江苏省扬州中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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2024.04
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，其中为虚数单位，则在复平面对应的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（ ）
A. B. C. D.
3. 已知中内角、、的对边分别是、、，，，，（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. 3D. －3
5. 如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
7 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若的角所对边，且满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题是（ ）
A. 若复数，则
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则
C. 若，则
D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1
10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与同向单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则的最小值为
11. 在扇形中，，点在弧上运动且不与点重合，于点，与点，则（ ）
A. 的长为定值
B. 的大小为定值
C. 面积的最大值为
D. 四边形的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知， 且，则 _________.
13. 已知，则_______.
14. 已知为的内心，，且满足，则的最大值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 复数，其中．
（1）若复数为实数，求的值：
（2）若复数为纯虚数，求的值．
16. 已知，且，
（1）求的值：
（2）求与的夹角.
17. 在中，角所对的边，满足且.
（1）若，求的面积；
（2）求的值.
18. 某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点S到点T的距离；
（2）求点P到点R距离；
（3）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积最小值.
19. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）当时，设，求证：函数有且只有一个零点；
（3）当时，若实数使得对任意实数恒成立，求的值.