【专项复习】高考数学专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）（题型训练）.zip

这是一份【专项复习】高考数学专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）（题型训练）.zip，文件包含专项复习高考数学专题09数列求和通项含绝对值数列求和题型训练原卷版docx、专项复习高考数学专题09数列求和通项含绝对值数列求和题型训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32072" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32072 \h 1
\l "_Tc4996" 题型一：通项含绝对值 PAGEREF _Tc4996 \h 1
\l "_Tc26840" 题型二：通项含取整函数 PAGEREF _Tc26840 \h 3
\l "_Tc12591" 题型三：通项含自定义符号 PAGEREF _Tc12591 \h 4
\l "_Tc3551" 二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 PAGEREF _Tc3551 \h 5
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求的前项和
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15项和为
．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列的前项和为，，，且有最小值.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设数列的前项和为，求.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为等差数列，故，
又因，所以或，
当时，的公差为，，
此时有最大值，无最小值不符合题意舍去，
当时，的公差为，，
此时，有最小值满足题意，
，
综上，.
（2）当时，，此时，
当时，此时
，
故
题型二：通项含取整函数
如：求的前项和
例题1．（2023·全国·高三专题练习）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893.
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若（其中表示不超过的最大整数），求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)147
【详解】（1）因为，所以
又因为为正项数列,所以,可得
当时，，
当时，，
将代入上式验证显然适合，所以.
（2）已知,因为，，，
所以，
所以.
题型三：通项含自定义符号
如：记表示x的个位数字，如
求的前项和
例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.
【答案】（1）；；（2）.
【详解】解：（1）.
时，，符合上式.
∴.
又，，
而当时，，，
因为，故，因此，所以数列为等比数列，
故，故.
（2）由（1）得，，
因为表示的个位数，
因此均为周期数列，且周期为5.
将数列中每5个一组，前30项和可分为6组，
其前30项的和为
.
例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设为数列的前项和，，数列满足.
(1)求及；
(2)记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）当时，，由于也满足，则.
，，，是首项为3，公差为2的等差数列，.
（2），的前5项依次为1，3，5，7，9.
，的前5项依次为3，5，7，9，1.
易知，数列与的周期均为5，
的前20项和为
.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则＝（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】B
【详解】，，．
是等差数列，首项为4，公差为2．
．
时，
．
．
当时，．
.
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列满足：，，若前三项构成等比数列且满足，为数列的前项和，则的值为（ ）
（表示不超过的最大整数）.
A．4040B．4041C．5384D．5385
【答案】C
【详解】依题意，
，即，解得.
则，结合，解得.
依题意，
，
，
所以数列是周期为的周期数列，
，
，
，所以.
故选：C
二、填空题
3．（2023·全国·高三对口高考）已知的前n项和，则 .
【答案】
【详解】当时，，
当时，
取时，，此式不满足，
故的通项公式为，
根据通项公式知，.
所以
故答案为：.
三、双空题
4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式 ；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数= .
【答案】 或
【详解】(1)因为数列是周期为的周期数列，，则，
所以.
故答案为：.
(2)因为，所以，
所以当时，的前项和为，
当时，的前项和为；
满足，
即，.
而，
(1)当时，，
所以，
解得或；
(2)当时，，
所以，
解得不是整数，舍去.
故答案为：或.
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
【答案】(1)
(2)36
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可知，
因为，
所以，
解得，所以，
，故．
（2）因为，所以，所以．
因为，
所以当时，，则，又，故；
当时，，则，故；
当时，，则，故；
当时，，则，故，
依次类推，当时，，则，故，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合中元素的个数为
个．
6．（2023·全国·高二专题练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_____________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.
【答案】(1)若选①或②，,；选③，
(2)若选①或②，；选③，
【详解】（1）若选①：
因为，所以，
两式相减得，整理得，
即，所以为常数列，，所以；
若选②：
因为，所以，
两式相减，
得，因为，所以，
故为等差数列，则；
若选③：
由，变形得：，则，
易知，所以，则为等差数列，由，则，，所以，
由当时，，也满足上式，所以.
（2）若选①或②：
由题意，，当时，，；
当时，，；当时，；
.
若选③：
由题意，，当时，，；
当时，，；当时，，；
.
7．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【详解】若选：由已知，所以
通项，
故
不妨设的公差为.则
解得所以
由，则，
，
所以.
若选：由已知，，
通项
故.
不妨设的公差为，则，
解得所以.
由，则，
，
所以.
若选：由已知，所以
通项，
故
不妨设的公差为.则，
因为解得所以.
由
则
，
所以.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）是和的等比中项，
所以，
即，
又由，
即，
整理得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
当时，，
所以，
当时，记数列的前项和为，
则，
所以，
综上得：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】解：（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，
所以
（2）由得，而，
所以当时，，当时，，
当时，，
当时，
，
所以
10．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知数列是单调递增的等差数列，设其前项和为，已知，且成等比数列.
(1)求的通项公式：
(2)定义为不大于的最大整数，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
因为，且成等比数列，
所以，解得或（舍去），
所以，
（2）由（1）得，
所以，所以，
当时，，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
当时，，
所以数列的前项和为
，
令，则
，
所以
，
所以.
11．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数的首项，且满足.
(1)求证：为等比数列，并求；
(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)610
【详解】（1）因为，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，整理得到，
所以.
（2）因为，
所以
.
设，所以，
所以
所以，
所以.
因为，所以，
所以.
12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知等比数列是递减数列，设其前n项和为，已知，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)定义为不大于x的最大整数，若等差数列的首项为，公差为的公比，求数列的前15项和.
【答案】(1)
(2)34
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，所以①.
因为，所以②.
②－①得，所以，
代入，得.
解得或（舍去）.
所以.
（2）由（1）可得，
所以，则.
所以.
当时，.
当时，，
当时，，
当时，，
所以数列的前15项和为.
13．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列中，，公差，令，求数列的前n项和．
【答案】
【详解】由题意知等差数列中，，公差，
故，
令，
故当时，；
当时，，
，
故.
14．（2023·全国·高三专题练习），，记表示的个位数字，如， 求数列的前20项的和
【答案】
【详解】因为，分别表示，的个位数，
所以为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，
为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5，
将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和为
故答案为：.
15．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列是以2为公差的等差数列，， ，成等比数列，数列前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记表示x的个位数字，如， 求数列的前20项的和.
【答案】(1)，bn =2n+ 1；
(2).
【详解】（1）由a1，a2， a5成等比数列可得，即，解得a1=1，
所以，又，
则有，
当n≥2时，，
所以bn =2n+ 1，又满足此式
综上，.
（2）因为，< bn >分别表示an，bn的个位数，
所以{}，{< bn> }均为周期数列，且周期为5，
将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和T20为