专题07 解答题压轴题（圆的综合）-2024年中考数学压轴题（安徽专用）

这是一份专题07 解答题压轴题（圆的综合）-2024年中考数学压轴题（安徽专用），文件包含专题07解答题压轴题圆的综合原卷版docx、专题07解答题压轴题圆的综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。


通用的解题思路：
一、切割线定理
当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题。
二、解决三角形外接圆的问题
做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题。
三、证切线的方法
1、已知半径证垂直；
2、已知垂直证半径。
1．（2023·安徽·中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足，若BD=33，AE=3，求弦BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=32
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
(2)证明四边形AECD平行四边形，后用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵对角线BD是⊙O的直径，
∴AB=AD，
∴，
∴CA平分∠BCD．
（2）∵对角线BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴DC⊥BC,DA⊥AB
∵，
∴DC∥AE,DA∥CE，
∴四边形AECD平行四边形，
∴DC=AE=3，
又∵BD=33，
∴BC=332−32=32．
【分析】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
【答案】(1)3−1
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；
（2）根据切线的性质可得OC⊥CD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．
【详解】（1）解：∵OA=1=OC，CO⊥AB，∠D=30°
∴CD=2⋅ OC=2
∴OD=CD2−OC2=22−12=3
∴
（2）证明：∵DC与⊙O相切
∴OC⊥CD
即∠ACD+∠OCA=90°
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90°
∴∠AEC=90°
∴CE⊥AB
【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．
3．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【答案】（1）35；（2）见解析．
【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得OM⊥CD，OM平分 CD，则有MC=6，利用勾股定理可求得半径的长；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据CE=EF，AE⊥FC，可得AF=AC，∠1=∠2，利用圆周角定理可得∠2=∠D，可得∠1=∠D，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠AGB=90°，即有AF⊥BD．
【详解】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴OM⊥CD，OM平分CD，
∴∠OMC=90°
∵CD=12
∴MC=6．
在Rt△OMC中．
OC=MC2+OM2
=62+32
=35
∴圆O的半径为35
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
∵CE=EF，AE⊥FC
∴AF=AC
又∵CE=EF
∴∠1=∠2
∵BC=BC
∴∠2=∠D
∴∠1=∠D
在Rt△BED中
∠D+∠B=90°
∴∠1+∠B=90°
∴∠AGB=90°
∴AF⊥BD
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．
1．（2024·安徽六安·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点E，交AC于点F，且DF=DC．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OF=10，BC=6，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)210
【分析】（1）连接OC，只要证明∠OCA+∠DCF=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）作OG⊥AC于G，证明△AGO∽△OGF，求得OA=310，OC=310，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得DF=DC=410，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，
∵∠AFO=∠DFC，
∴∠DCF=∠AFO，
∵OD⊥AB，
∴∠A+∠AFO=90°，
∴∠OCA+∠DCF=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：作OG⊥AC于G，则AG=CG，

∵OA=OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG∥BC，OG=12BC=3，
∴FG=OF2−OG2=1，
∵∠AGO=∠OGF=90°，∠A=∠FOG=90°−∠OFG，
∴△AGO∽△OGF，
∴，
∴OA3=101，
∴OA=310，OC=310，
设DF=DC=x，
在Rt△OCD中，3102+x2=x+102，
解得x=410，
∴DO=x+410=510，
∴．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
2．（2024·安徽·一模）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，直线PA与⊙O的另一个交点为点B，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接CD并延长交直线PA于点M，连接OD．
(1)求证：OD∥BM；
(2)若，⊙O的直径为4，求AB的长度．
【答案】(1)详见解析
(2)125
【分析】本题考查了角平分线的定义、等边对等角、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义得出∠MAD=∠CAD，由等角对等边得出∠OAD=∠ODA，从而得出∠MAD=∠ODA，即可得证；
（2）连接BC，由圆周角定理得出∠ADC=∠ABC=90°，由结合勾股定理得出AD=455，CD=855，求出AM=AC=4，CM=1655，再结合勾股定理得出AC2−AB2=CM2−AM+AB2，求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠MAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠MAD=∠ODA，
∴OD∥BM；
（2）解：如图，连接BC，
∵AC为⊙O的直径，⊙O的直径为4，
∴∠ADC=∠ABC=90°，AC=4
∵tan∠ACD=12，
，
