还剩15页未读，
继续阅读
2023-2024学年广东省深圳市福田区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
2.若a>b，则下列式子一定成立的是( )
A. a+1b−2C. −2a>−2bD. a33.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. 4a2+2a=2a(2a+1)B. x2−xy=x2(1−yx)
C. (a+3)(a−3)=a2−9D. x2+x−5=(x−2)(x+3)+1
4.不等式组x≥−2x<1的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 无法确定
6.一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，在这次竟赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少要答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得( )
A. 4x−1×(25−x)>85B. 4x+1×(25−x)≤85
C. 4x−1×(25−x)≥85D. 4x+1×(25−x)>85
7.A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. △ABC三条中线的交点处B. △ABC三条边的垂直平分线的交点处
C. △ABC三条高线的交点处D. △ABC三条角平分线的交点处
8.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为( )
A. x≤1
B. x≥1
C. x≤2
D. x≥2
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=58°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与O点恰好重合，则∠OEC的度数为( )
A. 132°
B. 130°
C. 112°
D. 116°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知x−y=5，(x+y)2=49，则x2+y2的值等于______．
12.如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(−4,2)、(−2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是______，左图内有一点p(a,b)经过上述平移后，对应点坐标为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4.则线段PC的长为______．
14.如图1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图2，将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′，连接CD′，当CD′//AB时，四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
若关于x的不等式(3−a)x>2可化为x<23−a，试确定a的取值范围．
16.(本小题10分)
对下列多项式进行分解因式：
(1)4x3y+4x2y2+xy3．
(2)−(m−n)2−6(n−m)−9．
17.(本小题10分)
解不等式组3−x≥2(x−3)x−12−x+13>−1，并把其解集表示在数轴上．
18.(本小题10分)
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
(1)作出△A1B1C1和△A2B2C2；
(2)△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
(1)求∠BDC的度数；
(2)求BD的长．
20.(本小题10分)
开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
21.(本小题10分)
学习了乘法公式(a+b)2=a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式x2+4x+3因式分解；
②求多项式x2+4x+3的最小值．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式x2+4x−5因式分解；
(2)求多项式m2+8m−6的最小值；
(3)若多项式P=x2−x，Q=x−2比较多项式P，Q的大小．
22.(本小题10分)
(1)操作发现：
如图①，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠BAE=∠AED=90°，∠CAD=45°，试猜想BC、CD、DE之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D、E、F三点共线，易证△ACD≌______，故BC、CD、DE之间的数量关系是______；
(2)类比探究：
如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠D=180°，点E、F分别在边CB、DC的延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明；
(3)拓展延伸：
如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=2，CE=3，请在图中作出辅助线，并直接写出DE的长：______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2、不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3、不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】
解：A.a>b，不妨设a=4，b=1，
则a+1>b+2，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴a−2>b−2，故本选项符合题意；
C.∵a>b，
∴−2a<−2b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：A、4a2+2a=2a(2a+1)是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、x2−xy=x2(1−yx)中含有分式，此选项不符合题意；
C、(a+3)(a−3)=a2−9不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、x2+x−5=(x−2)(x+3)+1不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义．
4.【答案】B
【解析】解：用数轴表示解集为：
故选：B．
分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
5.【答案】A
【解析】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题；
本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
4x−1×(25−x)≥85，
故选：C．
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
7.【答案】B
【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，正确理解题意是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，
∴a+1=2，
解得：a=1，
观察图象可知：关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为x≤1．
故选：A．
首先将已知点的坐标代入直线l1：y=x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的左边，直线l1：y=x+1都在直线l2：y=mx+n的下方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得∠AOD=30°，OA=OD，
