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2023-2024学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若分式xx−1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x≠0D. x<1
2.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，则∠A的度数为( )
A. 60°B. 70°C. 80°D. 110°
3.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.将分式2xx+y中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的一半C. 保持不变D. 无法确定
5.永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示.如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为( )
A. 80°B. 100°C. 120°D. 135°
6.如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=8，BC=6，则EC等于( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
7.化简m−1m2÷m−1m的结果是( )
A. mB. 1mC. m−1D. 1m−1
8.如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为( )
A. 5B. 6C. 10D. 4
9.照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u=( )
A. ff−vB. f−vfvC. fvv−fD. v−ffv
10.如图，在△ABC中，AC=BC，AB=12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当CD=2 3时，AC的长为( )
A. 4 3
B. 10
C. 2 21
D. 21
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知分式a−2a+1的值为0，则a的值为______．
12.如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A′点，则∠OAA′=______度．
13.如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要______元.
14.已知xy=2，则xx−y−yx+y−y2x2−y2= ______．
15.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12，点E在线段BO上从点B出发，以每秒1个单位的速度运动，点F在线段OD上从点O出发，以每秒2个单位的速度运动.若点E、F同时出发，设运动时间为t，当t= ______时，四边形AECF是平行四边形．
16.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：1x−2+3=x−1x−2．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：x2x+1−x+1．
19.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在DA、BC延长线上，且AE=CF.求证：四边形EBFD为平行四边形．
20.(本小题8分)
化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)按照甲乙两同学的解法，写出完整的解答过程．
21.(本小题8分)
如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A(0,2)，B(−3,5)，C(−2,2)．
(1)将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B、C的对应点分别为点B1、C1请在网格图中画出△AB1C1．
(2)将△ABC平移至A2B2C2，其中点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2，且点C2的坐标为(−2,−4)，请在图中画出平移后的△A2B2C2．
(3)在第(1)、(2)小题基础上，若将△AB1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为______.(直接写出答案)
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
(1)若∠DAC=60°，求∠DFE的度数．
(2)若BC=8，在平移过程中，当AD=3EC时，求AD的长．
23.(本小题10分)
2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学.已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
(1)求两种书籍的单价分别为多少元？
(2)学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售.若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
24.(本小题10分)
【阅读新知】
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)、B(x2,y2)，点C为线段AB的中点，则线段AB的中点C的坐标为(x2+x12,y2+y12)
【应用新知】
利用你阅读获得的新知，解答下面的问题：
(1)已知点A(−1,4)、B(3,−2)，则线段AB的中点坐标为______；
(2)如图2，▱ABCD中，点A、B、C的坐标分别为(1,−4)、(0,2)、(5,6)，利用中点坐标公式求点D的坐标．
(3)如图3，点B(6,4)在函数y=12x+1的图象上，点A(5,2)，点C在x轴上，点D在函数y=12x+1的图象上，以A、B、C、D四个点为顶点，且以AB为一边构成平行四边形，直接写出所有满足条件的D点坐标．
25.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=∠ADC．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)点E为BC边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，连接AF．
①求证：AF=AB+CF；
②若AF⊥CD，CF=3，DF=4，求AE与CE的值．
26.(本小题12分)
综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE//BC，将△ABC绕点A在平面内旋转．
(1)观察猜想
若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为______；