令AD=x，则CD=2x，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴x2+2x2=42，
解得：x=455，
∴AD=455，CD=855，
，
∴∠M=∠ODC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠M=∠OCD，
，
∵∠ADC=90°，
∴CM=2CD=1655，
∵BC2=CM2−AM+AB2，BC2=AC2−AB2，
∴AC2−AB2=CM2−AM+AB2，即42−AB2=16552−4+AB2，
解得：．
3．（2024·安徽合肥·二模）如图，AB为⊙O的直径，AC和BD是⊙O的弦，连接AD,CD．
(1)若点C为AP的中点，且PC=PD，求∠B的度数；
(2)若点C为弧AD的中点，PD=4，PC=23，求⊙O的半径．
【答案】(1)60°
(2)3
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°，在Rt△ADP中，点C为斜边AP的中点，则CD=AC=PC，再根据PC=PD可得△PCD为等边三角形，则∠PCD=60°，然后根据圆内接四边形的性质可得∠B的度数；
（2）根据点C为弧AD的中点得∠CAD=∠CDA，AC=CD，证∠CDP=∠P得CD=PC=23，则AC=CD=PC=23，AP=43，再证△PCD∽△PBA得CD:AB=PD:PA，由此可得AB=6，由此可得⊙O的半径．
【详解】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADP中，点C为斜边AP的中点，
∴CD=AC=PC，
∵PC=PD，
∴CD=PC=PD，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠PCD+∠ACD=180°，∠ACD+∠B=180°，
∴∠B=∠PCD=60°；
（2）∵点C为弧AD的中点，
∴∠CAD=∠CDA，AC=CD，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDA+∠CDP=90°，
在Rt△ADP中，∠CAD+∠P=90°，
∴∠CDP=∠P，
∴CD=PC=23，
∴AC=CD=PC=23，
∴AP=AC+PC=43，
∵∠PCD=∠B,∠P=∠P，
∴△PCD∽△PBA，
∴CD:AB＝PD:PA，
即PD⋅AB＝CD⋅PA，
∴4⋅AB=23×43，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为12AB=3．
【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形和等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，综合运用各知识点是解决问题的关键．
4．（2024·安徽黄山·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE=BC．

(1)求证：CE是⊙O的切线．
(2)若CD=2，BC=4，求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AC=8．
【分析】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理．
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，由∠1+∠5=90°得到∠2+∠3=90°，得，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，由得到关于r的方程，即可求出半径，进而求出AC的长．
【详解】（1）证明：如图所示，连接OE，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠5=90°．
∵CE=BC，
∴∠1=∠2．
∵OE=OD，
∴∠3=∠4．
又∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠3=90°，即，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BC=4，
由题意得，，
设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，
在Rt△OEC中，，
∴OE2+CE2=OC2，
∴r2+42=r+22，
解得r=3，
∴AD=2r=6，
∴AC=AD+CD=8．
5．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD．
(1)求证：AB=CD
(2)若，BD=8，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)r=256
【分析】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理；
（1）根据角平分线的定义得出∠ADB=∠CDB则，根据垂径定理可得BC=CD，即可得出AB=CD，则AB=CD；
（2）连接OB，OD设OC与BD交于E，在Rt△CDE中，勾股定理求得CE=3，设⊙O半径为r，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB ，
∴，
∵OC⊥BD，
BC=CD，
AB=CD，
∴AB=CD；
（2）解：连接OB，OD，设OC与BD交于E，
∵OC⊥BD ，
∴OC平分BD，即BE=DE=4，
在Rt△CDE中，CE=CD2−DE2=3，
设⊙O半径为r，
在中，r2=42+r−32，
∴r=256．
6．（2024·陕西西安·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=60°，弦BD交AC于点E，且AE=DE．
(1)求证：△EBC是等边三角形；
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交于点G，若，EG=2，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=7
【分析】（1）先证明△AEB≌△DEC可得EB=EC，结合∠ACB=60°，可得结论；
（2）先证明AF=CF，求解EF=1，可得CF=AF=4，证明．如图，过B作于点M，求解BM=BC2−CM2=532，AM=AC−CM=112，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：在⊙O中，∠A=∠D，
∵∠AEB=∠DEC，AE=DE，
∴△AEB≌△DEC．
∴EB=EC．
又∵∠ACB=60°，
∴△EBC为等边三角形；
（2）∵OF⊥AC，
∴AF=CF．
∵△EBC为等边三角形，
∴，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1．
又∵，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，CE=5，
∴．
如图，过B作于点M，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=52，BM=BC2−CM2=532，
∴AM=AC−CM=112，
∴AB=AM2+BM2=7．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
7．（2024·安徽合肥·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，CD⊥AB于点D，BO延长线交CD于点E．
