2023-2024学年河南省郑州市中原区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市中原区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果a>b，那么下列结论中错误的是( )
A. a−2>b−2B. 5a>5bC. a3>b3D. −a>−b
2.下列电视台的台标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A. 80°或20°B. 80°C. 80°或50°D. 20°
4.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A. 3.5B. 4.2C. 5.8D. 7
5.若x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x−1)，则m+n=( )
A. 1B. −2C. −1D. 2
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°.将Rt△ABC绕点C逆时针旋转48°得到RtΔA′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小是( )
A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
8.现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )
A. 4辆B. 5辆C. 6辆D. 7辆
9.如图，A，B两点的坐标分别为(2,0)(0,1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
10.现规定一种新运算，a※b=ab+a−b，其中a、b为常数，若(2※3)+(m※1)=6，则不等式3x−22<−m的解集是( )
A. x<−43B. x<0C. x>1D. x<2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.“两直线平行，同旁内角互补”是______命题(真、假)
12.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF.连接AD，则四边形ABFD的周长为______．
13.乐天借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，列出的不等式为______．
14.直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为______．
15.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)因式分解：6ab2−9a2bc−3ab；
(2)解不等式组5x−2>3(x+1)12x−1≤7−32x，并把解集在数轴上表示出来．
17.(本小题8分)
已知a+b=5，ab=3，求a3b+2a2b2+ab3的值．
18.(本小题8分)
如图所示，已知ΔABC的角平分线BM，CN相交于点P．
(1)判断AP能否平分∠BAC？请说明理由．
(2)由此题你得到的结论是______．
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,2).请解答下列问题：
(1)画出△ABC向左平移6个单位得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
20.(本小题9分)
如图，小明同学做手工余下四块长方形的边角材料，请你把这四个图形拼成一个大长方形，画出图形，并据此写出一个多项式的因式分解．
21.(本小题10分)
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求A，B两种树苗每棵各多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第(2)问的购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=30°．
(1)求∠NMB的度数；
(2)如果将(1)中∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系，直接写出你的结论．
23.(本小题11分)
如图，点O为等边三角形ABC的中心，射线OE交AB于点E，射线OF交BC于点F.若△ABC的面积为S，∠EOF=120°，则当∠EOF绕点O旋转时，得到的阴影部分的面积发生变化吗？下面有三名同学分别提出了他们的观点：
甲：只有当OE，OF分别与△ABC的边垂直时，阴影部分的面积才不变．
乙：只有当E，F分别与△ABC的顶点重合时，阴影部分的面积才不变．
丙：无论怎样旋转，阴影部分的面积都保持不变．
你支持谁的观点？理由是什么？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.∵a>b，
∴a−2>b−2，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴5a>5b，故本选项不符合题意；
C.∵a>b，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴−a<−b，故本选项符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为12(180°−80°)=50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：A．
分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；当80°角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
4.【答案】D
【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的最小值为3．
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP的最大值为6，
故选：D．
利用垂线段最短分析可知：AP的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出AB=6；接下来可知AP的最大值为6，由此即可得到答案．
本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2+mx+n=(x+2)(x−1)=x2+x−2，
∴m=1，n=−2，
则m+n=1−2=−1，
故选：C．
根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．
此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质．
先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角ΔA′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°−∠ACA′=42°．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到RtΔA′B′C，
∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，
∴∠B′=90°−∠ACA′=42°．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=12×4×2+12AC×2=7，
解得AC=3．
故选：D．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设甲种运输车安排x辆，
根据题意得x+(46−5x)÷4≤10，
解得：x≥6，
故至少甲要6辆车．
故选：C．
设甲种运输车安排x辆，可列不等式求解．
本题考查理解题意的能力，关键是以运输46吨物资做为不等量关系列方程求解．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得将线段AB先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段A1B1，
所以a=1，b=1，
所以a+b=2．
故选D．
利用点A与点A1的横坐标得到线段AB向右平移1个单位，再由点B与点B1的纵坐标得到线段AB向上平移1个单位，然后利用此平移规律确定a和b的值，再计算它们的和即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了新定义及解一元一次不等式：先去分母和括号，再移项、合并，然后把未知数的系数化为1得到不等式的解集．也考查了阅读理解能力．
先根据新定义得到2×3+2−3+m×1+m−1=6，解得m=1，则不等式化为3x−22<−1，然后通过去分母、移项可得到不等式的解集．
【解答】
解：∵(2※3)+(m※1)=6，a※b=ab+a−b，
∴2×3+2−3+m×1+m−1=6，
∴m=1，
∴3x−22<−1，
去分母得3x−2<−2，
移项并合并得3x<0，
系数化为1得x<0．
故选B．
11.【答案】真
【解析】解：两直线平行，同旁内角互补是真命题，
故答案为：真
根据命题以及真假命题的定义进行判断．
本题主要考查了命题的定义，真、假命题的定义．比较简单，属于基础题型．
命题是判断一件事情的语句，而判断是对事物有所断定的思维形式，一般可以加上“是”或者“不是”.命题有真有假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
12.【答案】12
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，
