2024年山东省聊城市阳谷县部分学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省聊城市阳谷县部分学校中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中最小的是( )
A. |−2024|B. −12024C. 12024D. 0
2.下列运算正确的是( )
A. 3+ 2=5B. x8÷x2=x4C. 2× 3= 5D. (a5)2=a10
3.“福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.2024年1月3日，我国自主研制的AG60E电动飞机首飞成功.AG60E的最大平飞速度为218km/h，航程1100000米，1100000用科学记数法可以表示为( )
A. 1.1×107B. 0.11×107C. 1.1×106D. 11×105
5.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 3
6.有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字1的面所对面上的数字记为a，4的面所对的面上数字记为b，那么a+b的值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a应满足( )
A. a≤1B. a≥1C. a≥−1且a≠0D. a≤1且a≠0
8.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为(结果保留π)( )
A. π4+3−2 22
B. π4+ 2−1
C. π4+1− 2
D. π4−12
9.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°，BC=13.2m，则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)( )
A. 31mB. 36mC. 42mD. 84m
10.对于分式P=xy，我们把分式P′=1−y1+x叫做P的伴随分式.若分式P1=a−1a，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…以此类推，则分式P2024等于( )
A. 1−aaB. a−1aC. 1−a2−aD. a−12−a
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a= 5+1，则代数式a2−2a+9的值是 ．
12.如图，AB/​/CD，AE交CD于点F，∠A=60°，∠C=25°，则∠E= ______．
13.已知直线y=kx+b与直线y=2x+6平行，且经过点(0,3)，那么该直线的表达式是______．
14.如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA：OD=1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是______．
15.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的各项系数.例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项(a+b)5的系数，此三角形称为“杨辉三角”.若根据“杨辉三角”的特征写出(a+b)10的展开式，则其第三项的系数为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
(1)化简：(13m−2n−13m+2n)÷mn9m2−4n2；
(2)解不等式组：3x+10>5x−2(5−x)x+35>1−x．
17.(本小题7分)
为了解某校九年级全体男生引体向上的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
(1)x= ______，y= ______，扇形图中表示C的圆心角的度数为______度.
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
18.(本小题7分)
如图，矩形ABCD中，点E在AD上，连接，EB，EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处．
(1)求证：△A′BC≌△DCE；
(1)若AB=15，AE=9，求EC的长．
19.(本小题7分)
如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE．
(1)证明：CE是⊙O的切线；
(2)若AC=2，sinC=13，①求⊙O的半径；②求BD的长．
20.(本小题7分)
如图，一次函数y=−x+5的图象与函数y=nx(n>0,x>0)的图象交于点A(4,a)和点B．
(1)求n的值；
(2)若x>0，根据图象直接写出当−x+5>nx时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数y=nx的图象于点Q，若△POQ的面积为1，求点P的坐标．
21.(本小题8分)
某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件.现在计划提高该商品的售价增加利润，市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件.设该商品每件的售价上涨x元(x为整数且x≥0)时，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题8分)
陕西省西安市古观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手栽种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录.某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量这棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
(1)第______小组的数据无法算出银杏树的高度；
(2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度；(结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