(1)求证：∠DBE=∠DCB；
(2)若，BE=4，求OE的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）延长交圆于点F，连接，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠AFB，根据是直径，可得∠BAF=90°，进一步可得结果；
（2）根据余角的性质可得∠DEB=∠FCE，进而可得FE=FC，然后设FE=FC=x，在Rt△CBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）延长交圆于点F，连接，
∵AB=AC，
∴AB=AC，
，，
∵AB，
∴∠F=∠ACB，
∵BF是直径，
∴∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠F=90°=∠ABC+∠ACB，
∴∠DBE=∠DCB；
（2）连接CF，
∵∠BDC=90°，
∴∠DBE+∠DEB=90°，
∵BF是直径，
∴∠FCB=90°，
∴∠FCE+∠DCB=90°，
∵∠DBE=∠DCB，
∴∠DEB=∠FCE，
∵∠DEB=∠FEC，
∴，
∴FE=FC，
设FE=FC=x，
在Rt△CBF中，，BF=BE+EF=4+x，
∴BC2+CF2=BF2，
∴32+x2=4+x2，
解得：，
∴BF=4+x=6，
∴OB=12BF=3，
∴，
∴OE的长为1．
【分析】本题考查圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等角对等边，勾股定理等知识点，熟知定理性质是解题的关键．
8．（2024·安徽马鞍山·一模）如图1，等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E，EF⊥AB于点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)如图2，当∠BAC>90°时，若AF=2，EF=4，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)AD=6
【分析】（1）连接OE，证出EF⊥OE，由切线的判定可得出结论；
（2）证明△AEF∽△ACE，得出AEAC=AFAE，证明△BEF∽△BCD，得出CE=BE=12BC，求出CD的长，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：证明: 连接OE，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵OE∥AB，
∴∠OEF=∠BFE=90°，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC为⊙O的直径，
∴AE⊥CB,∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
如图所示, 连接CD,OE，
∵AF=2,EF=4,∠AFE=90°，
由勾股定理可得：AE=AF2+EF2=22+42=25，
∵，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠AEF+∠AEO=90°,∠OEC+∠AEO=90°，
∴∠AEF=∠OEC，
∴∠OCE=∠AEF，
∵∠AEC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△ACE，
∴AEAC=AFAE，即 25AC=225，
解得AC=10，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
，
∴EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴CE=BE=12BC，
，
，
．
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2024·安徽合肥·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
(1)求证：∠DCF=∠CAD；
(2)若CF=42，，求⊙O的半径．
【答案】(1)详见解析
(2)2
【分析】（1）连接OC，由切线的性质结合圆周角的性质得到∠DCF=∠ACO，进而得到OA=OC，推出∠ACO=∠CAD，即可证明结论；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△FCO中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CF是⊙O的切线
∴OC⊥PC
∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD=90°
∴∠ACO+∠OCD=90°，
∴∠DCF=∠ACO
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD
；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△FCO中，OC2+CF2=OF2
∵CF=42，
∴r2+422=r+42
解得r=2
∴⊙O的半径为2．
【分析】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．（2024·安徽合肥·一模）如图，△ABC内接于（不是直径）与OB相交于点D，且与⊙O相切点A．
(1)求证：AB平分∠DAE；
(2)若，求AE的长．
【答案】(1)见详解
(2)20
【分析】（1）连接OA，则OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，由切线的性质证明∠EAO=90°，由垂径定理证明∠ADB=90°，则∠DAB+∠OBA=90°，∠EAB+∠OAB=90°，所以∠EAB=∠DAB，则AB平分∠DAE；
（2）因为BD=6，AD=12，所以OD=OB−6=OA−6，由勾股定理得122+(OA−6)2=OA2，求得OA=15，则OD=9，所以tan∠AOE=AEOA=ADOD=43，则AE=43OA=20．
【详解】（1）证明：连接OA，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO=90°，
∵AD=CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBA=90°，
∵∠EAB+∠OAB=∠EAO=90°，
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO=90°，
，
∵BD=6，AD=12，
∴OD=OB−6=OA−6，
∴122+(OA−6)2=OA2，
解得OA=15，
∴OD=15−6=9，
∴tan∠AOE=AEOA=ADOD=129=43，
∴AE=43OA=43×15=20，
∴AE的长为20．
【分析】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
(1)求证：BC=BH；
(2)若AB=5，AC=4，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得到OE⊥AC， 则可证明∠1=∠3， 加上∠2=∠3， 从而得到∠1=∠2， 然后证明Rt△BEH≌Rt△BEC得到结论；
（2）利用勾股定理计算出BC=3， 设OE=r， 则OA=5—r， 证明△AOE∽△ABC，利用相似比计算出r=158,则AO=258，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到CE的长.