∴∠ADO=180°−∠AOD2=75°．
故选：C．
利用等腰三角形的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于参考常考题型．
10.【答案】D
【解析】解：连接OB、OC，
∵AO是∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×58°=29°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−58°)=61°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=29°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=61°−29°=32°，
∵AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=32°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与O点恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=32°，
在△OCE中，∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−32°−32°=116°．
故选：D．
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，得到∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，得到∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，根据三角形的内角和定理计算即可．
本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】37
【解析】解：∵x−y=5，
∴x2+y2−2xy=25①，
∵(x+y)2=49，
∴x2+y2+2xy=49②，
∴①+②得：
2(x2+y2)=74，
∴x2+y2=37．
故答案为：37．
首先得出x2+y2−2xy=25①，进而得出x2+y2+2xy=49②，求出x2+y2的值即可．
此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
12.【答案】(5,4) (a+7,b+2)
【解析】解：由题意得：图案向右7个单位，向上平移2个单位，
∵右眼睛的坐标分别是(−2,2)，
∴平移后右眼的坐标是(−2+7,2+2)，
即(5,4)，
∴左图内有一点p(a,b)经过上述平移后，对应点坐标为(a+7,b+2)，
故答案为：(5,4)，(a+7,b+2)．
根据左眼的坐标可得图案向右7个单位，向上平移2个单位，然后再用右眼的坐标，横坐标加7，纵坐标加2即可．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13.【答案】2 2
【解析】解：∵DE=AB=CD=3，
∴△CDE是等腰直角三角形，
作点N关于EC的对称点N′，则N′在直线CD上，连接PN′，如图：
∵PM+PN=4．
∴PM+PN′=4=BC，即MN′=4，
此时M、P、N′三点共线且MN′//AD，点P在MN′的中点处，
∴PM=PN′=2，
∴PC=2 2．
故答案为：2 2．
由题意知△CDE是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点N′，则N′在直线CD上，连接PN′，PN=PN′，PM+PN=4.即PM+PN′=4，BC=4，BM=BN，所以此时M、P、N′三点共线且MN′//AD，点P在MN′的中点处，PM=PN′=2，PC=2 2．
本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．
14.【答案】24−3 72
【解析】解：如图(2)，过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，由翻折得AD=AB=4
∵CD′//AB
∴∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°
∴∠BCE=90°
∵AE⊥AB
∴∠BAE=90°
∴ABCE是矩形，AD′=AD=AB=4
∴AE=BC=3，CE=AB=4，∠AEC=90°
∴D′E= AD′2−AE2= 42−32= 7
∴CD′=CE−D′E=4− 7
∴S四边形ABCD′=12(AB+CD′)⋅BC=12(4+4− 7)×3=24−3 72，
故答案为：24−3 72．
过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用．
15.【答案】解：由题意，知不等式(3−a)x>2可化为x<23−a，
∴3−a<0，
∴a>3，
即a的取值范围为a>3．
【解析】依据不等式的性质解答即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
16.【答案】解：(1)4x3y+4x2y2+xy3
=xy(4x2+4xy+y2)
=xy(2x+y)2；
(2)−(m−n)2−6(n−m)−9
=−[(m−n)2−6(m−n)+9]
=−(m−n−3)2．
【解析】(1)先提公因式，再根据完全平方公式分解因式；
(2)原式先提出负号，再把其余部分利用完全平方公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用了提公因式法、公式分解因式，注意分解要彻底．
17.【答案】解：解不等式3−x≥2(x−3)，得：x≤3，
解不等式x−12−x+13>−1，得：x>−1，
则不等式组的解集为−1将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
(2)如图，
△A2B2C2与△ABC关于Q点成中心对称，
∵C(−1,1)，C1(1,3)，
∴Q点的横坐标为：−1+12=0，Q点的纵坐标为：1+32=2，
∴Q点的坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
(1)利用中心对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，描点得到△A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2；
(2)连接AA2、BB2、CC2，它们相交于Q点，则Q点为对称中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；
(2)在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
【解析】(1)由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
(2)利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
此题主要考查含30°角的直角三角形的性质，关键是根据线段的垂直平分线的性质和30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质等几何知识解答．
20.【答案】解：(1)设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：x+y=35012x+15y=4800，
解得：x=150y=200，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
(2)由题意得：20m+25m+(150−m)×20×0.7+(200−m)×15−4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
【解析】(1)设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，由题意：某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)由题意：两种笔记本的总利润不少于2348元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)x2+4x−5
=x2+4x+4−9
=(x+2)2−32
=(x+2+3)(x+2−3)
=(x+5)(x−1)；
(2)m2+8m−6=m2+8m+16−22=(m+4)2−22，
