2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之方程与不等式练习附解析

这是一份2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之方程与不等式练习附解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A．x+y=250x+10y=30B．x−y=250x+10y=30
C．x+y=210x+50y=30D．x+y=210x+30y=50
2．若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≤1B．a≥1
C．a≥−1且a≠0D．a≤1且a≠0
3．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，根据题意可列方程为（ ）
A．12(x−4.5)=x−1B．2x−1=x+4.5
C．12(x+4.5)=x−1D．12(x+4.5)=x+1
4．解不等式1+4x3>x−1，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（ ）
A．36x+8−30x ＝1B．30x−36x+8 ＝1
C．36x−30x+8 ＝1D．30x+8−36x ＝1
6．当0＜x＜1时，x2、x、 1x 的大小顺序是（ ）
A．x27．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若aC．若a8．股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（ ）
A．(1+10％)(1−x)2=1B．(1−10％)(1+x)2=1
C．(1−10％)(1+2x)=1D．(1+10％)(1−2x)=1
9．若关于x的分式方程x−ax−1−3x=1无解，则a的值为（ ）
A．－2B．1C．－2或1D．1或0
10．若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=(t+1)x2+(t+2)x+s（s，t为常数，t≠−1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（ ）
A．s<−1B．s<0C．0二、填空题
11． 若a，b是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则代数式a2−b+3的值为 ．
12．若关于x的不等式组x−12≤2x+36x+1>a+3有解，关于y的分式方程a+1y−2+32−y=2有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为 .
13．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 。
14．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是几步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
15．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
三、计算题
16． 解方程 4x2−2x+x2−x=−1
17．解不等式组：x>x+235x−3<5+x．
四、解答题
18．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
19．根据以下素材，探索完成任务．
20．我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费y（元）与用水量x(m3)关系如图.
根据图表信息，解答下列问题：
（1）小南家2022年用水量为400m3，共缴水费1168元.求a，k及线段AB的函数表达式.
（2）小南家2023年用水量增加，共缴水费1516.4元，求2023年小南家用水量.
五、实践探究题
21．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：”
（1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
（2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
（3）3班的学生人数为a(a>40)，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由．
22．综合与实践
【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知3件深薯和4件爆皮王番薯进货价为340元，4件深薯和5件爆皮王番薯进货价为440元．
（1）【深入探究】
分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价；
（2）【问题解决】
某特产店计划用不超过10440元购进深薯、爆皮王番薯共200件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的32，该特产店有哪几种进货方案?
（3）若该特产店每件深薯售价为90元，每件爆皮王番薯售价为65元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元?
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，由题意，则有
x+y=250x+10y=30 ，
故答案为：A．
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，b2−4ac≥0时，方程有实数根；
∴(−2)2−4a≥0，
解得：a≤1，
∴a≤1且a≠0，
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得12(x+4.5)=x−1，
故答案为：C
【分析】设木长x尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”即可列出方程，进而即可求解。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：1+4x3>x−1
去分母得：1+4x＞3（x-1），
去括号的：1+4x＞3x-3，
移项，合并同类项得：x＞-4，
在数轴上表示解集，如下图：
故答案为：D.
