2024年安徽省池州市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年安徽省池州市中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的相反数是( )
A. 2024B. −12024C. −2024D. 12024
2.计算：(−a)2⋅a4的结果是( )
A. a8B. a6C. −a8D. −a6
3.下列立体图形中，主视图是圆的是( )
A. B. C. D.
4.据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为( )
A. 3.9×1010B. 3.9×109C. 0.39×1011D. 39×109
5.将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为( )
A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°
6.一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是( )
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8D. 方差是1
7.将直线y=−2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点(a,b)，且2a+b=−7，则直线l的解析式为( )
A. y=−2x−2B. y=−2x+2C. y=−2x−7D. y=−2x+7
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F.连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为( )
A. 2 3
B. 3 3
C. 6 3
D. 92 3
9.如图，反比例函数y=kx的图象上有A，B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交OA于点C.若AC=2OC，△BOC的面积为2，则k的值为( )
A. 92
B. −92
C. 72
D. −72
10.在△ABC中，∠A=60°，BC=4 3，BD、CE是△ABC的两条角平分线，分别交AC、AB于点D、E，且BD、CE交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，则PF的最大值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：xy2−4x=______．
12.不等式x+1313.如图，在ABC中，AB=AC=6 2，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为______．
14.已知抛物线y=x2+2mx+m2−2m．
(1)若m=2，则抛物线的顶点坐标为______．
(2)直线x=t与直线y=2x−2交于点M，与抛物线y=x2+2mx+m2−2m交于点N.若当t<4时，MN的长度随t的增大而减小，则m的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示(顶点是网格线的交点)
(1)请画出△ABC向右平移2单位再向下平移3个单位的格点△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2并求出旋转过程中点B到B2所经过的路径长．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：| 3−2|−(2024−π)0+2sin60°+(−13)−2．
17.(本小题8分)
观察下列式子：
第1个等式：132=10×(10×1+6)×1+9；
第2个等式：232=10×(10×2+6)×2+9；
第3个等式：332=10×(10×3+6)×3+9；
……
(1)请写出第4个等式：______；
(2)设一个两位数表示为10a+3，根据上述规律，请写出(10a+3)2的一般性规律，并予以证明．
18.(本小题8分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
19.(本小题10分)
2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE=53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD=30°．
(1)求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
(2)求此运动员的身高．(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
20.(本小题10分)
如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AE=4，DE=8，求AF的长．
21.(本小题12分)
2022年4月23日，是第26个世界读书日．为了让校园沐浴着浓郁的书香，某学校一课外学习小组在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
(1)共有______名同学参与问卷调查；补全条形统计图和扇形统计图
(2)全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少；
(3)学习小组从每一个月阅读4本课外书的同学中选取2名男生、2名女生组成一个“阅读”宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人刚好是一名男生一名女生的概率．
22.(本小题12分)
如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,3)，对称轴为直线x=1．

(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；
(2)如图①，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求当点P的横坐标为多少时，PD+AD最大；
(3)如图②，将抛物线L：y=ax2+bx+c向左平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M、N两点，若点B是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．
23.(本小题14分)
在四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交BC于点F．

(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，求EFAE的值为______；
(2)如图2，当四边形ABCD为矩形时，ABBC=m，探究EFAE的值(用含m的式子表示)，并写出探究过程；
(3)在(2)的条件下，连接CE，当AB=2，BC=4，CE=CD时，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的相反数是2024，
故选：A．
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：(−a)2⋅a4=a6．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
B.三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C.圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D.球的主视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
4.【答案】A
【解析】解：39000000000=3.9×1010．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意可得：∠CAE=90°，∠ACF=45°，