(2)类比探究
若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在(2)的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵分式xx−1有意义，
∴x−1≠0，
∴实数x的取值范围是x≠1，
故选：A．
分式有意义的条件是分母不等于零，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=140°，
∴∠B=∠D=70°，
∴∠A=180°−∠B=180°−70°=110°，
故选：D．
由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出∠A的度数．
本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得：2⋅2x2x+2y=2xx+y，分式的值保持不变．
故选：C．
根据题意把x，y的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．
此题主要考查了分式的性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
5.【答案】D
【解析】解：∵多边形外角和为360°，
∴正八边形每个外角为360°÷8=45°，
∴正八边形每个内角的度数为180°−45°=135°，
故选：D．
首先利用外角和360°求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．
本题考查了多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，AD=BC=6.CD//AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE=∠BAE，
∵CD//AB，
∴∠AED=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=6，
∴EC=CD−ED=8−6=2．
故选：C．
根据平行四边形的性质及AE为角平分线可得：BC=AD=DE=6，又有CD=AB=8，可求EC的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
7.【答案】B
【解析】解：m−1m2÷m−1m
=m−1m2⋅mm−1
=1m，
故选：B．
先把除法运算变为乘法运算，然后约分计算即可．
本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键，注意结果应是最简的结果．
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据平移的性质得到AB=BD，BC//DE，利用三角形面积公式得到S△BCD=12S△ACD=5，然后利用DE//BC得到S△BCE=S△BCD=5．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等．
【解答】
解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB=BD，BC//DE，
∴S△ABC=S△BCD=12S△ACD=12×10=5，
∵DE//BC，
∴S△BCE=S△BCD=5．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：∵1f=1u+1v，
∴1u=1f−1v，
∴1u=v−ffv，
∴u=fvv−f，
故选：C．
根据1f=1u+1v，可以用含f、v的式子表示出u，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠DAB=60°，AD=AB=12，
∴△DAB为等边三角形，
∴DA=DB，
∵AC=BC，
∴CD为AB的中垂线，
∴AF=12AB=6，
在Rt△ADF中，DF= AD2−AF2=6 3，
而CD=2 3，
∴CF=DF−CD=4 3，
在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2=2 21．
故选：C．
如图，连接DB，延长DC交AB于F，首先利用旋转的性质证明△DAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出DF，接着利用已知条件求出CF，最后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练利用旋转的性质和等边三角形的性质．
11.【答案】2
【解析】解：∵分式a−2a+1的值为0，
∴a−2=0且a+1≠0，
解得：a=2．
故答案为：2．
直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关性质是解题关键．
12.【答案】47
【解析】解：由旋转得：
∠AOA′=86°，OA=OA′，
∴∠OAA′=∠OA′A=12(180°−∠AOA′)=47°，
故答案为：47．
根据旋转的性质可得∠AOA′=86°，OA=OA′，然后利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】192
【解析】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为1.6米，0.8米，
∴地毯的长度为1.6+0.8=2.4(米)，地毯的面积为2.4×2=4.8(平方米)，
∴购买地毯至少需要4.8×40=192(元)．
故答案为：192．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
本题考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
14.【答案】43
【解析】解：由xy=2，得到x=2y，
则原式=2y2y−y−y2y+y−y24y2−y2=43，
故答案为：43．
由已知等式变形得到x=2y，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=OD=12BD=6，
∴EO=6−t，OF=2t，
∴6−t=2t，
∴t=2，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形．
故答案为：2．
根据平行四边形的性质得到BO=DO=6，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答．
16.【答案】4a+2b
【解析】解：∵∠B=80°，四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D=80°，
由折叠可知∠ACB=∠ACE，
又AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACE=∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形，
∴AF=FC=a，
设∠ECD=x，则∠ACE=2x，
∴∠DAC=2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°=180°，