【详解】（1）证明： 连接OE， 如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠3，
∵OB=OE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵EH=EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
BE=BEEH=EC，
∴Rt△BEH≌Rt△BECHL，
∴BC=BH；
（2）在Rt△ABC中， BC=52−42=3，
设OE=r,则OA=5−r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴AOAB=OEBC,即 5−r5=r3，解得 r=158，
∴AO=5−r=258，
在 Rt△AOE中，
AE=2582−1582=52，
∴CE=AC−AE=4−52=32.
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了相似三角形的判定与性质.
12．（2024·安徽·一模）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC、BD，点G为直径AB上一点，且DG=DB，延长DG父AC于点F．
(1)求证：DF⊥AC；
(2)若，求BD的长．（用含m,n的代数式表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)2m2+2mn
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三线合一定理：
（1）由三线合一定理得到∠CDF=∠CDB，由同弧所对的圆周角相等推出∠BAC=∠CDF，再由三角形内角和定理可得，即DF⊥AC；
（2）连接OD，由三线合一定理得到GE=BE=m，求出OD=OB=OE+BE=m+n，由勾股定理可得GD2−m2=m+n2−n2，据此可得BD=DG=2m2+2mn．
【详解】（1）证明：∵DG=DB，CD⊥AB，
∴∠CDF=∠CDB，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC=∠CDF，
又∵，
∴，即DF⊥AC；
（2）解：如图所示，连接OD，
∵DG=DB，CD⊥AB，
∴GE=BE=m，
∵，
∴OD=OB=OE+BE=m+n，
在Rt△OED中，由勾股定理得DE2=OD2−OE2，
在Rt△GED中，由勾股定理得DE2=GD2−GE2
∴GD2−GE2=OD2−OE2，
∴GD2−m2=m+n2−n2，
∴GD2=2m2+2mn，
∴BD=DG=2m2+2mn．
13．（2024·安徽合肥·一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F交⊙O于点，DB交AC于点G．
(1)求证：AF=DF；
(2)若AF=5，tan∠ABD=12，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据D是AC的中点，DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
得到AH=AD=DC,得到∠ADF=∠FAD即可得证．
（2）连接OD，根据tan∠ADE=AEDE=12，设AE=x，DE=2x，利用勾股定理求得x，再利用正切函数计算即可．
【详解】（1）∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
∴AH=AD
∴AH=AD=DC,
∴∠ADF=∠FAD，
∴AF=DF．
（2）连接OD，
∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°−∠DAE=∠ABD，
∵tan∠ABD=12，
∴tan∠ADE=AEDE=12，
设AE=x，DE=2x，
∵AF=DF=5，
∴EF=DE−DF=2x−5，
∴2x−52+x2=52，
解得x=4或x=0（舍去），
∴DE=2x=8，
∵tan∠ABD=12，
∴DEBE=12,
∴BE=16，
∴AB=AE+BE=20
∴⊙O的半径为10．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的解法，正切函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正切函数是解题的关键．
14．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，AB为⊙O的直径，点E为OA上一点，过点E作CD⊥AB，交OO点C、D．
(1)如图1，若AE=2，，求CD的长；
(2)如图2，点P为BC上一点，连接DP交直径AB于点F，连接CF，若OC∥PB，求证：∠CFP=∠B．
【答案】(1)4
(2)见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理及平行线的性质，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理求出CE=12CD，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接AP，根据圆周角定理求出BP⊥AP，根据平行线的性质求出OC⊥AP，∠B=∠AOC，根据垂径定理求出AC=PC，根据圆周角定理求出，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出∠D=∠DCF，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接OC，
为⊙O的直径，CD⊥AB，
，
∵AE=2，，
，
∴CE=OC2−OE2=4，
∴CD=8；
（2）证明：如图2，连接AP，