(3)你认为在测量方案实施过程中，小组成员应注意的事项有哪些？(写出一条即可)
23.(本小题12分)
如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；
(3)如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF/​/y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．
24.(本小题12分)
已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，点D是AB边上的一个动点(不与点A、B重合)，点F是边BC上的一点，且满足∠CDF=∠A，过点C作CE⊥CD交DF的延长线于E．

(1)如图1，当CE/​/AB时，求AD的长；
(2)如图2，联结BE，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
(3)过点C作射线BE的垂线，垂足为H，射线CH与射线DE交于点Q，当△CQE是等腰三角形时，求AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−2024|=2024，
∵−12024<0<12024<2024，
∴−12024<0<12024<|−2024|，
∴所给的各数中最小的是−12024．
故选：B．
首先求出|−2024|的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A． 3与 2不能合并，所以A选项不符合题意；
B.x8÷x2=x6，所以B选项不符合题意；
C. 2× 3= 2×3= 6，所以C选项不符合题意；
D.(a5)2=a10，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据幂的乘方对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了整式的运算．
3.【答案】C
【解析】解：A：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C：是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形，解答本题的关键是掌握它们的定义：中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．
4.【答案】C
【解析】解：1100000=1.1×106，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接BI，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
∴∠D=∠C=60°，
∵点I为等边△ABC的内心，
∴∠IAB=12∠BAC=30°，∠IBA=12∠ABC=30°，
∴∠ABD=180°−∠D−∠IAB=90°，∠DIB=∠IAB+∠IBA=60°，
∴AD是△ABC外接圆的直径，
∵∠DBI=180°−∠D−∠DIB=60°，
∴△DBI是等边三角形，
∴DI=BI，
∵∠IAB=∠IBA，
∴AI=BI，
∴DI=AI=12AD=2，
∴BD=DI=2，
∴线段DB的长为2，
故选：A．
连结BI，先由△ABC是等边三角形证明∠ABC=∠BAC=∠C=60°，则∠D=∠C=60°，再根据三角形的内心的定义证明∠IAB=12∠BAC=30°，∠IBA=12∠ABC=30°，即可证明AD是△ABC外接圆的直径，再证明△DBI是等边三角形，则DI=BI，即可证明DI=AI=12AD=2，则BD=DI=2．
此题重点考查三角形的内心与三角形的外心的性质、等边三角形的判定与性质、90°的圆周角所对的弦是直径、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果可知，
“3”的邻面有“1、2、4、5”，
因此“3”的对面“6”，
“1”的邻面有“2、3、4、6”，
因此“1”的对面是“5”，
所以“2”对面是“4”，
即a=5，b=2，
所以a+b=7．
故选：B．
根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”判断“1”“4”的对面，确定a、b的值，再进行计算即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，b2−4ac≥0时，方程有实数根；
∴(−2)2−4a≥0，
解得：a≤1，
∴a≤1且a≠0，
故选：D．
方程为一元二次方程，故a≠0，再结合根的判别式：当b2−4ac≥0时，方程有实数根，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练地掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．当b2−4ac≥0时，方程有实数根，当b2−4ac<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：因为OA=OB=1，且∠AOB=90°，
所以AB= 12+12= 2．
由折叠可知，
AD=AB= 2，
则OD= 2−1．
设OC长为x，
则CD=CB=1−x，
在Rt△COD中，
( 2−1)2+x2=(1−x)2，
解得x= 2−1，
所以S△COD=12×( 2−1)×( 2−1)=32− 2．
又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等，
则90×π×12360−12×1×1=14π−12，
所以S阴影=32− 2+14π−12=π4+1− 2．
故选：C．
利用勾股定理求出OC的长，即可求出△OCD的面积，再将余下的阴影部分的面积转化为右上方弓形的面积即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得：AD⊥BD，∠ABD=45°，∠ACD=60°，BC=13.2m，
设CD=x m，
∴BD=BC+CD=(x+13.2)m，
在Rt△ABD中，AD=BD⋅tan45°=(x+13.2)m，
在Rt△ACD中，AD=CD⋅tan60°= 3x(m)，
∴ 3x=x+13.2，
解得：x=6.6 3+6.6，
∴AD=x+13.2=6.6 3+6.6+13.2≈31(m)，
∴灯塔的高度AD大约是31m，
故选：A．