解得：x=20°，
∴由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°，
故△DFC为等腰三角形，
∴DC=FC=a，
∴AD=AF+FD=a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b．
故答案为：4a+2b．
由∠B=80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF=FC=a.设∠ECD=x，则∠ACE=2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°=180°，解得x=20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC=FC=a.故平行四边形ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．
17.【答案】解：方程两边都乘(x−2)，得
1+3(x−2)=x−1，
解得x=2．
经检验x=2为增根，原方程无解．
【解析】本题的最简公分母是(x−2).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
18.【答案】解：原式=x2x+1−x−11
=x2x+1−x2−1x+1
=x2−x2+1x+1
=1x+1．
【解析】把−x+1看成分母为1的分式进行通分．
本题考查了分式的加减．分式的加减应该先通分，化为同分母的分式再加减．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF，AD=BC，
∴AD+AE=BC+CF，
∴ED=BF，
∵ED=BF，ED//BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【解析】只要证明ED=BF，ED//BF即可．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法．
20.【答案】② ③
【解析】解：(1)甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
(2)若选择甲同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
=x2−x+x2+x(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x；
若选择乙同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1+x+1
=2x．
(1)根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
(2)若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】(0,−1)
【解析】解：(1)如图，△AB1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)由点A与A2关于点(0,−1)对称，点B与B2关于(0,−1)对称，
则旋转中心的坐标为(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
(1)根据旋转的性质，可画出△AB1C1．
(2)根据平移的性质，可画出△A2B2C2．
(3)根据旋转的性质，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上可得答案．
本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AC//DF，
∴∠ACB=∠F，
∵AD//BF，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠DAC=∠F=60°；
(2)∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AD=BE=CF，
设AD=x，则CE=13x，BE=CF=x，
∵BC=8，当点E在点C左侧时，
∴x+13x=8，
解得x=6，
即AD的长为6cm．
当点E在点C右侧时，同理可得x−13x=8，
∴x=12，
综上所述，AD=6或12．
【解析】(1)先根据平移的性质得到AC//DF，再利用平行线的性质得到∠ACB=∠F，由AD//BF得到∠ACB=∠DAC，然后利用等量代换得到结论；
(2)根据平移的性质得到AD=BE=CF，设AD=x，则CE=13x，BE=CF=x，则利用BC=6得到x+13x=6，然后解方程即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行(或共线)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．也考查了平行线的性质．
23.【答案】解：(1)设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为(x+15)元，
由题意得：1080x+15=720x，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x+15=45，
答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元；
(2)设学校购买了m本《几何原本》，则购买了(80−m)本《九章算术》，
由题意得：30×0.6m+45×0.6×(80−m)≤1800，
解得：m≥40，
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【解析】(1)设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为(x+15)元，根据用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设学校购买了m本《几何原本》，则购买了(80−m)本《九章算术》，根据学校在不超过预算1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1,1)
【解析】解：(1)根据平行四边形对角线相互平分得：12(3−1)=1，12(4−2)=1，
故答案为：(1,1)；
(2)设点D的坐标为：(x,y)，
由(1)知，根据中点坐标公式得：12(1+5)=12(x+0)，12(6−4)=12(2+y)，
解得：x=6，y=0，
即点D(6,0)；
(3)设点D(m,12m+1)，
当AD为对角线时，
由中点坐标公式得：12(2+12m+1)=12(4+0)，
解得：m=2，
即点D的坐标为：(2,2)；
当AC为对角线时，
同理可得：12(2+0)=12(4+12m+1)，
解得：m=−6，
即点D(−6,−2)，
综上，点D的坐标为：(2,2)或(−6,−2)．
(1)根据平行四边形对角线相互平分，即可求解；
(2)设点D的坐标为：(x,y)，由(1)知，根据中点坐标公式得：12(1+5)=12(x+0)，12(6−4)=12(2+y)，即可求解；
