广西桂林市、来宾市2024届高三下学期第三次联合模拟考试（三模）数学试卷（原卷版+解析版）

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2024.5
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3 若，则（ ）
A. 18B. -18C. 12D. -12
4. 具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（ ）
A. 40B. 32C. 8D. 12.8
5. 某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ）
A 45种B. 90种C. 180种D. 270种
6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
7. 已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，，，，则（ ）
A. B.
C. 的面积为D. 外接圆的直径是
10. 某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（ ）
A B.
C. D.
11. 如图，已知圆锥PO的底面半径为，高为，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则（ ）
A. 当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于或
B. 该圆锥可以放入表面积为的球内
C. 边长为的正方体可以放入到该圆锥内
D. 该圆锥可以放入边长为的正方体中
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为________．
13. 在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为________．
14. 若对任意的恒成立，则k的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 年菜一词指旧俗过年时所备菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）；
（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率．
参考数据：若，则，．
16. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
17. 如图，在直三棱柱中，，，三棱锥的体积为，点D为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线CD与平面所成角的正弦值．
18. 双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为．
（1）求C的方程；
（2）若过点的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若且有2个极值点，，求证：．