2024年重庆市大渡口区中考数学第二次适应性试题（原卷版+解析版）

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1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查从不同方向看物体，掌握从左面看到有两行，后边一行有两个正方形，前面一行有个正方形是解题的关键．
【详解】解：从左面看到该几何体的形状图是
故选B．
3. 反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
【详解】解：设反比例函数表达式为，把代入
∴，
A、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
C、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：B．
4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答．
【详解】解：两个相似三角形的周长比为，它们对应的相似比为．
故选C．
5. 如图，，射线交于点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据两直线平行，同旁内角互补，可求出的度数，然后根据对顶角相等，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
，
，
，
和是对顶角，
，
故选：B．
6. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】先进行二次根式的计算，再根据的取值范围确定结果的取值范围．
【详解】∵
∵，
∴
∴，
∴的值应在和之间，
故选：C
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7. 如图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有4张黑色正方形纸片，第②个图中有7张黑色正方形纸片，第③个图中有10张黑色正方形纸片……按此规律排列下去第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A. 25B. 28C. 31D. 34
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出其中的变化规律是解题的关键．
根据题目中的规律可得：第个图中的黑色正方形纸片张数为：，再计算，即可得出答案．
【详解】解：由题目可知：
第①个图中有4张黑色正方形纸片，即；
第②个图中有7张黑色正方形纸片，即；
第③个图中有10张黑色正方形纸片，即；
，
按此规律排列下去，第个图中的黑色正方形纸片张数为：，
第⑨个图中黑色正方形纸片张数为：，
故选：B．
8. 如图，是的直径，切于点A，，交于点C，若，则的长为（ ）
A. 2B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，含度角的直角三角形的性质等知识，根据切线的性质得出，在中，根据正切定义求出，即可求出，在中，根据含度角的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵切于点A，
∴，
又，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，正方形中，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，先证明，可得出是等腰直角三角形，得出，利用直角三角形的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于进行“绝对运算”，得到：．
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7；
③对进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①根据“绝对运算”的运算方法进行运算即可判定；
②根据“绝对运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“绝对运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】解：①对1，3，5，10进行“差绝对值运算”得：，故①正确；
②对x，，5，
∵，表示的是数轴上点x到和5的距离之和，
∴最小值为，
∴x，，5的“绝对运算”的最小值是：，故②不正确；
对a，b，b，c进行“绝对运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
a，b，b，c的“绝对运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③正确，
综上分析可知，有2个正确的．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算法则，掌握零指数幂的运算性质是解本题的关键．
化简绝对值，零指数幂，然后再计算即可．
【详解】解：，
故答案为：3．
12. 我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则________°.
【答案】18
【解析】
【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得内角的度数，进而求解．
【详解】正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°，
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了正五边形和正方形的性质，多边形的内角和定理，即，熟练掌握知识点是解题的关键．
13. 小明和小颖分别从三部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的影片相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设这三部影片分别用A、B、C表示，列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们选择的影片相同的结果数有3种，
∴他们选择的影片相同的概率为，
故答案为：．
14. 初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
15. 如图，与相切于点，点，是圆上的点，且，的延长线交于点，交圆于点，若，由图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，由，求得，由切线的性质证明，则，求得，即可由求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
则，
是的直径，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，，
，点是线段的中点，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如果关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．
【详解】解：解不等式组，得：，
不等式组至少有两个整数解，
，
解得：，
解关于的分式方程，
得：，且
∴
分式方程解为正整数，且，
符合条件的所有整数的值为5，7，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：12．
18. 对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是 _____；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是 _____．
【答案】 ①. 213 ②. 978
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握“义渡数”是解题关键．
由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213．由，又得，结合，分类讨论即可．
【详解】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213，
故答案为：213．
，
，
，
，
，
当时，，若最大，则，
当时，，若最大，则，
当时，，若最大，则，
的最大是978．
故答案为：978．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共7分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式及分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用平方差公式，单项式乘多项式法则计算即可；
（2）利用分式的加减法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 如图，在中，平分交于点E，连接，完成下列作图和填空．
（1）利用尺规作平分交于点F，连接（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴① ．
∴．
在△DOF和△BOE中，
，
∴．
∴③ ．
∴四边形为平行四边形．
∴④ ．
【答案】（1）见详解 （2）①，②，③④
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．
(1)根据角平分线的作图方法作图即可．
(2)根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质填空即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求：
【小问2详解】
证明∶∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴①，