∵(m+4)2≥0，
∴(m+4)2−22≥−22，
∴多项式m2+8m−6的最小值−22．
(3)∵P=x2−x，Q=x−2，
∴P−Q=x2−x−(x−2)=x2−2x+2=x2−2x+1+1=(x−1)2+1，
∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)2+1≥1，
∴P−Q>0即P>Q．
【解析】(1)根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可；
(2)先配方，再利用(a±b)2≥0即可解决问题；
(3)利用作差法及配方法求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．
22.【答案】△AFD CD=DE+BC 13
【解析】解：(1)BC，CD，DE之间的数量关系为：DF=DE+BC，理由是：
如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，
∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD(SAS)，
∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，
故答案为：△AFD，CD=DE+BC；
(2)如图2，EF，BE，DF之间的数量关系是EF=DF−BE．
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE′，如图②，
则△ABE≌△ADE′，
∴∠DAE′=∠BAE，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠ABE，
∴∠EAE′=∠BAD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ADE′=∠ADC，即E′，D，F三点共线，
又∠EAF=12∠BAD=12∠EAE′
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中，
AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF，
∴△AFE≌△AFE′(SAS)，
∴FE=FE′，
又∵FE′=DF−DE′，
∴EF=DF−BE；
(3)如图③，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使AB与AC重合，连接ED′，则CD′=BD=2，
由(1)同理得，△AED≌△AED′，
∴DE=D′E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD′=45°，
∴∠ECD′=90°，
在Rt△ECD′中，ED′= EC2+D′C2= 22+32= 13，即DE= 13，
故答案为： 13．
(1)如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；
(2)如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE′，证明△AFE≌△AFE′，据全等三角形的性质解答；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使AB与AC重合，连接ED′，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．
本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．①x2+4x+3=x2+4x+4−1=(x+2)2−1=(x+3)(x+1)=(x+2+1)(x+2−1)
②由①，得x2+4x+3=(x+2)2−1，因为(x+2)2≥0，所以(x+2)2−1≥−1.所以，当x=−2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为−1．
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
2.若a>b，则下列式子一定成立的是( )
A. a+1
A. 4a2+2a=2a(2a+1)B. x2−xy=x2(1−yx)
C. (a+3)(a−3)=a2−9D. x2+x−5=(x−2)(x+3)+1
4.不等式组x≥−2x<1的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 无法确定
6.一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，在这次竟赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少要答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得( )
A. 4x−1×(25−x)>85B. 4x+1×(25−x)≤85
C. 4x−1×(25−x)≥85D. 4x+1×(25−x)>85
7.A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. △ABC三条中线的交点处B. △ABC三条边的垂直平分线的交点处
C. △ABC三条高线的交点处D. △ABC三条角平分线的交点处
8.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为( )
A. x≤1
B. x≥1
C. x≤2
D. x≥2
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=58°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与O点恰好重合，则∠OEC的度数为( )
A. 132°
B. 130°
C. 112°
D. 116°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知x−y=5，(x+y)2=49，则x2+y2的值等于______．
12.如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(−4,2)、(−2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是______，左图内有一点p(a,b)经过上述平移后，对应点坐标为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4.则线段PC的长为______．
14.如图1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图2，将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′，连接CD′，当CD′//AB时，四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
若关于x的不等式(3−a)x>2可化为x<23−a，试确定a的取值范围．
16.(本小题10分)
对下列多项式进行分解因式：
(1)4x3y+4x2y2+xy3．
(2)−(m−n)2−6(n−m)−9．
17.(本小题10分)
解不等式组3−x≥2(x−3)x−12−x+13>−1，并把其解集表示在数轴上．
18.(本小题10分)
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
(1)作出△A1B1C1和△A2B2C2；
(2)△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
(1)求∠BDC的度数；
(2)求BD的长．
20.(本小题10分)
开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
21.(本小题10分)
学习了乘法公式(a+b)2=a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式x2+4x+3因式分解；
②求多项式x2+4x+3的最小值．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式x2+4x−5因式分解；
(2)求多项式m2+8m−6的最小值；
(3)若多项式P=x2−x，Q=x−2比较多项式P，Q的大小．
22.(本小题10分)
(1)操作发现：
