人教B版高中数学必修第三册第8章章末综合提升学案

这是一份人教B版高中数学必修第三册第8章章末综合提升学案，共4页。

类型1　平面向量的数量积平面向量的数量积是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响其他内容的学习．常通过考查向量的平行、垂直、夹角、长度等来体现数学运算核心素养．【例1】　非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值．[解]　由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2|a|2－|b|2＋a·b＝0，,2|a|2－2|b|2－3a·b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|a|2＝－\f(5,2)a·b，,|b|2＝－4a·b，))所以|a||b|＝－eq \r(10)a·b，所以cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(10),10)． 类型2　向量的坐标运算1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，体现了直观想象的核心素养．2．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角、判断共线、平行、垂直等问题．【例2】　已知向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝(4,3)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足eq \o(PB,\s\up7(→))＝λeq \o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，求y与λ的值．[解]　(1)设点B的坐标为(x1，y1)．因为eq \o(AB,\s\up7(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))．(2)由已知得eq \o(PB,\s\up7(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，eq \o(BD,\s\up7(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又eq \o(PB,\s\up7(→))＝λeq \o(BD,\s\up7(→))，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7)．)) 类型3　平面向量的应用向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题，体现了逻辑推理素养．【例3】　已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P．求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．[证明]　如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0，1)．(1)eq \o(BE,\s\up7(→))＝eq \o(OE,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，eq \o(CF,\s\up7(→))＝eq \o(OF,\s\up7(→))－eq \o(OC,\s\up7(→))＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．因为eq \o(BE,\s\up7(→))·eq \o(CF,\s\up7(→))＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以eq \o(BE,\s\up7(→))⊥eq \o(CF,\s\up7(→))，即BE⊥CF．[证明]　设P(x，y)，则eq \o(FP,\s\up7(→))＝(x，y－1)，eq \o(CF,\s\up7(→))＝(－2，－1)，eq \o(BP,\s\up7(→))＝(x－2，y)，因为eq \o(FP,\s\up7(→))∥eq \o(CF,\s\up7(→))，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2．同理，由eq \o(BP,\s\up7(→))∥eq \o(BE,\s\up7(→))，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝eq \f(6,5)，所以y＝eq \f(8,5)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5)))．所以|eq \o(AP,\s\up7(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq \s\up12(2)＝4＝|eq \o(AB,\s\up7(→))|2，所以|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(AB,\s\up7(→))|，即AP＝AB． 类型4　三角恒等变形的综合应用与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变换．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．这两种类型体现了数学建模核心素养的应用．【例4】　已知向量a＝(1，－eq \r(3))，b＝(sin x，cos x)，f(x) ＝a·b．(1)若f (θ)＝0，求eq \f(2cos2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))的值；(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x) 的值域．[解]　(1)因为a＝(1，－eq \r(3))，b＝(sin x，cos x)，所以f(x) ＝a·b＝sin x－eq \r(3)cos x，因为f (θ)＝0，即sin θ－eq \r(3)cos θ＝0，所以tan θ＝eq \r(3)，所以eq \f(2cos2 \f(θ,2)－sin θ－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(cos θ－sin θ,sin θ＋cos θ)＝eq \f(1－tan θ,tan θ＋1)＝eq \f(1－\r(3),\r(3)＋1)＝－2＋eq \r(3)．[解]　f(x) ＝sin x－eq \r(3)cos x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，因为x∈[0，π]，所以x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，当x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，即x＝0时，f(x) 取最小值－eq \r(3)，当x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(5π,6)时，f(x) 取最大值2，所以当x∈[0，π]时，函数f(x) 的值域为[－eq \r(3)，2]．