(3)当AD为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AC为对角线时，同理可解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、中点坐标公式运用，分类求解是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)①证明：延长AE、DC交于点G，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠G，
∵点E为BC边的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△GCE中，
∠BAE=∠G∠AEB=∠GECBE=CE，
∴△ABE≌△GCE(AAS)，
∴AE=GE，AB=GC，
∴AB+CF=GC+CF=GF，
∵EF⊥AE，AE=GE，
∴AF=GF，
∴AF=AB+CF．
②解：∵CF=3，DF=4，
∴AB=CD=CF+DF=3+4=7，
∴AF=AB+CF=7+3=10，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD=90°，
∴BC=AD= AF2+DF2= 102+42=2 29，
∴CE=12BC=12×2 29= 29，
∵AF=GF，EF⊥AG，∠AFG=90°，
∴∠AFE=∠GFE=12∠AFG=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FAE=∠AFE=45°，
∴AE=FE，
∵AF= AE2+FE2= 2AE2= 2AE，
∴AE= 22AF=10× 22=5 2，
∴AE的长是5 2，CE的长是 29．
【解析】(1)由AB//CD，得∠ABC+∠BCD=180°，而∠ABC=∠ADC，所以∠ADC+∠BCD=180°，则AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形；
(2)①延长AE、DC交于点G，由AB//CD，得∠BAE=∠G，而BE=CE，∠AEB=∠GEC，所以△ABE≌△GCE，则AE=GE，AB=GC，所以AB+CF=GC+CF=GF，由EF垂直平分AG得AF=GF，所以AF=AB+CF；
②由CF=3，DF=4，得AB=CD=CF+DF=7，所以AF=AB+CF=10，因为BC=AD= AF2+DF2=2 29，所以CE=12BC= 29，再证明∠FAE=∠AFE=45°，则AE=FE，因为AF= AE2+FE2= 2AE，所以AE= 22AF=5 2．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∵旋转，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)DB⊥CE，
理由如下：如图，设AB与CE的交点为点P，
∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，a=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB与△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠CPB是△BPO的外角，也是△ACP的外角，
∴∠CPB=∠ABO+∠COB=∠ACO+∠CAB，
∴∠COB=∠CAB=90°，
∴DB⊥CE；
(3)∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，
∴DB//PN，DB=2PN，PM//CE，CE=2PM，
∵△ADB≌△AEC，
∴DB=CE，
∴PN=PM，
∵DB⊥CE，DB//PN，PM//CE，
∴PN⊥PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴△PMN的面积=PN22=BD28，
∵AD=4，AB=10，
∴当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值，
∴BD的最大值为14，△PMN面积的最大值为492．
(1)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
(2)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABO=∠ACO，由外角的性质可得结论；
(3)先证明△PMN是等腰直角三角形，可得△PMN的面积=PN22=BD28，则当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
…
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
…
1.若分式xx−1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x≠0D. x<1
2.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，则∠A的度数为( )
A. 60°B. 70°C. 80°D. 110°
3.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.将分式2xx+y中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的一半C. 保持不变D. 无法确定
5.永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示.如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为( )
A. 80°B. 100°C. 120°D. 135°
6.如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=8，BC=6，则EC等于( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
7.化简m−1m2÷m−1m的结果是( )
A. mB. 1mC. m−1D. 1m−1
8.如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为( )
A. 5B. 6C. 10D. 4
9.照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u=( )
A. ff−vB. f−vfvC. fvv−fD. v−ffv
10.如图，在△ABC中，AC=BC，AB=12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当CD=2 3时，AC的长为( )
A. 4 3
B. 10
C. 2 21
D. 21
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知分式a−2a+1的值为0，则a的值为______．
12.如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A′点，则∠OAA′=______度．
13.如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要______元.