∵∠1=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAE=115°，
∵AB/​/CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°−∠BAC=65°，
∴∠3=180°−∠ACD−∠ACF=70°．
故选：C．
由题意可求得∠BAC=115°，再由平行线的性质可求得∠ACD的度数，结合平角的定义即可求∠3．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差．根据众数、中位数、平均数以及方差的计算方法进行计算，即可得出答案．
【解答】
解：由图可得，数据8出现4次，次数最多，所以众数为8，故A正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，所以中位数是12(8+8)=8，故B正确；
平均数为110(6+7×2+8×4+9×2+10)=8，故C正确；
方差为110[(6−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=1.2，故D不正确；
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：设直线l的解析式为y=−2x+k，
又∵直线l经过点(a,b)，
∴−2a+k=b，
∴2a+b=k，
∵2a+b=−7，
故直线l的解析式为y=−2x−7．
故选：C．
先根据直线平移后k的值不变，只有b发生变化，可设直线l的解析式为y=−2x+k，再将点(a,b)代入，即可求解．
本题本题考查的是一次函数的图象与几何变换及运用待定系数法求函数的解析式，根据直线平移后k的值不变，设出直线l的解析式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，∠A=∠ABC=90°，
AD//BC，
∴∠FBO=∠EDO，
∵∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，
∴BF=DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∴BE=DE=BF=DF，
∴四边形BFDE为菱形，AE=CF，
∴EO=FO，∠FBO=∠OBE，
∵EF=AE+FC，
∴AE=EO=OF=CF，
∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠OBE=∠FBO=30°，
∵AB=3，
∴AE= 3，BE=2 3，
∴CF=AE= 3，BF=BE=2 3，
∴BC=BF+CF=3 3，
故选：B．
通过证明△BOF≌△DOE，结合垂直平分线的性质证明四边形BFDE为菱形，AE=CF，由EF=AE+FC可求解∠ABE=30°，再根据30°的直角三角形的性质可求解AE= 3，BE=2 3，进而可求解BC的长．
本题主要考查矩形的性质，菱形的性质与判定，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，属于四边形的综合题，涉及的知识点较多，难度偏大．
9.【答案】B
【解析】解：作AM⊥x轴，垂足为M，AE⊥y轴，垂足为E，BN⊥x轴，垂足为N，
设A(m,n)，
∵AE/​/BD，AC=2OC，
∴ODOE=CDAE=OCOA=13，
∴BN=OD=13n，CD=13m，
∴B(3m,13n)，
∵AC=2OC，△BOC的面积为2，
∴△AOB的面积为6，
∵S△AOB=S梯形ABNM+S△AOM−S△BON=S梯形ABNM，
∴12(BN+AM)(ON−OM)=6，
即12×(13n+n)(m−3m)=6，
∴mn=−92，
∴k=−92．
故选：B．
作AM⊥x轴，垂足为M，AE⊥y轴，垂足为E，BN⊥x轴，垂足为N，设A(m,n)，根据AE/​/BD，AC=2OC，所以ODOE=CDAE=OCOA=13，则BN=OD=13n，CD=13m，所以B(3m,13n)，根据三角形面积为6列出关于m、n的方程，直接计算乘mn的值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BPC=120°=定值，
∴点P的运动轨迹是BC，
当点P是弧BC的中点时，PF的值最大，
此时PB=PC，
∵PF⊥BC，
∴BF=FC=2 3，∠BPF=∠CPF=60°，
∴PF= 33BF=2，
∴PF的最大值为2．
故选：B．
判断出∠BPC=120°，推出点P的运动轨迹是BC，当点P是弧BC的中点时，PF的值最大，求出此时PF的值即可．
本题考查角平分线的性质，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
12.【答案】x>−1
【解析】解：x+132(x+1)<3(x−1)+6，
2x+2<3x−3+6，
2x−3x<−3+6−2，
−x<1，
x>−1．
故答案为：x>−1．
本题考查一元一次不等式的解法，步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.根据一元一次不等式的解法即可解答．
此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
13.【答案】3 5或2 10
【解析】解：如图所示：过点A作AG⊥BC，垂足为G．
∵AB=AC=6 2，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2=12．
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴AG=BG=CG=6．
设BD=x，则EC=7−x．
由翻折的性质可知：∠B=∠DFA=∠C=∠AFE=45°，DB=DF，EF=EC．
∴DF=x，EF=7−x．
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即25=x2+(7−x)2，解得：x=3或x=4．
当BD=3时，DG=3，AD= 33+62=3 5．
当BD=4时，DG=2，AD= 22+62=2 10．
∴AD的长为3 5或2 10．
故答案为：3 5或2 10．
过点A作AG⊥BC，垂足为G，由等腰三角形的性质可求得AG=BG=GC=6，设BD=x，则DF=x，EF=7−x，然后在Rt△DEF中依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得DG的值，然后依据勾股定理可求得AD的值．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．
14.【答案】(−2,−4) m≤−3
【解析】解：(1)y=x2+2mx+m2−2m=(x−m)2−2m，
当m=2时，y=(x−m)2−2m，
∴顶点坐标为：(2,−4)；
(2)当x=t时，yM=2t−2，则点M的坐标为(t,2t−2)，yN=t2+2mt+m2−2m则点N的坐标为(t,t2−2mt+m2−2m)，
∴yN−yM=t2+2mt+m2−2m−(2t−2)=(t+m−1)2+1>0，
∴点N恒在点M上方，
∴MN=yN−yM=(t+m−1)2+1，
可得：当t∵当m<4时，PQ的长度随m的增大而减小，
∴−(m−1)≥4，
解得：m≤−3；
故答案为：(1)(−2,−4)；(2)m≤−3．
(1)将解析式转化成顶点式即可求解；
(2)将x=m代入解析式，求得点P，点Q的坐标，求得yN−yM=t2+2mt+m2−2m−(2t−2)=(t+m−1)2+1>0，可知点N恒在点M上方，可得MN=yN−yM=(t+m−1)2+1，由当m<3时，PQ的长度随m的增大而减小，可知−(m−1)≥4，即可求得M的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，求出点P，点Q的坐标，表示出PQ长度将其转化为顶点式是解决问题的关键．
15.【答案】解：(1)如图；
(2)如图；
旋转过程中，点B到B2所经过的路径长为以OB为半径，90°为圆心角的弧长，BB2=14×2π×3=32π.