为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴BP⊥AP，
∵OC∥PB，
，∠B=∠AOC，
AC=PC，
，
∵CD⊥AB，CE=DE，
∴AB垂直平分CD，
，
∴∠D=∠DCF，
，
．
15．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，且l∥BC，D为l上一点，BD=AB，AC，BD交于点E．

(1)求证：AC=BC；
(2)求∠ABD的度数；
(3)若CD=1，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)∠ABD=30°
(3)BE=2
【分析】本题考查了切线的性质,垂径定理和相似三角形的性质与判定，解直角三角形．
（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥l，利用平行线的性质得OC⊥AB，然后根据垂径定理得AC=BC，从而得到AC=BC；
（2）作DH⊥AB于，如图，易得四边形COHD为矩形得到DH=OC，然后根据BD=BA得到BD=2DH，从而可判断∠ABD的度数；
（3）作EF⊥AB于F，如图，先计算出∠DAC=30°，再利用CD∥AB得到，则可判断△ADC △BEA，利用相似比可计算出AE=2，利用等腰直角三角形的性质得到AF=EF=1，然后在Rt△BEF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到的长．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵l∥BC，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴AC=BC；
（2）解：作DH⊥AB于，如图，

则四边形COHD为矩形，
∴DH=OC，
∵BD=BA，
∴BD=2DH，
sin∠ABD=DHBD=12
∴∠ABD=30°；
（3）作EF⊥AB于F，如图，

为直径，
，
∵△ACB为等腰直角三角形，
，AB=2AC，
∵∠BAD=12180°−30°=75°，
∴∠DAC=75°−45°=30°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴△ADC∽△BEA，
∴CD：AE=AC：AB，
∴AE=ABAC⋅CD=2，
在Rt△AEF中，AF=EF=22×2=1，
在Rt△BEF中，BE=2EF=2．
16．（2024·安徽合肥·一模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A,B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连结．
(1)求证：DI=DB；
(2)若，求AI的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角三角性的判定和性质，三角形的内心等知识：
（1）根据AB是半圆O的直径，可得∠C=∠D=90°，从而得到∠BID=∠BAD+∠ABI=12∠BAC+∠ABC=45°，进而得到∠IBD=∠BID，即可求证；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，可得OE∥BD，从而得到△AOE∽△ABD，进而得到OEBD=OAAB=AEAD=12，可得到，AD=6，再证得△OIE是等腰直角三角形，可得IE=OE=1，即可求解．
【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC,∠ABI=12∠ABC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BID=∠BAD+∠ABI=12∠BAC+∠ABC=45°，
∴∠IBD=45°，
∴∠IBD=∠BID，
∴DI=DB；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
∴∠AEO=∠D=90°，
∴OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴OEBD=OAAB=AEAD=12，
∵，
∴，
∵DI=DB=2，
∴，
∴AD=6，
∵，
∴∠AEO=∠BIO=90°，
∴∠OIE+∠BID=90°，
∴∠OIE=45°，
∴△OIE是等腰直角三角形，
∴IE=OE=1，
∴AI=AD−ID=6−2=4．
17．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）如图，连接AC，根据BC=CD推出∠BAC=∠EAC，再证明BC=CE，∠B=∠E，进而证明△ABC≌△AECAAS，即可证明．
（2）先证明BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°．由（1）可得AB=4．在Rt△ABD中求出BD=25；在Rt△BCD中，．
【详解】（1）证明：如图，连接AC．
∵BC=CD，
∴BC=CD，
∴∠BAC=∠EAC．
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，BC=CE．
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDE，
∴∠B=∠E．
在△ABC与△AEC中，
∠BAC=∠EAC，∠B=∠E，BC=CE，
∴△ABC≌△AECAAS，
∴AB=AE．
（2）解：如图，连接BD．
∵∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
．
由（1）可得．
∵AD=DE=2，
∴AB=4．
在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=25；
