2023-2024学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）第一次质检数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）第一次质检数学试卷（A卷）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2sin15°cs15°=( )
A. 12B. 22C. 32D. 6− 22
2.已知向量a=(x,2)，b=(3,−1).若a⊥b，则x=( )
A. 23B. 32C. −3D. −6
3.若tanα=1，则sin2α−cs2α=( )
A. −15B. 14C. 12D. 1
4.已知向量a=(2,3)，b=(−1,2)，若ma+4b与a−2b共线，则m的值为( )
A. 12B. 2C. −12D. −2
5.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若1−csC=2csAcsB，那么△ABC一定是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
6.求值：1− 3tan10° 1−cs20∘=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 2
7.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x应为( )
A. 77B. 80C. 100D. 77 2
8.设O为△ABC所在平面内一点，满足2OA−7OB−3OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为( )
A. 6B. 83C. 127D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB= 3ac，则B的值为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
10.已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ+csθ不能能取得的值是( )
A. 43B. 34C. 53D. 12
11.已知O为坐标原点，点P1(csα,sinα)，P2(csβ,−sinβ)，P3(cs(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )
A. |OP1|=|OP2|B. |AP1|=|AP2|
C. OA⋅OP3=OP1⋅OP2D. OA⋅OP1=OP2⋅OP3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，(a+b+c)(a−b+c)=ac，则B= ______．
13.已知tanα，tanβ是方程x2+4x−3=0的两根，且α，β∈(0,π)，则tan(α+β)的值为______．
14.如图所示，∠BAC=2π3，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x,y∈R)，则x+y的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=2，|b|=3，|a−b|= 7.求：
(1)a⋅b；
(2)|a+b|．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2x−cs2x+2 3sinxcsx+cs(2x+π3)．
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)=17，2α是第一象限角，求sin2α．
17.(本小题15分)
已知向量m=(2,sinα)，n=(csα,−1)，其中α∈(0,π2)，且m⊥n．
(1)求sin2α和cs2α的值；
(2)若sin(α−β)= 1010，且β∈(0,π2)，求角β．
18.(本小题17分)
如图，圆心角为π3的扇形AOB的半径为2，点C是AB上一点，作这个扇形的内接矩形CDEF．
(1)求AB的长及扇形AOB的面积；
(2)求矩形CDEF的最大面积，及此时∠AOC的大小．
19.(本小题17分)
如图所示，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；
(2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2sin15°cs15°=sin30°=12．
故选：A．
利用二倍角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了二倍角的正弦公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：向量a=(x,2)，b=(3,−1)；
若a⊥b，则a⋅b=0，
即3x+2×(−1)=0，
解得x=23．
故选：A．
根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于tanα=1，根据万能公式，sin2α=2sinαcsα=2tanα1+tan2α=22=1，cs2α=1−tan2α1+tan2α=0，
所以sin2α−cs2α=1．
故选：D．
直接利用万能公式的应用求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的值的求法，万能公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
先由向量的坐标运算表示出ma+4b与a−2b，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．
本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．
【解答】
解：由题意可知ma+4b=m(2,3)+4(−1,2)=(2m−4,3m+8)，
a−2b=(2,3)−2(−1,2)=(4,−1)，
∵ma+4b与a−2b共线，
∴(2m−4)×(−1)=(3m+8)×4，
∴m=−2
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：由1−csC=2csAcsB，得1+cs(A+B)=2csAcsB，
∴1+csAcsB−sinAsinB=2csAcsB，
∴1=csAcsB+sinAsinB=cs(A−B)，即cs(A−B)=1，
∵−π∴△ABC一定是等腰三角形．
故选：A．
把已知等式变形，结合两角差的余弦可得cs(A−B)=1，从而得到A=B，可得三角形的形状．