根据题意可得：AD⊥BD，∠ABD=45°，∠ACD=60°，BC=13.2m，然后设CD=x m，则BD=(x+13.2)m，再在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵P1=a−1a，
∴P2=1−a1+a−1=1−aa，
∴P3=1−a1+1+a=1−a2−a，
∴P4=1−(2−a)1+1−a=a−12−a，
∴P5=1−(2−a)1+(a−1)=a−1a，
∴P5=P1，P6=P2，，
∴4个一循环，
∵2024÷4=506，
∴P2024=P4=a−12−a，
故选：D．
根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让2024÷4，根据结果即可确定．
本题考查了分式的定义，规律问题，理解伴随分式的求法，找出规律是解题的关键．
11.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出a2−2a=4，再整体代入．
由a= 5+1，可得(a−1)2=( 5)2，有a2−2a=4，即可得a2−2a+9=13．
【解答】
解：∵a= 5+1，
∴(a−1)2=( 5)2，
∴a2−2a=4，
∴a2−2a+9=13，
故答案为：13．
12.【答案】35°
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠EFD=∠A，
∵∠A=60°，
∴∠EFD=60°，
∵∠EFD是△CEF的一个外角，
∴∠EFD=∠E+∠C，
∵∠C=25°，
∴∠E=∠EFD−∠C=60°−25°=35°，
先根据两直线平行，同位角相等得出∠EFD=∠A=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠EFD=∠E+∠C，即可求出∠E的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
13.【答案】y=2x+3
【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=2x+6平行，
∴k=2，b≠6．
∵直线y=2x+b过点(0,3)，
∴b=3．
故答案为：y=2x+3．
由两直线平行可得出k=2，根据直线上一点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出b值，此题得解．
本题考查了两条直线相交或平行问题以及一次函数图象上点的坐标特征，由两直线平行找出k=2、b≠6是解题的关键．
14.【答案】( 5−1,2)
【解析】解：∵矩形ABCD的边 AD=5，OA：OD=1：4，
∴OD=4，OA=1，BC=AD=5，AB=CD，AB/​/x轴，∠D=∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠D1OC1，∠BAO=∠D1=90°，
∴△AOB∽△D1C1O，ABD1O=OAD1C1，
由折叠性质得OD1=OD=4，CE=C1E，∠D1=∠D，D1C1=CD=AB，
∴AB4=1AB，则AB=2 (负值舍去)，
∴CD=2，
如图，OC1=OC= CD2+OD2= 22+42=2 5，OF=AB=2，
∴C1F=OC1−OF=2 5−2，
设EF=x，则EC1=CE=5−x，
由EF2+C1F2=EC12得x2+(2 5−2)2=(4−x)2，
解得x= 5−1，
综上，点E坐标为( 5−1,2)，
故答案为：( 5−1,2)
先证明△AOB∽△D1C1O求得AB=CD=2，设EF=x，分别由勾股定理求解OC1=OC=2 5、x值即可．
本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．
15.【答案】45
【解析】解：根据“杨辉三角”的特征可得：
(a+b)0的第三项的系数为0，
(a+b)1的第三项的系数为0，
(a+b)2的第三项的系数为1，
(a+b)3的第三项的系数为3=1+2，
(a+b)4的第三项的系数为6=1+2+3，
(a+b)5的第三项的系数为10=1+2+3+4，
，
∴(a+b)10的第三项的系数为1+2+3+...+9=9×(9+1)2=45，
故答案为：45．
根据“杨辉三角”的特征确定出每个展开式中第三项的系数的规律解答即可．
本题考查了完全平方公式，数字的规律，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3m+2n−(3m−2n)(3m−2n)(3m+2n)⋅(3m+2n)(3m−2n)mn
=4n(3m−2n)(3m+2n)⋅(3m+2n)(3m−2n)mn
=4nmn
=4m；
(2)解不等式3x+10>5x−2(5−x)，得x<5，
解不等式x+35>1−x，得x>13，
∴不等式的解集为13【解析】(1)先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分；
(2)解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的基本性质和不等式的性质．
17.【答案】解：(1)4；40；36．
(2)列表如下：
共有6种等可能的结果，其中同时抽到甲、乙两名学生的结果有：(甲，乙)，(乙，甲)，共2种，
∴同时抽到甲、乙两名学生的概率为26=13．
【解析】解：(1)由题意得，y=10÷25%=40，
∴x=40−24−10−2=4．
扇形图中表示C的圆心角的度数为360°×440=36°．
故答案为：4；40；36．
(2)见答案；
(1)用频数分布表中B的频数除以扇形统计图中B的百分比可得y的值，进而可得x的值．用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及同时抽到甲、乙两名学生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、频数分布表，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，BC/​/AD，
∴∠A′CB=∠DEC，
由翻折得A′B=AB，∠BA′E=∠A=90°，
∴A′B=DC，∠BA′C=∠D=90°，
在△A′BC和△DCE中，
∠BA′C=∠D∠A′CB=∠DECA′B=DC，
∴△A′BC≌△DCE(AAS)．
(2)解：∵△A′BC≌△DCE，
∴CB=EC，
∵A′B=AB=15，A′E=AE=9，
∴A′C=EC−A′E=EC−9，
∵A′B2+A′C2=BC2，
∴152+(EC−9)2=EC2，
解得EC=17，