14.已知xy=2，则xx−y−yx+y−y2x2−y2= ______．
15.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12，点E在线段BO上从点B出发，以每秒1个单位的速度运动，点F在线段OD上从点O出发，以每秒2个单位的速度运动.若点E、F同时出发，设运动时间为t，当t= ______时，四边形AECF是平行四边形．
16.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：1x−2+3=x−1x−2．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：x2x+1−x+1．
19.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在DA、BC延长线上，且AE=CF.求证：四边形EBFD为平行四边形．
20.(本小题8分)
化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)按照甲乙两同学的解法，写出完整的解答过程．
21.(本小题8分)
如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A(0,2)，B(−3,5)，C(−2,2)．
(1)将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B、C的对应点分别为点B1、C1请在网格图中画出△AB1C1．
(2)将△ABC平移至A2B2C2，其中点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2，且点C2的坐标为(−2,−4)，请在图中画出平移后的△A2B2C2．
(3)在第(1)、(2)小题基础上，若将△AB1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为______.(直接写出答案)
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
(1)若∠DAC=60°，求∠DFE的度数．
(2)若BC=8，在平移过程中，当AD=3EC时，求AD的长．
23.(本小题10分)
2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学.已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
(1)求两种书籍的单价分别为多少元？
(2)学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售.若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
24.(本小题10分)
【阅读新知】
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)、B(x2,y2)，点C为线段AB的中点，则线段AB的中点C的坐标为(x2+x12,y2+y12)
【应用新知】
利用你阅读获得的新知，解答下面的问题：
(1)已知点A(−1,4)、B(3,−2)，则线段AB的中点坐标为______；
(2)如图2，▱ABCD中，点A、B、C的坐标分别为(1,−4)、(0,2)、(5,6)，利用中点坐标公式求点D的坐标．
(3)如图3，点B(6,4)在函数y=12x+1的图象上，点A(5,2)，点C在x轴上，点D在函数y=12x+1的图象上，以A、B、C、D四个点为顶点，且以AB为一边构成平行四边形，直接写出所有满足条件的D点坐标．
25.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=∠ADC．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)点E为BC边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，连接AF．
①求证：AF=AB+CF；
②若AF⊥CD，CF=3，DF=4，求AE与CE的值．
26.(本小题12分)
综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE//BC，将△ABC绕点A在平面内旋转．
(1)观察猜想
若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为______；
(2)类比探究
若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在(2)的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵分式xx−1有意义，
∴x−1≠0，
∴实数x的取值范围是x≠1，
故选：A．
分式有意义的条件是分母不等于零，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=140°，
∴∠B=∠D=70°，
∴∠A=180°−∠B=180°−70°=110°，
故选：D．
由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出∠A的度数．
本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得：2⋅2x2x+2y=2xx+y，分式的值保持不变．
故选：C．
根据题意把x，y的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．
此题主要考查了分式的性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
5.【答案】D
【解析】解：∵多边形外角和为360°，
∴正八边形每个外角为360°÷8=45°，
∴正八边形每个内角的度数为180°−45°=135°，
故选：D．
首先利用外角和360°求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．
本题考查了多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，AD=BC=6.CD//AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE=∠BAE，
∵CD//AB，
∴∠AED=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=6，
∴EC=CD−ED=8−6=2．
故选：C．
根据平行四边形的性质及AE为角平分线可得：BC=AD=DE=6，又有CD=AB=8，可求EC的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
7.【答案】B
【解析】解：m−1m2÷m−1m
=m−1m2⋅mm−1
=1m，
故选：B．
先把除法运算变为乘法运算，然后约分计算即可．
本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键，注意结果应是最简的结果．
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据平移的性质得到AB=BD，BC//DE，利用三角形面积公式得到S△BCD=12S△ACD=5，然后利用DE//BC得到S△BCE=S△BCD=5．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等．
【解答】
解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB=BD，BC//DE，
∴S△ABC=S△BCD=12S△ACD=12×10=5，
∵DE//BC，
∴S△BCE=S△BCD=5．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：∵1f=1u+1v，
