2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时考点1直线与双曲线的位置关系

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[解析] 通解：由题意可得直线的斜率一定存在，
设为k，则直线方程为y＝kx＋1，
代入双曲线方程整理得
(9－k2)x2－2kx－10＝0①
当k＝±3时，方程①有一解，直线与双曲线只有一个公共点；
当k≠±3时，由Δ＝0解得k＝±eq \r(10)，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项C正确．
优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．
[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为 (－eq \r(10)，－3)∪(－3,3)∪(3，eq \r(10)) .
[引申2]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有 3 条．
[引申3]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有 2 条．
[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为 (3，eq \r(10)) .
[解析] 设直线方程为y＝kx＋1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,9)＝1))得(9－k2)x2－2kx－10＝0.
由Δ＝4k2＋40(9－k2)＝0，得k＝±eq \r(10)，
即k切＝±eq \r(10).
结合图形可知3注：或由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4k2＋409－k2>0，,x1＋x2＝\f(2k,9－k2)<0，,x1x2＝\f(－10,9－k2)>0))求解．
[引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为 (－∞，－3)∪(3，＋∞) .
名师点拨：直线与双曲线位置关系的判断方法
1．将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：
(1)若a≠0且Δ>0，直线与双曲线相交，有两个公共点；
(2)若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
(3)若a≠0且Δ<0，直线与双曲线相离，没有公共点；
(4)若a＝0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；
(5)若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点．
2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
【变式训练】
如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) .
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝4))得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
由Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0得k＝±eq \f(\r(5),2)，
结合图形可知1