2024版高考数学微专题专练25平面向量的概念及其线性运算理（附解析）

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[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A．②③B．①②
C．③④ D．②④
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．|a|＝|b|B．a∥b
C．|a|>|b|D．a⊥b
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．3m－2nB．－2m＋3n
C．3m＋2nD．2m＋3n
4．[2022·河北唐山三模]已知菱形ABCD的边长为2，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，则|eq \(BD,\s\up6(→))|＝( )
A．eq \r(3)B．2eq \r(3)
C．1D．2
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq \(CO,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，则实数λ＝( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．2D．－2
6．[2022·江苏一模]平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则( )
A．a，b方向相同
B．a，c方向相同
C．b，c方向相同
D．a，b，c两两互不共线
7．[2022·湖南怀化一模]已知平面向量a、b(a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )
A．2B．4
C．6D．8
8．已知平面内一点P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
9．在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( )
A．3B．4
C．eq \f(8,3)D．eq \f(10,3)
二、填空题
10．在△ABC中，D是AB边上一点，eq \(AD,\s\up6(→))＝3eq \(DB,\s\up6(→))，且eq \(CD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为________．
11．在△OAB中，点C满足eq \(AC,\s\up6(→))＝－4eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则y－x＝________．
12．[2022·贵州省普通高等学校测试]在平行四边形ABCD中，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→)).若eq \(CE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3eq \(PA,\s\up6(→))＋5eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为( )
A．eq \f(9,2)B．4
C．3D．eq \f(12,5)
14．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AK,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则λ的值为( )
A．eq \f(2,9)B．eq \f(2,7)
C．eq \f(2,5)D．eq \f(2,3)
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的序号为________．
16．在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
专练25 平面向量的概念及其线性运算
1．A 当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．
2．D 由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.
3．B 因为BD＝2DA，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－2eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
4．B 根据题意可得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，即eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝－2，
|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))2＝eq \(AD,\s\up6(→))2－2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2＝12，即|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
5．A 由平行四边形法则可知，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
又O为AC与BD的交点，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(CO,\s\up6(→))，
∴eq \(CO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，∴λ＝－eq \f(1,2).
6．A 因为a＋2b＋3c＝0，
所以3c＝－a－2b，
所以(3c)2＝(－a－2b)2，
所以9c2＝a2＋4b2＋4a·b，
所以9＝1＋4＋4|a||b|cs〈a，b〉，
所以4＝4×1×1cs〈a，b〉，
所以cs〈a，b〉＝1，
所以〈a，b〉＝0，
所以a，b方向相同．
7．C
以|a|，|b|为邻边作平行四边形ABCD，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
则eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
由题意∠ADB＝30°，设∠ABD＝θ，(0°<θ<150°)，
∵|a|＝3，
在△ABD中，由正弦定理可得eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(AD,sinθ)，
∴AD＝6sinθ≤6，
即|b|的最大值为6.
8．C ∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，∴eq \(PC,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))，∴点P在线段AC上．
9．A 因为eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3m)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(2,3n)eq \(AN,\s\up6(→)).因为M，P，N三点共线，所以eq \f(1,3m)＋eq \f(2,3n)＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)(eq \f(1,3m)＋eq \f(2,3n))＝eq \f(1,3)＋eq \f(4,3)＋eq \f(2,3)(eq \f(n,m)＋eq \f(m,n))≥eq \f(5,3)＋eq \f(2,3)×2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝eq \f(5,3)＋eq \f(4,3)＝3，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＝\f(m,n)，,\f(1,3m)＋\f(2,3n)＝1，))即m＝n＝1时等号成立．所以m＋2n的最小值为3.故选A.
10．－eq \f(1,4)
解析：∵eq \(AD,\s\up6(→))＝3eq \(DB,\s\up6(→))，∴eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝3(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))，
∴4eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CB,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CB,\s\up6(→)).
又eq \(CD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CB,\s\up6(→))，∴λ＝－eq \f(1,4).
11.eq \f(5,3)
解析：根据向量加法的三角形法则得到eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，化简得到eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝－eq \f(1,3)，y＝eq \f(4,3)，则y－x＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,3).
12.eq \f(2,3)
解析：由eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→))，得eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
即λ＝1，μ＝－eq \f(1,3)，
所以λ＋μ＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
13．C ∵3eq \(PA,\s\up6(→))＋5eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴3(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＋2(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PE,\s\up6(→))，
∴3eq \(PD,\s\up6(→))＋2eq \(PE,\s\up6(→))＝0，
∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·h＝6，
∴S△PAC＝eq \f(1,2)AC×eq \f(h,2)＝eq \f(1,2)×6＝3.
14．A ∵eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(AK,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝λ(eq \f(5,2)eq \(AE,\s\up6(→))＋2eq \(AF,\s\up6(→)))＝eq \f(5,2)λeq \(AE,\s\up6(→))＋2λeq \(AF,\s\up6(→))，
由E，F，K三点共线可得eq \f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝eq \f(2,9)，故选A.
15．②③④
解析：∵eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－b，故①不正确；对于②，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，正确；对于③，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故③正确；对于④，eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0，故④正确，故正确的有②③④.
16.eq \f(5,11)
解析：
∵N，P，B三点共线，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(→))
＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(6,11)eq \(AN,\s\up6(→))，
∴m＋eq \f(6,11)＝1，∴m＝eq \f(5,11).