【解析】(1)先画出三角形各顶点平移后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到平移后的三角形；
(2)先画出三角形各顶点绕着点O逆时针旋转90°后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形；最后根据弧长计算公式进行计算，求得旋转过程中点B到B2所经过的路径长．
本题主要考查了图形基本变换中的平移和旋转以及弧长的计算，解决问题的关键是先找准对应点，并依次连接对应点．需要注意的是，平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；旋转也不改变图形的大小和形状，但对应点到旋转中心的距离相等．
16.【答案】解：原式=2− 3−1+2× 32+9
=2− 3−1+ 3+9
=10．
【解析】利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】432=10×(10×4+6)×4+9
【解析】解：(1)432=10×(10×4+6)×4+9，
故答案为：432=10×(10×4+6)×4+9；
(2)一般性规律：(10a+3)2=10a×(10a+6)+9．
证明：∵等式左边=(10a+3)2=100a2+60a+9，
等式右边=10a×(10a+6)+9=100a2+60a+9，
∴等式左边=等式右边，即(10a+3)2=10a×(10a+6)+9．
(1)根据前3个等式的规律，即可写出答案；
(2)根据前3个等式的运算过程，即可得出一般性规律，再进行证明即可．
本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，找出等式的变化规律是解题的关键．
18.【答案】解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：5x+2y=192x+5y=16，
解得：x=3y=2，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
【解析】设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在Rt△DEM中，EM=0.8m，∠EMD=30°，
sin30°=DEEM=DE0.8=12，
解得DE=0.4，
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．
(2)由(1)得，DE=0.4m，
∴GE=GD−ED=1.04−0.4=0.64(m)，
∵EF//AB，
∴∠GEF=∠EDB=90°，
在Rt△GEF中，∠GFE=53°，GE=0.64m，
tan53°=GEEF=0.64EF≈43，
sin53°=GEFG=0.64FG≈45，
∴EF=0.48，FG=0.8，
∴运动员的身高为GF+EF+DE=0.8+0.48+0.4=1.68(m)．
【解析】(1)在Rt△DEM中，EM=0.8m，∠EMD=30°，sin30°=DEEM=DE0.8=12，即可得出DE．
(2)由(1)得，DE=0.4m，则GE=GD−ED=0.64(m)，在Rt△GEF中，tan53°=GEEF=0.64EF≈43，sin53°=GEFG=0.64FG≈45，解得EF=0.48，FG=0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴半径OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD/​/AC，
∴∠C=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
(2)解：过点O作OH⊥AF于H，设AH=x，
∵OH过圆心
∴AF=2AH=2x．
∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴∠OHE=∠ODE=∠DEH=90°，
∴四边形OHED为矩形，
∴DE=OH=8，HE=OD=x+4，
在Rt△OHA中，OH2+AH2=OA2，
即82+x2=(x+4)2，
∴x=6，
∴AF=12．
【解析】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，矩形的判定与性质及勾股定理应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
(1)连接OD，根据已知可得OD/​/AC，则∠C=∠ODB，又∠B=∠ODB，等量代换得出∠C=∠B，即可证明AB=AC；
(2)过点O作OH⊥AF于H设AH=x，证明四边形OHED为矩形，在Rt△OHA中，OH2+AH2=OA2，列方程并解方程，即可求解．
21.【答案】100
【解析】解：(1)参与问卷调查的学生人数为(8+2)÷10%=100(人)，
读4本的女生人数为100×15%−10=5(人)，
读2本人数所占百分比为20+18100×100%=38%，
补全图形如下：
故答案为：100；
(2)估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570(人)．
(3)把2名男生记为A、B，2名女生记为C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，一名男生一名女生的结果有8种，
∴刚好是一名男生一名女生的概率为812=23．
(1)由读1本书的人数及其所占百分比可得总人数，再求出读4本书的女生人数及2本书人数所占百分比可补全图形；