在Rt△BCD中，．
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
18．（2024·安徽宿州·一模）如图，⊙O中的两条弦AB⊥CD于E，点F在⊙O上，BD=BF．连接交CD于G，交BC于．

(1)若AE=2，BE=4，BC=8，求BH的长；
(2)分别连接DF，EH，求证：DF∥EH．
【答案】(1)BH=3
(2)见解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定及性质，圆周角定理，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
（1）由BD=BF，根据圆周角定理可得∠BAF=∠DCB，进而可证△ABH∽△CBE，得ABBC=BHBE，即可求解；
（2）根据AB⊥CD及△ABH∽△CBE，可得∠AHB=90°，AHCE=BHBE=ABBC，则AHAB=CEBC，连接CF、，结合圆周角定理，先证△AHB∽△CHF，得AHCH=BHHF=ABCF，则AHAB=CHCF，可知CECB=CHCF，可证△ECH∽△BCF，可得∠CEH=∠CBF，根据圆周角定理可知∠CDF=∠CBF，得∠CDF=∠CEH，即可证明DF∥EH．
【详解】（1）解：∵AE=2，BE=4，
∴AB=AE+BE=6，
∵BD=BF，
∴∠BAF=∠DCB，
又∵∠ABH=∠CBE，
∴△ABH∽△CBE，
∴ABBC=BHBE，即：68=BH4，
∴BH=3；
（2）∵AB⊥CD，则∠CEB=90°
由（1）可知，△ABH∽△CBE，
∴∠AHB=90°， AHCE=BHBE=ABBC，则AHAB=CEBC，
连接CF、，则∠BAF=∠BCF，

又∵∠AHB=∠CHF=90°，
∴△AHB∽△CHF，
∴AHCH=BHHF=ABCF，则AHAB=CHCF，
∴CECB=CHCF，
又∵BD=BF，
∴∠BCF=∠DCB，
∴△ECH∽△BCF，
∴∠CEH=∠CBF，
又∵∠CDF=∠CBF，
∴∠CDF=∠CEH，
∴DF∥EH．
19．（2023·安徽·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,O为AC边上一点，⊙O与AB边相切于点D，交BC,AC于点E,F，连接CD．
(1)求证：∠BCD=∠ACD；
(2)若CE=2BE=2，求劣弧DF的长度．（结果保留π）
【答案】(1)见解析
(2)23π
【分析】（1）如图1，连接OD，由∠ADO=90°=∠ABC，可得OD∥BC，则∠ODC=∠BCD，由OD=OC，可得∠ODC=∠ACD，进而结论得证；
（2）如图2，连接EF，则∠FEC=90°=∠ABC，EF∥AB，AFFC=BEEC=12，进而可得AF=OF=OC，由OD∥BC，BC=BE+CE=3，可得ODBC=AOAC=23，根据ODOA=12，可得∠OAD=30°，则∠AOD=60°，根据劣弧DF的长度为60⋅π⋅2180，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接OD．
图1
∵AB与⊙O相切于点D．
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°=∠ABC，
∴OD∥BC，
∴∠ODC=∠BCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠ACD，
∴∠BCD=∠ACD．
（2）解：如图2，连接EF．

∵CF为⊙O的直径，
∴∠FEC=90°=∠ABC，
∴EF∥AB，
∴AFFC=BEEC=12，
∵OF=OC，
∴AF=OF=OC，
∵OD∥BC，BC=BE+CE=3，
∴ODBC=AOAC=23，
∴OD=AF=2，
∵ODOA=12，
∴∠OAD=30°，则∠AOD=60°，
∴劣弧DF的长度为60⋅π⋅2180=23π．
【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等边对等角，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，含30°的直角三角形，弧长等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，含30°的直角三角形，弧长是解题的关键．
20．（2023·安徽·模拟预测）以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D的⊙O的切线交AB的延长线于点F，交AC于点．
(1)求证：AB=AC；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)245
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
（1）连接OD,AD，根据切线的性质，圆周角定理得出结论即可；
（2）证明△OBH∽△OFD，得出比例式，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：连接OD,AD．设OD与交于点．
是⊙O的切线，
∴∠ODF=90°．
∵BE∥FG，
∴BD=DE，
，
解法1：为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
，
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC．
解法2：∵OA=OD,
，
∴∠CAD=∠ODA,
，
∴∠ACB=∠ODB．
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ODF中，
，
，
解得r=3．
∵BE∥FG,
∴△OBH∽△OFD，
，即35=BH4,
∴BH=125．
∵OH⊥BE,
∴BE=2BH=245．