本题考查三角形形状的判定，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：1− 3tan10° 1−cs20∘=1− 3tan10° 1−(1−2sin210∘)=cs10°− 3sin10°cs10∘⋅ 2sin10∘=2cs(60°+10°) 22⋅sin20°=2 2，
故选：D．
由题意利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，计算求得所给式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，设∠BCD=α，可得tanα=77x，tan(θ+α)=tanθ+tanα1−tanθtanα=154x，化简解出tanθ，变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：如图所示，
设∠BCD=α，则tanα=237−(175−15)x=77x．
tan(θ+α)=tanθ+tanα1−tanθtanα=77+77x=154x，
解得tanθ=77x+2×772x≤772 x⋅2×772x= 24，当且仅当x=2×772x，即x=77 2cm时取等号．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：不妨设OA1=2OA,OB1=−7OB,OC1=3OC，如图所示，
根据题意则OA1+OB1+OC1=0，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有S△OA1B1=S△OA1C1=S△OB1C1=k，
又因为S△OBCS△OB1C1=OB⋅OCOB1⋅OC1=121，S△OABS△OA1B1=OA⋅OBOA1⋅OB1=114，S△OACS△OA1C1=OA⋅OCOA1⋅OC1=16，
那么S△OBC=121k，S△OAB=114k，S△OAC=16k，
S△ABC=S△OAB+S△OAC−S△OBC=(114+16−121)k=421k，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为421k121k=4．
故选：D．
先设设OA1=2OA,OB1=−7OB,OC1=3OC，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则S△OA1B1=S△OA1C1=S△OB1C1=k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案．
本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据余弦定理可知a2+c2−b2=2accsB，代入(a2+c2−b2)tanB= 3ac，可得2accsB⋅sinBcsB= 3ac，
即sinB= 32，
因为0故选：BD．
利用余弦定理代入式子中能得到sinB= 32，结合B的范围即能得到答案．
本题主要考查了余弦定理在三角形求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：∵0<θ<π2，∴θ+π4∈(π4,3π4)，又sin θ+cs θ= 2sin(θ+π4)，∴ 22∴1故选：BCD．
由题意利用两角和差的三角公式化简sinθ+csθ，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论．
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：A：OP1=(csα,sinα)，OP2=(csβ,−sinβ)，所以|OP1|= cs2α+sin2α=1，|OP2|= (csβ)2+(−sinβ)2=1，故|OP1|=|OP2|，正确；
B：AP1=(csα−1,sinα)，AP2=(csβ−1,−sinβ)，
所以|AP1|= (csα−1)2+sin2α= cs2α−2csα+1+sin2α= 2(1−csα)= 4sin2α2=2|sinα2|，
同理|AP2|= (csβ−1)2+sin2β=2|sinβ2|，故|AP1|,|AP2|不一定相等，错误；
C：由题意得：OA⋅OP3=1×cs(α+β)+0×sin(α+β)=cs(α+β)，OP1⋅OP2=csα⋅csβ+sinα⋅(−sinβ)=cs(α+β)，正确；
D：由题意得：OA⋅OP1=1×csα+0×sinα=csα，OP2⋅OP3=csβ×cs(α+β)+(−sinβ)×sin(α+β)
=cs(β+(α+β))=cs(α+2β)，故一般来说OA⋅OP1≠OP2⋅OP3，故错误；
故选：AC．
A、B写出OP1，OP2、AP1，AP2的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误．
本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的模的计算等知识，属于中等题．
12.【答案】2π3
【解析】解：∵(a+b+c)(a−b+c)=ac，
∴整理可得：a2+c2−b2=−ac，
∴由余弦定理可得：csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
∵B∈(0,π)，
∴B=2π3．
故答案为：2π3．
由整理可得：a2+c2−b2=−ac，根据余弦定理可得csB=−12，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：由于tanα，tanβ是方程x2+4x−3=0的两根，
所以tanα+tanβ=−4，tanαtanβ=−3，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−41−(−3)=−1．
故答案为：−1．
结合根与系数关系、两角和的正切公式求得正确答案．
本题考查两角和的正切公式，属于基础题．
14.【答案】[4−2 3,4+2 3]
【解析】解：连接MA，MD，则∠MAD=π3，MD⊥AD，
∵AD=1，∴MD= 3，MA=2，
∵点P是圆M及其内部任意一点，
∴2− 3≤AP≤2+ 3，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，
当AP取得最大值时，以AP为对角线，
以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，
则△APB1和△APA1是等边三角形，
∴AB1=AA1=AP=2+ 3，
∴x=y=2+ 3，
∴x+y的最大值为4+2 3，
同理可求出x+y的最小值为4−2 3．
故答案为：[4−2 3,4+2 3].