∴1u=1f−1v，
∴1u=v−ffv，
∴u=fvv−f，
故选：C．
根据1f=1u+1v，可以用含f、v的式子表示出u，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠DAB=60°，AD=AB=12，
∴△DAB为等边三角形，
∴DA=DB，
∵AC=BC，
∴CD为AB的中垂线，
∴AF=12AB=6，
在Rt△ADF中，DF= AD2−AF2=6 3，
而CD=2 3，
∴CF=DF−CD=4 3，
在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2=2 21．
故选：C．
如图，连接DB，延长DC交AB于F，首先利用旋转的性质证明△DAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出DF，接着利用已知条件求出CF，最后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练利用旋转的性质和等边三角形的性质．
11.【答案】2
【解析】解：∵分式a−2a+1的值为0，
∴a−2=0且a+1≠0，
解得：a=2．
故答案为：2．
直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关性质是解题关键．
12.【答案】47
【解析】解：由旋转得：
∠AOA′=86°，OA=OA′，
∴∠OAA′=∠OA′A=12(180°−∠AOA′)=47°，
故答案为：47．
根据旋转的性质可得∠AOA′=86°，OA=OA′，然后利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13.【答案】192
【解析】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为1.6米，0.8米，
∴地毯的长度为1.6+0.8=2.4(米)，地毯的面积为2.4×2=4.8(平方米)，
∴购买地毯至少需要4.8×40=192(元)．
故答案为：192．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
本题考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
14.【答案】43
【解析】解：由xy=2，得到x=2y，
则原式=2y2y−y−y2y+y−y24y2−y2=43，
故答案为：43．
由已知等式变形得到x=2y，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=OD=12BD=6，
∴EO=6−t，OF=2t，
∴6−t=2t，
∴t=2，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形．
故答案为：2．
根据平行四边形的性质得到BO=DO=6，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答．
16.【答案】4a+2b
【解析】解：∵∠B=80°，四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D=80°，
由折叠可知∠ACB=∠ACE，
又AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACE=∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形，
∴AF=FC=a，
设∠ECD=x，则∠ACE=2x，
∴∠DAC=2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°=180°，
解得：x=20°，
∴由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°，
故△DFC为等腰三角形，
∴DC=FC=a，
∴AD=AF+FD=a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b．
故答案为：4a+2b．
由∠B=80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF=FC=a.设∠ECD=x，则∠ACE=2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°=180°，解得x=20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC=FC=a.故平行四边形ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．
17.【答案】解：方程两边都乘(x−2)，得
1+3(x−2)=x−1，
解得x=2．
经检验x=2为增根，原方程无解．
【解析】本题的最简公分母是(x−2).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
18.【答案】解：原式=x2x+1−x−11
=x2x+1−x2−1x+1
=x2−x2+1x+1
=1x+1．
【解析】把−x+1看成分母为1的分式进行通分．
本题考查了分式的加减．分式的加减应该先通分，化为同分母的分式再加减．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF，AD=BC，
∴AD+AE=BC+CF，
∴ED=BF，
∵ED=BF，ED//BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【解析】只要证明ED=BF，ED//BF即可．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法．
20.【答案】② ③
【解析】解：(1)甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
(2)若选择甲同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
=x2−x+x2+x(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x；
若选择乙同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1+x+1
=2x．
(1)根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
(2)若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】(0,−1)
【解析】解：(1)如图，△AB1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)由点A与A2关于点(0,−1)对称，点B与B2关于(0,−1)对称，
则旋转中心的坐标为(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
(1)根据旋转的性质，可画出△AB1C1．
(2)根据平移的性质，可画出△A2B2C2．
(3)根据旋转的性质，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上可得答案．
本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AC//DF，
∴∠ACB=∠F，
∵AD//BF，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠DAC=∠F=60°；
(2)∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AD=BE=CF，
设AD=x，则CE=13x，BE=CF=x，
∵BC=8，当点E在点C左侧时，
∴x+13x=8，
解得x=6，