如图①，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠BAE=∠AED=90°，∠CAD=45°，试猜想BC、CD、DE之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D、E、F三点共线，易证△ACD≌______，故BC、CD、DE之间的数量关系是______；
(2)类比探究：
如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠D=180°，点E、F分别在边CB、DC的延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明；
(3)拓展延伸：
如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=2，CE=3，请在图中作出辅助线，并直接写出DE的长：______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2、不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3、不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】
解：A.a>b，不妨设a=4，b=1，
则a+1>b+2，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴a−2>b−2，故本选项符合题意；
C.∵a>b，
∴−2a<−2b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：A、4a2+2a=2a(2a+1)是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、x2−xy=x2(1−yx)中含有分式，此选项不符合题意；
C、(a+3)(a−3)=a2−9不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、x2+x−5=(x−2)(x+3)+1不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义．
4.【答案】B
【解析】解：用数轴表示解集为：
故选：B．
分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
5.【答案】A
【解析】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题；
本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
4x−1×(25−x)≥85，
故选：C．
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
7.【答案】B
【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，正确理解题意是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，
∴a+1=2，
解得：a=1，
观察图象可知：关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为x≤1．
故选：A．
首先将已知点的坐标代入直线l1：y=x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的左边，直线l1：y=x+1都在直线l2：y=mx+n的下方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得∠AOD=30°，OA=OD，
∴∠ADO=180°−∠AOD2=75°．
故选：C．
利用等腰三角形的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于参考常考题型．
10.【答案】D
【解析】解：连接OB、OC，
∵AO是∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×58°=29°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−58°)=61°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=29°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=61°−29°=32°，
∵AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=32°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与O点恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=32°，
在△OCE中，∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−32°−32°=116°．
故选：D．
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，得到∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，得到∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，根据三角形的内角和定理计算即可．
本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】37
【解析】解：∵x−y=5，
∴x2+y2−2xy=25①，
∵(x+y)2=49，
∴x2+y2+2xy=49②，
∴①+②得：
2(x2+y2)=74，
∴x2+y2=37．
故答案为：37．
首先得出x2+y2−2xy=25①，进而得出x2+y2+2xy=49②，求出x2+y2的值即可．
此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
12.【答案】(5,4) (a+7,b+2)
【解析】解：由题意得：图案向右7个单位，向上平移2个单位，
∵右眼睛的坐标分别是(−2,2)，
∴平移后右眼的坐标是(−2+7,2+2)，
即(5,4)，
∴左图内有一点p(a,b)经过上述平移后，对应点坐标为(a+7,b+2)，
故答案为：(5,4)，(a+7,b+2)．
根据左眼的坐标可得图案向右7个单位，向上平移2个单位，然后再用右眼的坐标，横坐标加7，纵坐标加2即可．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
13.【答案】2 2
【解析】解：∵DE=AB=CD=3，
∴△CDE是等腰直角三角形，
作点N关于EC的对称点N′，则N′在直线CD上，连接PN′，如图：
∵PM+PN=4．
∴PM+PN′=4=BC，即MN′=4，
此时M、P、N′三点共线且MN′//AD，点P在MN′的中点处，
∴PM=PN′=2，
∴PC=2 2．
故答案为：2 2．
由题意知△CDE是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点N′，则N′在直线CD上，连接PN′，PN=PN′，PM+PN=4.即PM+PN′=4，BC=4，BM=BN，所以此时M、P、N′三点共线且MN′//AD，点P在MN′的中点处，PM=PN′=2，PC=2 2．
本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．
14.【答案】24−3 72
【解析】解：如图(2)，过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，由翻折得AD=AB=4
∵CD′//AB
∴∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°
∴∠BCE=90°
∵AE⊥AB
∴∠BAE=90°
∴ABCE是矩形，AD′=AD=AB=4
∴AE=BC=3，CE=AB=4，∠AEC=90°
∴D′E= AD′2−AE2= 42−32= 7
∴CD′=CE−D′E=4− 7
∴S四边形ABCD′=12(AB+CD′)⋅BC=12(4+4− 7)×3=24−3 72，
故答案为：24−3 72．