【分析】先解不等式，再在数轴上表示出相应的解集.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，
根据题意得： 30x−36x+8 ＝1．
故答案为：B．
【分析】设她上月买了x本笔记本，则她本月买了（x+8）本笔记本，根据单价＝总价÷数量结合每本比上月便宜1元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜ 1x ，
又∵x＜1，
∴x2、x、 1x 的大小顺序是：x2＜x＜ 1x ．
故选（A）
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 am ＞ bm ．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、若aB、若a+cC、若aD、若ac2故答案为： C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设x为平均每天下跌的百分率，
则：（1+10%）•（1-x）2=1；
故答案为：A.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：将原方程去分母整理得，（a＋2）x＝3
当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝﹣2
当a＋2≠0时，要使分式方程无解，则方程的根为增根，即x＝0或x＝1
把x＝0代入（a＋2）x＝3，此时无解；
把x＝1代入（a＋2）x＝3，解得a＝1
综上所述，a的值为1或﹣2
故答案为：C
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再分两种情况：当a＋2＝0时，可求出a=-2；当a＋2≠0时，求出x=0或x=1，再将x的值代入计算即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：将(k，2k)代入二次函数，得：2k =(t+1) k2+(t+2) k+s，
整理得：(t+1) k2+tk+s=0，
∵(t+1)k2+tk+s=0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴t2-4s(t+1)>0，
令f(t)=t2-4s(t+1)=t2-4st-4s，
∵f (t) >0，
∴(4s)2+16s=16s2+16s <0，
∴s(s+1)<0，
解得：-1＜s＜0，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出(t+1) k2+tk+s=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
11．【答案】2028
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x−2024=0的两个实数根，
∴a2+a−2024=0,a+b=−1，
∴a2=2024−a，
∴a2−b+3
=2024−a−b+3
=2024−(a+b)+3
=2024+1+3
=2028．
故答案为：2028．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得a2+a−2024=0,a+b=−1，表示出a2，然后整体代入计算即可．
12．【答案】1
【解析】【解答】解：解不等式x−12≤2x+36，得x≤6，
解不等式x+1>a+3，得x>a+2，
∵不等式组x−12≤2x+36x+1>a+3有解，
∴a+2∴a+2<6，
得a<4，
∵a+1y−2+32−y=2，
∴y=a+22，
∵分式方程a+1y−2+32−y=2有非负数解，
∴y=a+22≥0，且y=a+22≠2
解得a≥−2且a≠2，
∴−2≤a<4且a≠2，
∴符合条件的整数a有−2，−1，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a的和为−2−1+0+1+3=1.
故答案为：1.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组有解可得a的范围，根据分式方程表示出y，由分式方程有非负数解可得a的范围，据此找出符号条件的整数a的值，然后相加即可.
13．【答案】5×8+3x+13y=100x+y+8=100
【解析】【解答】解：∵花了100钱，
∴5×8+3x+13y=100.
∵买了100只鸡，
∴8+x+y=100，
∴方程组为5×8+3x+13y=100x+y+8=100.
故答案为：5×8+3x+13y=100x+y+8=100.
【分析】根据花了100钱可得5×8+3x+13y=100；根据买了100只鸡可得8+x+y=100，联立即可得到方程组.
14．【答案】x（x-12）=864
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：x（x-12）=864．
【分析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积公式即可列出方程。
15．【答案】1501(1+x)2=1815
【解析】【解答】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意1501(1+x)2=1815，
故答案为：1501(1+x)2=1815
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，则七月份的就业岗位数量为1501(1+x)，八月份的就业岗位数量为1501(1+x)(1+x)=1501(1+x)2，进而即可求解。
16．【答案】解：去分母，得4−x2=−(x2−2x)，
去括号得：4−x2=−x2+2x，
移项并合并同类项得：2x=4
解得x=2，
检验∶把x=2代入x(x−2)=0，
∴原分式方程无解．
【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，解整式方程，检验得到分式方程的解的情况。
17．【答案】解：x>x+23①5x−3<5+x②
解不等式①得：x>1
解不等式②得：x<2
∴不等式的解集为：1【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
18．【答案】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得 3x+2y=3102x+5y=500 ，
解得 x=50y=80 ，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元
（2）解：方法一：
解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30 23 ．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65 13
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球
19．【答案】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共[80−(90−80)×1]×90+(400−90)×30=15600元，
答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元；
任务2：（160-x）；（12000-30x）；
任务3：依题意，(160−x)×x+(12000−30x)=15000
解得：x1=30，x2=100
∵80≤x≤110
∴x=100，
答：补进镇流器100件.
【解析】【解答】解：任务2： 设镇流器补进x件，若80≤x≤110，
则补进镇流器的单价为[80-(x-80)×1]=160-x（元）；
补进灯管的总价为30×（400-x）=12000-30x（元）；
故答案为：（160-x）；（12000-30x）；
【分析】（1）任务1： 若镇流器补进90件 ，则每个镇流器的单价为[80-(90-80)×1]元，购进灯管的数量为（400-90）个，根据单价乘以数量=总价及90个镇流器的费用+（400-90）个灯管的费用=总费用，列式计算即可；
（2）任务2： 设镇流器补进x件，若80≤x≤110，用原价减去因为购进数量 超过80个而减少的单价，列式计算可得补进镇流器的单价；用日光灯管的单价乘以购进日光灯管的数量列式可得补进灯管的总价；
（3）任务3：根据单价乘以数量=总价及x个镇流器的费用+（400-x）个灯管的费用=总费用，列出方程，求解并检验即可.