∴EC的长为17．
【解析】(1)由矩形的性质得AB=DC，∠A=∠D=90°，BC/​/AD，则∠A′CB=∠DEC，由翻折得A′B=AB，∠BA′E=∠A=90°，所以A′B=DC，∠BA′C=∠D=90°，即可根据“AAS”证明△A′BC≌△DCE；
(2)由全等三角形的性质得CB=EC，而A′B=AB=15，A′E=AE=9，所以A′C=EC−9，由勾股定理得152+(EC−9)2=EC2，求得EC=17．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出A′B=DC，∠BA′C=∠D，进而证明△A′BC≌△DCE是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接OD．
∵EB=ED，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB，∠OBD=∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴CE是⊙O的切线；
①设OD=OA=r，
∵OD⊥CD，
∴sinC=ODOC=13rr+2=13，
∴F=1，
∴⊙O的半径为1；
②在Rt△COD中，CD= OC2−OD2= 62−22=4 2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA=90°，
∴∠ADC=∠CBD，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CBD，
在Rt△COD中，CD= OC2−OD2= 32−22=2 2
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA=90°，
∴∠ADC=∠CBD，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴ADBD=ACCD=22 2= 22
设AD= 2k，BD=2kaAD2+BD2=AB2
( 2k)2+(2k)2=22Ck= 63负值舍去)．
BD=2k=2 63．
【解析】(1)如图，连接OD.CD是⊙O的切线；只要证明OD⊥CD即可；
(2)①根据sinC=13，构建方程求解即可；
②证明△CDA∽△CBD，推出ADBD=ACCD= 22，设AD= 2k，BD=2k，利用勾股定理求解即可．
本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+5的图象与过点A(4,a)，
∴a=−4+5=1，
∴点A(4,1)，
∵点A在反比例函数y=nx(n>0,x>0)的图象上，
∴n=4×1=4；
(2)由y=−x+5y=4x，解得x=1y=4或x=4y=1，
∴B(1,4)，
∴若x>0，当−x+5>nx时x的取值范围是1(3)设P(x,−x+5)，则Q(x,4x)，
∴PQ=−x+5−4x，
∵△POQ的面积为1，
∴12PQ⋅OM=1，即12x⋅(−x+5−4x)=1，
整理得x2−5x+6=0，
解得x=2或3，
∴P点的坐标为(2,3)或(3,2)．
【解析】(1)根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得n的值；
(2)解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，然后根据图象求得即可；
(3)设P(x,−x+5)，则Q(x,4x)，得到PQ=−x+5−4x，由△POQ的面积为1即可求得x的值，从而求得点P的坐标．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可得，
y=250−10x=−10x+250，
即y与x之间的函数解析式是y=−10x+250；
(2)设当该商品每件的售价上涨x元时，销售该商品每星期获得的利润为w元．
由题意可得：w=(50+x−40)(−10x+250)=−10x2+150x+2500=−10(x−152)2+122504(0≤x≤25且x为整数)，
∴当x=7或8时，w取得最大值3060，此时50+x=57或58，
答：当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元．
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数解析式；
(2)根据题意，可以写出利润和x之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质，即可得到当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
22.【答案】二
【解析】(1)二
(2)选择第一小的测量数据．
∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=BD，
设AB=x m，则BD=AB=x m，BC=BD+CD=(x+12)m，
在Rt△ABC中，tanC=ABBC=tan37°≈0.75=34，
∴xx+12=34，
解得：x=36；
选择第三小组的测量数据．
∵∠ABF=90°，∠AFB=45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AB=BF，
在Rt△EPF中，PF=EFtan37∘≈12(m)，
在Rt△APB中，
ABPB=ABPF+FB=tan37°≈0.75=34，
即：AB12+AB=34，
解得：AB=36，
答：银杏树AB的高度约为36m；
(任选一种即可)
(3)
①测量距离时，卷尺要拉直；
②测量角度时，测角仪与地面保持垂直状态．
(1)第二小组没有测量有关的线段长度；
(2)先证△ABD是等腰直角三角形，得AB=BD，设AB=x米，则AB=BD=x米，BC=(x+12)米，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．
(3)根据实际情况作出说明即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义．
23.【答案】解：(1)由题意可得，
a−b+c=016a+4b+c=0c=2，
解得：a=−12b=32c=2，
∴抛物线解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)当点D在x轴上方时，过C作CD/​/AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D(3,2)；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD/​/AC，