∴DF=AC，AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
=AB+BC+CF+AC+AD
=△ABC的周长+AD+CF
=8+2+2
=12．
故答案为：12．
根据平移的性质可得DF=AC、AD=CF=2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
13.【答案】2×5+(10−2)x≥72
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键设出每天读多少，根据要在10天之内读完，以总页数作为关系式列出不等式．
【解答】解：设以后几天里每天要读x页，根据题意得
2×5+(10−2)x≥72．
故答案为2×5+(10−2)x≥72．
14.【答案】x<−1
【解析】【分析】
观察函数图象可知，当x<−1时，函数y=k2x图象都在函数y=k1x+b的图象上方，从而可得到关于x的不等式k2x>k1x+b的解集．
【解答】
解：由图知，当x<−1时，k2x>k1x+b
所以不等式k2x>k1x+b的解集为x<−1．
故答案为x<−1．
15.【答案】2 7
【解析】解：连接BE，与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值．
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴CE=AC−AE=6−2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE/​/DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE−ME=4ME−ME=3ME，
∴BE=43BM．
在直角△BDM中，BD=12BC=3，DM=12AD=3 32，
∴BM= BD2+DM2=32 7，
∴BE=43×32 7=2 7．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为2 7．
要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
16.【答案】解：(1)6ab2−9a2bc−3ab=3ab(2b−3ac−1)；
(2)5x−2>3(x+1)①12x−1≤7−32x②，
解不等式①得：x>2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：2.5∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】(1)利用提公因式法进行分解即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，因式分解−提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：∵a+b=5，ab=3
∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
=3×52
=75．
【解析】将原式利用因式分解变形为ab(a+b)2的形式后即可将已知条件代入求得结果．
本题考查了因式分解的应用，正确的求得本题的答案的关键是因式分解，因式分解时先提公因式后用完全平方公式分解．
18.【答案】(1)AP能平分∠BAC，
理由如下：
如图，过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC；
∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
∴PK=PQ，PL=PQ，
∴PK=PL，
∴AP平分∠BAC；
(2)三角形的三条内角平分线相交于一点
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内角平分线的性质及判定；作辅助线是解决该题的关键．
(1)作辅助线：过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC；证明PK=PL即可解决问题．
(2)由(1)可得三角形的三条内角平分线相交于一点．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)结论：三角形的三条内角平分线相交于一点．
故答案为：三角形的三条内角平分线相交于一点．
19.【答案】解：(1)△A1B1C1，如图所示；A1(−4,2)；
(2)△A2B2C2如图所示；并写出A2(4,0)，
(3)△A3B3C3如图所示，A3(−4,0)、

【解析】(1)分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
(3)分别画出A2、B2、C2的对应点A3、B3、C3即可．
本题考查作图−旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：由图可知：x2+3x+2=(x+2)(x+1)，答案不唯一，
．
【解析】四块长方形的面积为：x2+3x+2，可分解为(x+2)(x+1)，则大长方形的面积为(x+2)(x+1)．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种树苗每棵a元，B种树苗每棵b元，
由题意可得：8a+3b=9505a+6b=800，
解得a=100b=50，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；
(2)设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗(100−x)棵，
由题意可得：100x+50(100−x)≤7650x≥52，
解得，52≤x≤53，
∵x为整数，
∴x=52或53，
∴共有两种方案，
方案一：购买A种树苗52棵，购买B种树苗48棵；
方案二：购买A种树苗53棵，购买B种树苗47棵；
(3)由题意可得，
方案一需要付的工钱为：30×52+20×48=2520(元)，
方案一需要付的工钱为：30×53+20×47=2530(元)，
答：方案一付的工钱少，最少工钱是2520元．
【解析】(1)根据购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
(2)根据购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
(3)根据(2)中的结果和题目中的数据，可以计算出各种方案需要付的工钱，然后即可得到哪一种购买方案所付的种植工钱最少，最少工钱是多少元．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组，找出不等关系，列出相应的不等式组．
22.【答案】解：(1)∵在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=12(180°−∠A)=12×(180°−30°)=75°，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−75°=15°；
(2)∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，
同理得：∠B=12(180°−∠A)=12×(180°−80°)=50°，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−50°=40°；
(3)∠A与∠NMB的关系是：∠NMB=12∠A，理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=12(180°−∠A)=90°−12∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−(90°−12∠A)=12∠A．
【解析】(1)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B=75°，再根据MN⊥AB可得∠NMB的度数；
(2)同理先求出∠B=50°，再根据MN⊥AB可得∠NMB的度数；
(3)根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得∠B=12(180°−∠A)=90°−12∠A，再根据MN⊥AB可得出∠A与∠NMB之间的关系．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
23.【答案】解：支持丙的观点，理由如下：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O为△ABC的中心
∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB．
∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°．
∴OB=OC.∠BOC=120°，
∴∠EOF=∠BOC=120°，
∴∠EOF−∠BOF=∠BOC−∠BOF，即∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
∠OBE=∠OCF=30°OB=OC∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC(ASA)，
∴S△EOB=S△FOC，
∴S四边形OEBF=S△OBC=13S△ABC=13S.
【解析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由“ASA”可证△EOB≌△FOC，可得S△EOB=S△FOC，由面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．