∴．
在和中，
∴，
∴③．
∴四边形平行四边形．
∴④．
故答案为∶①②③,④．
21. 某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为，将所得数据分为5组（“很满意”：；“满意”：；“比较满意”：；“不太满意”：；“不满意”：），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：
c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
d．甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：
83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出和的值；
（2）根据以上数据，你认为哪所中学延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；
（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．
【答案】（1）；
（2）甲中学延时服务开展较好；理由见解析
（3）约为750人
【解析】
【分析】（1）根据乙中学延时服务得分情况扇形统计图求出“比较满意”组所占的百分比，即可得到m的值；根据甲中学“满意”组的分数从高到低排列后的最后10个数求出甲中学延时服务得分的中位数，即可得到n的值；
（2）根据甲中学和乙中学延时服务得分的平均数，中位数和众数进行比较并选择即可；
（3）根据乙中学延时服务得分情况扇形统计图求出这100名家长中认为该校延时服务合格的百分比，再乘以乙中学家长人数即可．
【小问1详解】
解：乙中学“比较满意”所占的百分比为，即．
甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的个数分别是：，，，，，，，，，．
将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即．
【小问2详解】
解：甲中学延时服务开展较好，理由如下．
因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数和众数均比乙中学的高，所以甲中学延时服务开展较好．
【小问3详解】
解：人．
答：乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数约为750人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，数据的集中趋势，用样本估计总体，熟练掌握这些知识点是解题关键．
22. 某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个．
（1）求第二批纪念品的单价；
（2）两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数．
【答案】（1）第二批纪念品单价为44元
（2）240个
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元，列出方程求解即可．
（2）先求出第二批纪念品数量，设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元，根据题意列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验得是原方程的解，
∴，
答：第二批纪念品的单价为44元；
【小问2详解】
解：购进第二批纪念品的数量为（个），
设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元，
根据题意，得，
解得，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
答：定制第三批纪念品的数量为240个．
23. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为，．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合图象直接写出时，t的值．
【答案】（1）关于的函数关系式为：
（2）作图见详解，当时，随的增大而减小
（3）的值为3或9
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得到，由题意得，当时，，，根据线段的和差得到，，于是得到函数关系式；当时，得到，，即可得到函数关系式；
（2）根据函数解析式在平面直角坐标系中画出函数的图象即可；
（3）将分别代入两个函数解析式解两次方程即可．
【小问1详解】
解：，，，
，
由题意得，当时，，，
，，
；
当时，
，，当相遇时，，解得，
，
综上所述，关于函数关系式为：；
【小问2详解】
解：在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示，
当时，随的增大而减小；
【小问3详解】
解：当时，
，解得；或，解得
∴的值为3或9．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，求函数的解析式，画函数的图象以及函数的性质，正确地画出函数的图象是解题的关键．
24. 如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于地铁站南偏东方向的图书馆C处．
（1）求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离；
（2）如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿回到地铁站A，那么她在10分钟内能否到达地铁站A？（，）．
【答案】（1）500米
（2）能
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点A作于D，在中，利用余弦定义求出即可求解；
（2）在中，利用余弦定义求出，然后利用时间=路程速度求解即可．
【小问1详解】
解：过点A作于D，
由题意，得米，，，
在中，米，
答：乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离为500米；
【小问2详解】
解：在中，，
∴乐乐回到地铁站A的时间为分钟，
而，
∴她在10分钟内能到达地铁站A．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为，P的坐标为
（3）G的横坐标为或
【解析】
【分析】（1）把A、B坐标代入解析式求解即可；
（2）解：设，过A作于G，先求出点C的坐标，然后求出，证明，，可得，求出，则，待定系数法求出直线解析式为，进而求出直线解析式可设为，可求出，，然后利二次函数的性质求解即可；
（3）先求平移后的函数解析式，当G在x轴上方时，设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，可证明，利用同角的三角函数值相等，可求，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可；当点G在x轴下方时，
作H关于直线的对称点Q，连接，过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，可证，求出，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：设，
过A作于G，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴直线解析式可设为，
把代入，得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
此时，P的坐标为；
【小问3详解】
解：，
∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
当G在x轴上方时，
设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
整理得，
解得，（舍去），
∴G的横坐标为；
当点G在x轴下方时，
作H关于直线的对称点Q，连接，
∴，，
过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
整理得，
解得，（舍去），
∴G的横坐标为；
综上，G的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
26. 在中，点C在直线的上方．
（1）如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
（2）如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2），理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）设，则，对运用勾股定理求解即可；
（2）过点C作的平行线交于点G，则A、C、E、B四点共圆，先证明四边形是平行四边形，再由“”证明，即可得证；
（3）记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，先证明，得，再通过证明出，则，由即可求解．
【小问1详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
则（负值舍去）；
【小问2详解】
解：过点C作的平行线交于点G，
∵ ，，
∴A、C、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，则，
∵，
∴
∴，
∵点K为中点，且
∴，
∵，
∴，
∴，
而，点K为中点，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，圆周角定理，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．小明
小颖
学校
平均数
中位数
众数
甲
85
83
乙
81
79
80