∵C(0,2)，
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A(−1,0)代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B(4,0)代入可求得m=−8，
∴直线BD解析式为y=2x−8，
联立直线BD和抛物线解析式可得y=2x−8y=−12x2+32x+2，
解得x=4y=0或x=−5y=−18，
∴D(−5,−18)；
综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(−5,−18)；
(3)△PEF的周长=PE+PF+EF=PF+PF⋅sin∠PFE+PF⋅cs∠PFE=PF(1+sin∠PFE+cs∠PFE)，
∵∠PFE是定值，
∴当PF最大时，△PEF的周长最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(4,0)，C(0,2)代入得：
4k+b=0b=2，解得：k=−12b=2，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
设P(t,−12t2+32t+2)，F(t,−12t+2)
∴PF=−12t2+32t+2−(−12t+2)
=−12t2+2t
=−12(t−2)2+2，
∴当t=2时，PF最大值为2，

∵B(4,0)，C(0,2)，
∴OB=4，OC=2，BC= 22+42=2 5，
∵PF//y轴，
∴∠PFE=∠OCB，
∴sin∠PFE=2 55，cs∠PFE= 55，
∴△PEF的周长最大值为PF(1+sin∠PFE+cs∠PFE)=2×(1+2 55+ 55)=2+6 55．
【解析】(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)当点D在x轴上方时，则可知当CD/​/AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD/​/AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
(3)可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1−S2=S△PAB−S△AFO−S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的周长、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出D点的位置是解题的关键，在(3)中用P点的坐标表示出PF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性强，难度较大．
24.【答案】解：(1)∵CE/​/AB，CE⊥CD，
∴AB⊥CD，
∵csA=ADAC=ACAB，
∴AD3=35，
∴AD=95；
(2)∵∠CDF=∠A，∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ACB∽△DCE，
∴ACCD=BCCE，
∴ACBC=CDCE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ACBC=ADBE，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC= AB2−AC2= 25−9=4，
∴34=xy，
∴y=43x，
∵点D是AB边上的一个动点(不与点A、B重合)，
∴0(3)如图3，当点E在线段BH上时，则EC=EQ，过点C作CN⊥AB于N，
∵△ACD∽△BCE，
∴ACBC=CDCE=34，∠A=∠CBE，
∴设CD=3x，则CE=4x=EQ，
∴DE= CD2+CE2=5x，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°=∠ABE，
又∵CH⊥BE，CN⊥AB，
∴四边形CNBH是矩形，
∴CH=NB，CQ/​/BD，
∵cs∠ABC=BNBC=BCAB，
∴BN4=45，
∴BN=165=CH，
∵CE=EQ，EH⊥CQ，
∴CH=HQ=165，
∵CQ//BD，
∴△EHQ∽△EBD，
∴HQBD=EQDE，
∴1655−AD=4x5x，
∴AD=1；
如图4，当点E线段BH的延长线上时，则CQ=EQ，
∵BC=4，CH=165，
∴BH= BC2−CH2= 16−25625=125，
∵CQ=EQ，
∴∠QCE=∠QEC，
∵∠DCE=90°，∠QCE+∠QCD=90°，∠QEC+∠QDC=90°，
∴∠QCD=∠QDC，
∴CQ=DQ，
∴QE=CQ=DQ，
∵CH⊥BE，∠ABE=90°，
∴CH/​/AB，
∴QEDQ=EHBH=1，
∴EH=BH=125，
∴BE=245，
∵y=43x，
∴245=43AD，
∴AD=185，
综上所述：AD=185或1．
【解析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，列函数关系式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
(1)先证明AB⊥CD，由锐角三角函数得出csA=ADAC=ACAB，即可求AD的长；
(2)通过证明△ACD∽△BCE，可得ACBC=ADBE，进而列出函数关系式，再求出函数的定义域即可；
(3)分两种情况讨论：当点E在线段BH上时，则EC=EQ；当点E线段BH的延长线上时，则CQ=EQ，分别由相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
课题
测量银杏树(AB)的高度
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点C、D在点B的正西方向
GH是银杏树旁的房屋
EF是银杏树正西方向的指路牌，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正西方向
测量数据
∠C=37°，∠ADB=45°，CD=12m
∠AGE=37°，∠BGE=45°
EF=9m，∠P=37°，∠AFB=45°
甲
乙
丙
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)