北京市海淀区北京理工大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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数学期中练习
出题人：崔广平 审题人：何拓程 审核人：金永涛 考试时间90分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1. 的值等于（ ）
A B. C. D.
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A B. C. 1D. 3
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD的中点，那么（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
5. 已知是非零向量，则“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
A. B.
C D.
7. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知向量，其中，则的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10. 一粒子在平面上运动轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11. 已知向量满足，则______．
12. 已知，且为第二象限角．则______．
13. 已知，，则______．
14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论：
①若，则是函数的一个零点；
②若，函数的最小值是；
③若，函数图象关于直线对称；
④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题
16. 某同学用五点法作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数的图象；

（2）将的图象向右平移（）个单位，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值．
17. 已知函数
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求的单调递增区间．
18. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
（1）判断是否具有性质；
（2）若，且具有性质，求的值；
（3）若具有性质，求证：且当时，．0
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