湖北省随州市随县历山学校三校联考2024届九年级上学期第一次段考数学试卷(含解析)

这是一份湖北省随州市随县历山学校三校联考2024届九年级上学期第一次段考数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，把一元二次方程，对于二次函数y＝﹣4，下列图象中，函数y＝ax2﹣a，若点A等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2＝5x﹣1B．x+＝2
C．（x﹣3）（x+1）＝x2﹣5D．3x﹣y＝5
2．把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2+x﹣5＝0B．x2﹣5x﹣5＝0C．x2+x﹣7＝0D．x2﹣5x+6＝0
3．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k＞0C．k≥﹣1D．k＞﹣1
4．已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
5．如图，某工程队计划将一块长64m、宽32m的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建四条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（ ）
A．（64﹣3x）（32﹣x）＝64×32×80%
B．（32﹣3x）（64﹣x）＝64×32×80%
C．64x+3×32x﹣3x2＝64×32×80%
D．64x+3×32x＝64×32×（1﹣80%）
6．对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
7．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y3
9．在二次函数①y＝3x2；②y＝x2，③y＝x2中，图象在同一坐标系中的开口大小顺序，用题号表示应该为（ ）
A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④4ac﹣b2＜0；
其中正确的结论有（ ）​
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．代数式y2+6y+12的最小值是 ．
12．一元二次方程x2﹣11x+30＝0的两根是等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
13．当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，则a的值为 ．
14．已知max{，x2，x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max{，x2，x}＝max{，92，9}＝81，若max{，x2，x}＝16，则x＝ ．
如图一次函数y1＝kx＋n（k≠0）与二次函数y2＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于A（−1，4），B（6，2）两点则关于x的不等式kx＋n＞ax2＋bx＋c的解集为
（第15 题） (第 16题）
16．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、…、A80在y轴的正半轴上，点B1、B2、…、B80在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、…、△A79B80A80都是等边三角形，则点B80的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（12分）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）；
（3）x2﹣4x﹣3＝0；（4）2x2+6x+2＝0．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
19．（6分）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
20．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出△BCE面积的最大值．

（第20题） （第21题）
21．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过30m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为Sm2，AD的长度为xm．
（1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？
（2）当AD和BC分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
22．（10分）掷实心球是殷店镇中心学校秋季运动会的比赛项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据殷店镇中心学校秋季运动会的比赛评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
23．（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）若物价部门规定每箱售价不得高于55元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP
面积相等时，请求出所有点P的坐标．
2023-2024年九年级数学第一次月考参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：A．方程2x2＝5x﹣1是一元二次方程，选项A符合题意；
B．方程x+＝2是分式方程，选项B不符合题意；
C．原方程整理得2x﹣2＝0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；
D.3x﹣y＝5是二元一次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
2．解：（x﹣2）（x+3）＝1，
x2+x﹣6＝1，
x2+x﹣7＝0，
故选：C．
3．解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴k≥0，且Δ＞0，即（2）2﹣4×1×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选：A．
4．D．
5．解：设小路的宽为x 米，则绿化区域面积相当于长为（64﹣3x）米，宽为（32﹣x）米的矩形面积，
∴（64﹣3x）（32﹣x）＝64×32×80%，
故选：A．
6．解：∵二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
令x＝0，则y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A、B、C选项错误；D选项正确．
故选：D．
7．解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
8．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
而A（﹣3，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
9．解：∵抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小．
∴开口大小按题号顺序表示为②＞③＞①．
故选：C．
10．解：由图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①错误．
因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
所以x＝﹣2时与x＝0时的函数值相等．
又由图象可知，
x＝0时，函数值大于0．
所以x＝﹣2时，函数值也大于0．
即4a﹣2b+c＞0．
故②正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，