连接MA，MD，求出圆M的半径MD和MA，得出AP的最值，根据等边三角形的性质即可得出x+y的最值．
本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由|a|=2，|b|=3，|a−b|= 7，
可得，a2+b2−2a⋅b=7，
∴a⋅b=3．
(2)|a+b|= (a+b)2= 4+9+2a⋅b= 19．
【解析】本题考查了向量的运算，向量的模，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
(1)利用向量的模的计算公式，即可解出；
(2)根据(1)的计算结果，即可直接解出．
16.【答案】解：(1)f(x)=1−cs2x2−1+cs2x2+ 3sin2x+12cs2x− 32sin2x
= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
(2)f(α)=sin(2α−π6)=17，由2α是第一象限角，则2α−π6是第一或第四象限角，
又sin(2α−π6)=17>0，故2α−π6是第一象限角，
故cs(2α−π6)= 1−(17)2=4 37，
则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)csπ6+cs(2α−π6)sinπ6
=17× 32+4 37×12=5 314．
【解析】(1)借助三角恒等变换公式化简即可得；
(2)借助两角和的正弦公式计算即可得．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵m=(2,sinα)，n=(csα,−1)，且m⊥n，
∴2csα−sinα=0，即sinα=2csα．
代入sin2α+cs2α=1，得5cs2α=1，
∵α∈(0,π2)，∴csα= 55，则sinα=2 55．
则sin2α=2sinαcsα=2× 55×2 55=45，
cs2α=2cs2α−1=2×15−1=−35；
(2)∵α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，∴α−β∈(−π2,π2).
又sin(α−β)= 1010，∴cs(α−β)=3 1010．
∴sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=2 55×3 1010− 55× 1010= 22．
∵β∈(0,π2)，∴β=π4．
【解析】本题考查三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
(1)由已知结合m⊥n可得sinα=2csα，与sin2α+cs2α=1联立即可求得sinα，csα的值，再由二倍角的公式求得sin2α和cs2α的值；(2)由已知可得α−β的范围，并求得cs(α−β)=3 1010，再由sinβ=sin[α−(α−β)]，展开两角差的正弦得答案．
18.【答案】解：(1)AB的长为l=π3×2=2π3，
扇形AOB的面积为S=12lr=12×2π3×2=2π3；
(2)设∠AOC=θ(0<θ<π3)，则CF=DE=2sinθ，OF=2csθ，
OE=DEtanπ3=2 33sinθ，所以EF=OF−OE=2csθ−2 33sinθ，
所以矩形CDEF的面积SCDEF=EF⋅CF=2sinθ(2csθ−2 33sinθ)=2sin2θ−4 33sin2θ
=2sin2θ−4 33×1−cs2θ2=2sin2θ+2 33cs2θ−2 33
=4 33sin(2θ+π6)−2 33，
当2θ+π6=π2，即θ=π6时，矩形CDEF的面积取得最大值2 33，
此时∠AOC=π6．
【解析】(1)根据弧长公式及面积公式求解即可；
(2)设∠AOC=θ(0<θ<π3)，利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解．
本题考查扇形弧长公式的应用及四边形面积的求法，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由AQ=12AC，
可得BQ=BA+AQ=−AB+12AC，
∵AR=13AB，
∴CR=CA+AR=−AC+13AB．
(2)将BQ=−AB+12AC，CR=−AC+13AB
代入AI=AB+λBQ=AC+μCR，
则有AB+λ(−AB+12AC)=AC+μ(−AC+13AB)，
即(1−λ)AB+12λAC=13μAB+(1−μ)AC，
∴1−λ=13μ12λ=1−μ，
解得λ=45μ=35；
(3)设BP=mBC，AP=nAI，
由(2)知AI=15AB+25AC，
∴AP=BP−BA，
∴nAI=mBC+AB，
∴15nAB+25nAC=m(AC−AB)+AB
=(1−m)AB+mAC
∵AB与AC不共线，
∴15n=1−m25n=m，
解得m=23n=53，
∴BP=23BC，即BPPC=2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．
【解析】此题考查了向量加减法，平面向量基本定理等，难度较大．
(1)利用数量关系和向量加法的三角形法则容易求得；
(2)利用(1)的结果，把BQ,CR转化为AB,AC即可得解；
(3)设BP=mBC，AP=nAI，结合AP=BP−BA即(2)的结果，可解m，得P点位置．