20．【答案】（1）解：由图表可知：a=810÷300=2.7
k=(1168−810)÷(400−300)=3.58
（或者列方程810+(400−300)k=1168解得）
由题意可知，kA8=3.58.
可设y=3.58x+b，将点A(300,810)代入，
解得b=−264.
（或者：由题意可知B(480,1454.4)
设y=kx+b，把A(300,810)，B代入，得
300k+b=810,480k+b=644.4+810，解得k=3.58,b=−264）
∴线段AB的函数表达式为y=3.58x−264.
（2）解：由题意知810+180×3.58+6.2x=1516.4，解得x=10.
∴用水量为480+10=490(m3)
【解析】【分析】（1）结合函数图象，根据“单价=应缴水费÷用水量”即可求出a的值，进而求出k的值，根据题意得到B点坐标，设y=kx+b，把A(300,810)，B代入，即可求出函数AB的解析式；
（2）根据共缴水费1516.4元列出方程式，解方程即可得到答案.
21．【答案】（1）解：由题意可得：44×20×0.8=704（元），
答：1班购票需要704元
（2）解：设2班有x人，由题意可得：(x−5)×20×0.9=702
解得：x=44
答：2班有44人
（3）解：当a=45时，方案一和方案二费用相同；当a>45时，方案一实惠；当403班的学生人数为a，方案一的费用为：20×0.8a=16a（元）
方案二的费用为：20×0.9(a−5)=18a−90（元），
当18a−90=16a，解得a=45，当a=45时，方案一和方案二费用相同；
当18a−90>16a时，解得a>45，即当a>45时，方案一的费用低；
当18a−90<16a时，解得40当a=45时，方案一和方案二费用相同；当a>45时，方案一实惠；当40【解析】【分析】（1）用人数乘以票价再乘以折数0.8即可求解；
（2）设2班有x人，根据购票总费用=（总人数-5）×票价×折数可列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）结合（1）（2）可求解.
22．【答案】（1）解：设每件深薯的进价为x，每件爆皮王番薯的进价为y，
由题意可得，3x+4y=3404x+5y=440，
解得x=60y=40，
答：每件深薯的进价为60，每件爆皮王番薯的进价为40；
（2）解：设购进深薯a件，则购进爆皮王番薯(200−a)件，
由题意可得，60a+40(200−a)≤10440a≥32(200−a)，
解得120≤a≤122，
∵a为整数，
∴该特产店有三种进货方案：
当a=120时，200−a=80，
即购进深薯120件，购进爆皮王番薯80件；
当a=121时，200−a=79，
即购进深薯121件，购进爆皮王番薯79件；
当a=122时，200−a=78，
即购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件；
∴该特产店有三种进货方案：购进深薯120件，购进爆皮王番薯80件；购进深薯121件，购进爆皮王番薯79件；购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件；
（3）解：设总利润为w元，
依题意可得，w=(90−60)a+(65−40)(200−a)=5a+5000，
∵k=5>0，
∴w随a的增大而增大，
又∵120≤a≤122，
∴a=122，w取最大值，最大利润w=5×122+5000=5610元，
答：购进深薯122件，购进爆皮王番薯78件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为5610元．
【解析】【分析】（1）设每件深薯的进价为x，每件爆皮王番薯的进价为y，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（2）设购进深薯a件，则购进爆皮王番薯(200−a)件，根据题意，列出一元一次不等式组求出a的取值范围，由a的取值范围即可求解；
（3）设总利润为w元，求出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质即可求解．素材1
某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2
该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1
若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2
设镇流器补进x件，若80≤x≤110，刚补进镇流器的单价为 ▲ 元，补进灯管的总价为 ▲ （用含x的代数式表示）；
任务3
若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？
分类
用水量x(m3)
单价（元/m3）
第1级
不超过300
a
第2级
超过300不超过400的部分
k
第3级
超过400的部分
6.2