(2)用总人数乘以样本中读2本课外书人数所占百分比即可；
(3)画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图．
22.【答案】解：(1)∵抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,3)，对称轴为直线x=1，
则9a+3b+c=0c=3−b2a=1，解得：a=−1b=2c=3，
∴抛物线L的解析式为y=−x2+2x+3，
由点A、B的坐标得：直线AB的解析式为y=−x+3；
(2)设点P的横坐标为t，则P(t,−t2+2t+3)，C(t,0)，D(t,−t+3)，
∴AC=3−t，PD=−t2+3t，
∵A(3,0)，B(0,−3)，
∴OA=OB=3，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵PC⊥x轴，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD= 2AC= 2(3−t)，
∴PD+AD=−t2+3t+3 2− 2t=−(t−3− 22)2+11+6 24，
∴当t=3− 22时，PD+AD有最大值，
即点P的横坐标为3− 22时，PD+AD有最大值；
(3)由(1)可知，直线AB的解析式为y=−x+3，
抛物线L为：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴设平移后抛物线L′的解析式y=−(x−m)2+4，
∴−x+3=−(x−m)2+4，
整理，得：x2−(2m+1)x+m2−1=0，
设M(x1,y1)N(x2,y2)，则x1x2是方程x2−(2m+1)x+m2−1=0的两根，
∴x1+x2=2m+1，
∵B为MN的中点，
∴x1+x2=0，
∴2m+1=0，
解得：m=−12
∴抛物线的解析式y=−(x+12)2+4=−x2−x+154．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明△ACD为等腰直角三角形，则AD= 2AC= 2(3−t)，即PD+AD=−t2+3t+3 2− 2t，即可求解；
(3)设M(x1,y1)N(x2,y2)，则x1x2是方程x2−(2m+1)x+m2−1=0的两根，则x1+x2=2m+1，由B为MN的中点，得到2m+1=0，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、图象的平移、最值的确定等，数形结合是解题的关键．
23.【答案】1
【解析】解：(1)过点E分别作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABC=∠BGE=∠BE=90°，BD平分∠ABC．
∴GE=HE．
∴四边形GBHE是正方形．
∴∠GEH=90°，
∵EF⊥AE．
∴∠AEF=∠GEH=90°，
∴∠AEF−∠GEF=∠GEH−∠GEF，
∴∠AEG=∠FEH．
在△AGE和△FHE中，
∠AGE=∠FHEGE=EH∠AEG=∠FEH，
∴△AGE≌△FHE(ASA)．
∴AE=EF．
故答案是：1；
(2)过点E分别作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BGE=∠EHB=90°，∠BGE=∠BAD=90°，AD=BC．
∴四边形BHEG是矩形，GE/​/AD
∴BG=EH，∠GEH=90°．
∴△BGE∽△BAD，
∴BGAB=GEAD，
∴EHAB=GEAD，
∴EHGE=ABAD，
∴EHGE=ABBC，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=∠GEH=90°，
∴∠AEF−∠GEF=∠GEH−∠GEF，
∴∠AEG=∠FEH，
∵∠AGE=∠FHE=90°，
∴△AGE∽△FHE，
∴EFAE=EHGE，
∴EFAE=ABBC，
∵ABBC=m，
∴EFAE=m；
(3)如图，作CH⊥BD于H，作EQ⊥AB于Q．
∵CD=AB=2，BC=4．
∴BD= CD2+BC2=2 5．
∵∠CDH=∠CDB，∠CHD=∠BCD=90°，
∴△CHD∽△BCD，
∴DHCD=CDBD，
∴DH2=22 5，
∴DH=2 55，
∵CD=CE，
∴EH=DH=2 55．
∴DE=2EH=4 55，
∴BE=BD−DE=6 55，
∵QE//AD．
∴△BQE∽△BAD，
∴QEAD=BEBD=BQAB，
∴QE4=35=BQ2，
∴QE=125，BQ=65，
∴AQ=AB−BQ=2−65=45，
∴AE= AQ2+QE2=45 10，
由(2)得，EFAE=12，
∴EF=12AE=25 10．
(1)过点E分别作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H.证明△AGE≌△FHE(ASA).得出AE=EF即可得出答案；
(2)过点E分别作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H.证明△BGE∽△BAD，得出BGAB=GEAD，证明△AGE∽△FHE，得出EFAE=EHGE，则可得出答案；
(3)作CH⊥BD于H，作EQ⊥AB于Q.证明△CHD∽△BCD，得出DHCD=CDBD，证明△BQE∽△BAD，得出QEAD=BEBD=BQAB，可求出QE和BQ的长，由勾股定理可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质及矩形的性质是解题的关键．