过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用．
15.【答案】解：由题意，知不等式(3−a)x>2可化为x<23−a，
∴3−a<0，
∴a>3，
即a的取值范围为a>3．
【解析】依据不等式的性质解答即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
16.【答案】解：(1)4x3y+4x2y2+xy3
=xy(4x2+4xy+y2)
=xy(2x+y)2；
(2)−(m−n)2−6(n−m)−9
=−[(m−n)2−6(m−n)+9]
=−(m−n−3)2．
【解析】(1)先提公因式，再根据完全平方公式分解因式；
(2)原式先提出负号，再把其余部分利用完全平方公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用了提公因式法、公式分解因式，注意分解要彻底．
17.【答案】解：解不等式3−x≥2(x−3)，得：x≤3，
解不等式x−12−x+13>−1，得：x>−1，
则不等式组的解集为−1
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(0,2)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
(2)如图，
△A2B2C2与△ABC关于Q点成中心对称，
∵C(−1,1)，C1(1,3)，
∴Q点的横坐标为：−1+12=0，Q点的纵坐标为：1+32=2，
∴Q点的坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
(1)利用中心对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，描点得到△A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2；
(2)连接AA2、BB2、CC2，它们相交于Q点，则Q点为对称中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；
(2)在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
【解析】(1)由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
(2)利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
此题主要考查含30°角的直角三角形的性质，关键是根据线段的垂直平分线的性质和30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质等几何知识解答．
20.【答案】解：(1)设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，
由题意得：x+y=35012x+15y=4800，
解得：x=150y=200，
答：购进了A种笔记本150本，购进了b种笔记本200本；
(2)由题意得：20m+25m+(150−m)×20×0.7+(200−m)×15−4800≥2348，
解得：m≥128，
答：m的最小值为128．
【解析】(1)设购进了A种笔记本x本，购进了b种笔记本y本，由题意：某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)由题意：两种笔记本的总利润不少于2348元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)x2+4x−5
=x2+4x+4−9
=(x+2)2−32
=(x+2+3)(x+2−3)
=(x+5)(x−1)；
(2)m2+8m−6=m2+8m+16−22=(m+4)2−22，
∵(m+4)2≥0，
∴(m+4)2−22≥−22，
∴多项式m2+8m−6的最小值−22．
(3)∵P=x2−x，Q=x−2，
∴P−Q=x2−x−(x−2)=x2−2x+2=x2−2x+1+1=(x−1)2+1，
∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)2+1≥1，
∴P−Q>0即P>Q．
【解析】(1)根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可；
(2)先配方，再利用(a±b)2≥0即可解决问题；
(3)利用作差法及配方法求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．
22.【答案】△AFD CD=DE+BC 13
【解析】解：(1)BC，CD，DE之间的数量关系为：DF=DE+BC，理由是：
如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，
∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD(SAS)，
∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，
故答案为：△AFD，CD=DE+BC；
(2)如图2，EF，BE，DF之间的数量关系是EF=DF−BE．
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE′，如图②，
则△ABE≌△ADE′，
∴∠DAE′=∠BAE，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠ABE，
∴∠EAE′=∠BAD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ADE′=∠ADC，即E′，D，F三点共线，
又∠EAF=12∠BAD=12∠EAE′
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中，
AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF，
∴△AFE≌△AFE′(SAS)，
∴FE=FE′，
又∵FE′=DF−DE′，
∴EF=DF−BE；
(3)如图③，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使AB与AC重合，连接ED′，则CD′=BD=2，
由(1)同理得，△AED≌△AED′，
∴DE=D′E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD′=45°，
∴∠ECD′=90°，
在Rt△ECD′中，ED′= EC2+D′C2= 22+32= 13，即DE= 13，
故答案为： 13．
(1)如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；
(2)如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE′，证明△AFE≌△AFE′，据全等三角形的性质解答；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使AB与AC重合，连接ED′，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．
本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．①x2+4x+3=x2+4x+4−1=(x+2)2−1=(x+3)(x+1)=(x+2+1)(x+2−1)
②由①，得x2+4x+3=(x+2)2−1，因为(x+2)2≥0，所以(x+2)2−1≥−1.所以，当x=−2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为−1．
相关试卷
2023-2024学年广东省深圳市福田区莲花中学北校区八年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）： 这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区莲花中学北校区八年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)： 这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）期末数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