即AD的长为6cm．
当点E在点C右侧时，同理可得x−13x=8，
∴x=12，
综上所述，AD=6或12．
【解析】(1)先根据平移的性质得到AC//DF，再利用平行线的性质得到∠ACB=∠F，由AD//BF得到∠ACB=∠DAC，然后利用等量代换得到结论；
(2)根据平移的性质得到AD=BE=CF，设AD=x，则CE=13x，BE=CF=x，则利用BC=6得到x+13x=6，然后解方程即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行(或共线)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．也考查了平行线的性质．
23.【答案】解：(1)设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为(x+15)元，
由题意得：1080x+15=720x，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x+15=45，
答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元；
(2)设学校购买了m本《几何原本》，则购买了(80−m)本《九章算术》，
由题意得：30×0.6m+45×0.6×(80−m)≤1800，
解得：m≥40，
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【解析】(1)设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为(x+15)元，根据用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设学校购买了m本《几何原本》，则购买了(80−m)本《九章算术》，根据学校在不超过预算1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1,1)
【解析】解：(1)根据平行四边形对角线相互平分得：12(3−1)=1，12(4−2)=1，
故答案为：(1,1)；
(2)设点D的坐标为：(x,y)，
由(1)知，根据中点坐标公式得：12(1+5)=12(x+0)，12(6−4)=12(2+y)，
解得：x=6，y=0，
即点D(6,0)；
(3)设点D(m,12m+1)，
当AD为对角线时，
由中点坐标公式得：12(2+12m+1)=12(4+0)，
解得：m=2，
即点D的坐标为：(2,2)；
当AC为对角线时，
同理可得：12(2+0)=12(4+12m+1)，
解得：m=−6，
即点D(−6,−2)，
综上，点D的坐标为：(2,2)或(−6,−2)．
(1)根据平行四边形对角线相互平分，即可求解；
(2)设点D的坐标为：(x,y)，由(1)知，根据中点坐标公式得：12(1+5)=12(x+0)，12(6−4)=12(2+y)，即可求解；
(3)当AD为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AC为对角线时，同理可解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、中点坐标公式运用，分类求解是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)①证明：延长AE、DC交于点G，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠G，
∵点E为BC边的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△GCE中，
∠BAE=∠G∠AEB=∠GECBE=CE，
∴△ABE≌△GCE(AAS)，
∴AE=GE，AB=GC，
∴AB+CF=GC+CF=GF，
∵EF⊥AE，AE=GE，
∴AF=GF，
∴AF=AB+CF．
②解：∵CF=3，DF=4，
∴AB=CD=CF+DF=3+4=7，
∴AF=AB+CF=7+3=10，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD=90°，
∴BC=AD= AF2+DF2= 102+42=2 29，
∴CE=12BC=12×2 29= 29，
∵AF=GF，EF⊥AG，∠AFG=90°，
∴∠AFE=∠GFE=12∠AFG=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FAE=∠AFE=45°，
∴AE=FE，
∵AF= AE2+FE2= 2AE2= 2AE，
∴AE= 22AF=10× 22=5 2，
∴AE的长是5 2，CE的长是 29．
【解析】(1)由AB//CD，得∠ABC+∠BCD=180°，而∠ABC=∠ADC，所以∠ADC+∠BCD=180°，则AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形；
(2)①延长AE、DC交于点G，由AB//CD，得∠BAE=∠G，而BE=CE，∠AEB=∠GEC，所以△ABE≌△GCE，则AE=GE，AB=GC，所以AB+CF=GC+CF=GF，由EF垂直平分AG得AF=GF，所以AF=AB+CF；
②由CF=3，DF=4，得AB=CD=CF+DF=7，所以AF=AB+CF=10，因为BC=AD= AF2+DF2=2 29，所以CE=12BC= 29，再证明∠FAE=∠AFE=45°，则AE=FE，因为AF= AE2+FE2= 2AE，所以AE= 22AF=5 2．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∵旋转，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)DB⊥CE，
理由如下：如图，设AB与CE的交点为点P，
∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，a=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB与△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠CPB是△BPO的外角，也是△ACP的外角，
∴∠CPB=∠ABO+∠COB=∠ACO+∠CAB，
∴∠COB=∠CAB=90°，
∴DB⊥CE；
(3)∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，
∴DB//PN，DB=2PN，PM//CE，CE=2PM，
∵△ADB≌△AEC，
∴DB=CE，
∴PN=PM，
∵DB⊥CE，DB//PN，PM//CE，
∴PN⊥PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴△PMN的面积=PN22=BD28，
∵AD=4，AB=10，
∴当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值，
∴BD的最大值为14，△PMN面积的最大值为492．
(1)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
(2)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABO=∠ACO，由外角的性质可得结论；
(3)先证明△PMN是等腰直角三角形，可得△PMN的面积=PN22=BD28，则当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
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解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
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