河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数在区间上的平均变化率为( )
A.B.C.D.3
2．节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V(单位：)与半径R(单位：)的关系为，则时体积V关于半径R的瞬时变化率为( )
A.B.C.D.
3．函数的单调递减区间为( )
A.B.C.D.
4．已知函数，则的图象在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为( )
A.B.C.D.0
6．当时，函数()取得最小值，则( )
A.2B.1C.D.
7．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数m的最小值是( )
A.8B.C.D.10
8．设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A.在上单调递减B.有极小值
C.有3个极值点D.在处取得最大值
11．已知函数的定义域为R，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知函数，则______.
13．函数的最大值为______.
14．已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数m的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数()，且.
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程.
16．已知函数，且当时，有极值.
(1)求a，b的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
17．已知函数，.
(1)证明：在上单调递增；
(2)判断与的大小关系，并加以证明.
18．已知函数().
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.
19．定义：若函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系.
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和()在区间上具有C关系，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：函数在区间上的平均变化率为.故选A.
2．答案：C
解析：由，得，
所以时体积V关于半径R的瞬时变化率为.故选C.
3．答案：D
解析：函数的定义域为，，
令，得，即的单调递减区间为.故选D.
4．答案：D
解析：由题意知，所以，又，
所以的图像在处的切线方程为，即.故选D.
5．答案：A
解析：对函数求导，得，对求导，得，所以，，
所以曲线在点处的曲率.故选A.
6．答案：D
解析：，由题意，得即解得
若，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取到极小值，也是最小值，所以，满足要求，故.故选D.
7．答案：B
解析：，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根，令，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，，，所以当时，在区间上只有一个变号的根，即函数在上有且仅有一个极值点时，，即m的最小值为.故选B.
8．答案：C
解析：令，则，当时，，单调递增，
所以，即，；
令，则，当时，，单调递增，
所以，即，即.综上所述，.故选C.
9．答案：BC
解析：由求导公式可得，，，，所以B，C正确.故选BC.
10．答案：ABC
解析：由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；当时，，则单调递增，所以，在处不能取得最大值，故D错误.故选ABC.
11．答案：BC
解析：令，所以，所以在上单调递增，所以，即，故A错误，B正确；又，所以，即，故C正确，D错误.故选BC.
12．答案：24
解析：，故，解得，故，所以.
13．答案：
解析：，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
14．答案：
解析：设切点为，由，
得，所以切线的斜率为，
切线方程为.因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，所以当或时，，
当时，，即在和上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，极大值为，且当时，，当时，，所以的图象如图所示，因为过点且与曲线相切的直线只有1条，所以的图像与直线只有1个交点，由图象可得或，即实数m的取值范围是.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，
又，所以，解得，即.
(2)由(1)，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即.
16．答案：(1)
(2)最大值为，最小值为
解析：(1)由，得，
又当时，有极值，所以解得
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.所以当时，有极小值.
所以，满足题意.
(2)由(1)知，.令，得，，
，的值随x的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：，
所以，
所以.
当时，因为，所以.
所以在上单调递增.
(2)设，，则.
由(1)知在上单调递增，所以，
所以，即在上单调递增.
所以，即.
18．答案：(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
(2)见解析
解析：(1)由题意知的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明：当时，，
令，则，
令，则，因为，所以，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，即.
19．答案：(1)与具有C关系,理由见解析
(2)
解析：(1)根据定义，若在与的定义域的交集上存在x，使得，则与具有C关系.
令，，则，所以单调递增，
又，，
所以，使得，即，
即与具有C关系.
(2)令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点.
，
若，当时，因为，，所以，
所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意.
若，当时，，，
当时，设，则，
所以在上单调递增，
又，，
故在上存在唯一零点，设零点为，则，
所以当时，；当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系.
综上所述，，即实数k的取值范围是.
x
-1
3
4
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增