+25 3，
得−csπ15t≥ 32，即csπ15t≤− 32，
解得5π6+2kπ≤πt15≤7π6+2kπ，k∈Z，
所以在每个周期内，252+30k≤t≤352+30k，k∈Z，
又352+30k−(252+30k)=5，
所以游客在游玩过程中共有5min可以看到公园的全貌．
【解析】(1)根据题意得到振幅，最小正周期，求出ω，由f(0)=10求出φ，即可得到函数解析式；
(2)结合题意可得从最低处开始到达高度为(60+25 3)m刚好能看到全貌，经过最高点再下降至(60+25 3)m时又能看到全貌，列不等式求解即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．