所以当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c．
则当x＝m（m为任意实数）时，总有a﹣b+c≥am2+bm+c，
即a﹣b≥m（am+b）．
故③错误．
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0．
故④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．解：原式＝（x2+6x+9）+3
＝（x+3）2+3，
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+3≥3，
则代数式x2+6x+12的最小值是3．
故答案为：3．
12．解：方程x2﹣11x+30＝0，
因式分解得，（x﹣5）（x﹣6）＝0，
x﹣5＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝5，x2＝6，
当5是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，6，周长＝5+5+6＝16；
当6是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，6，6，周长＝5+6+6＝17．
故答案为：16或17．
13．解：当y＝3时，有﹣x2+2x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，
∴a﹣2＝2或a+1＝0，
∴a＝4或a＝﹣1，
故答案为：4或﹣1．
14．解：①当max，x2，x}＝＝16时，
则x＝256，
∵256＞16，
∴x＞，
此情况不合题意；
②当max，x2，x}＝x＝16时，
∴x2＝256，
∵256＞16，
∴此种情况不合题意；
③当max，x2，x}＝x2＝16时，
由题意：x≥0，
∴x＝4，＝2，
∵16＞4＞2，
∴此种情况符合题意，
∴x＝4．
故答案为：4．
15．116．解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，
在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入y＝x2中，得＝•（a）2，解得a＝1，
∴B1（，），
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，
∴B2（，2），
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，
∴B3（，），
…，
由此可得B80的坐标为（40，3200）．
故答案为：（40，3200）．
三．解答题（共8小题）
17．解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0，
（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
∴x1＝6，x2＝﹣4；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1），
（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0，
（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）＝0
∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0，
∴x1＝，x2＝；
（3）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）2x2+6x+2＝0，
这里a＝2，b＝6，c＝2，
∴Δ＝62﹣4×2×2＝20＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
19．解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0，
所以m＝0；
（2）依题意m2﹣m≠0，
所以m≠1且m≠0．
20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，3）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过E点作ED∥y轴交BC于D点，如图，
设E（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则D（t，﹣t+3），
∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴△BCE面积＝×（﹣t2+3t）×3＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，△BCE面积有最大值，最大值为．
21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AD的长度为xm，
∴AD＝BC＝x．
∵矩形除CD边外的三边总长为80m，
∴AB＝80﹣2x，且80﹣2x≤30，
∴x≥25，且x＜40，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+80x（25≤x＜40）；
（2）由（1）得S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且（25≤x＜40），
∵﹣2＜0，
∴当x＞20时，S随x的增大而减少，
∴当x＝25时，S取最大值，最大值＝750（m2），
此时AD＝25m，AB＝30m，
∴当AD＝25m，AB＝30m时，矩形的面积最大，最大值为750m2．
22．解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3．
把代入解析式，得，
解得．
∴．
（2）该女生在此项考试中是得满分．
理由：令y＝0，即，
解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m．
∴该女生在此项考试中是得满分．
23．解：（1）y＝90﹣3（x﹣50）＝﹣3x+240，
∴平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝﹣3x+240；
（2）根据题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600，
∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝﹣3x2+360x﹣9600；
（3）由（2）知w＝﹣3x2+360x﹣9600
＝﹣3（x﹣60）2+1200，
∵a＝﹣3＜0，x≤55，
∴当x＝55元时，利润w最大．
∴每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润．
24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，连接QB，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A，B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
∴当C，B，Q三点共线时，△AQC的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′（k≠0），
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
在y＝x﹣3中，当x＝1时，y＝﹣2，
∴Q（1，﹣2）；
（3）同理可求出直线AQ的解析式y＝﹣x﹣1，
过点C作AQ的平行线，交抛物线于点P1，
同理可求出直线P1C的解析式为y＝﹣x﹣3，
联立得：
，
解得：或（舍去），
∴P1（1，﹣4）；
∵直线AQ与y轴的交点为（0，﹣1），
点C（0，﹣3）到（0，﹣1）的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可知将直线AQ向上平移2个单位，得到直线y＝﹣x+1，其与抛物线的两个交点也符合题意，
联立得：，
解得：或，
同理可得，，
综上所述：点P的坐标为P1（1，﹣4），，．