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2024年山东省济宁实验中学中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2024年山东省济宁实验中学中考数学模拟试卷（3月份）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个数中，最小的数是( )
A. 0B. −2C. 1D. 2
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a3÷a2=1C. a3−a2=1D. (a3)2=a6
3.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. 6x2y3=2x2⋅3y3B. a(a+1)(a−1)=a3−a
C. a2−2a+1=(a−1)2D. x2+1=x(x+1x)
5.点A(ab,1)在第一象限，则点B(−a2,ab)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.某中学校长计划周三早上去听课，已知该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，校长从上午的课中随机选择一个班去听一节课，校长所选择听课的班级正好是九年级的概率为( )
A. 413B. 513C. 14D. 13
7.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.以下结论：①PA=PC；②∠BPC=90°+12∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP=90°；④∠APC=2∠ABC.一定正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.已知a+1a=3，则a2+1a2的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
9.如图，曲线l是由函数y=4x在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A(−3 2,3 2)，B(32 2,32 2)的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=( )
A. 1
B. 23
C. 22
D. 52
11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )
A. 85
B. 95
C. 125
D. 185
12.如图，已知等边△ABC的边长为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是( )
A. 2 2
B. 2
C. 2 3
D. 3 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.关于x的方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为______．
14.《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为______．
15.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF//MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为______米．(结果保留根号)
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为______(结果保留π)．
17.如图，抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A(1,3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=23；③当x=0时，y2−y1=6；④AB+AC=10；其中正确结论是 ．
18.如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到折痕Dn−1En−1，到AC的距离记为hn.若h1=1，则hn的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)解不等式：1−x6−x<4−x−34；
(2)计算：a2−4a÷(5a−4a−a−1)．
20.(本小题10分)
“1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三800名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图(部分信息未给出)，其中扇形统计图中8分的圆心角度数为90°．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图；
(2)如果全体初三学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初三学生获得10分学生的人数；
(3)经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的3位同学(2名男生，1名女生)当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．
21.(本小题10分)
为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元?
22.(本小题10分)
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分别为AC、BC边上的点(不包括端点)，且DCBE=ACBC=m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= 22，求证：AE=DF；
(2)如图2，若m=35，求DFAE的值．
23.(本小题10分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(1,2)，B(a,−1)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
24.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tanE=13，BD=1，求AB的长．
25.(本小题12分)
如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0)和B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，直线y=−2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的面积最大值；
(3)如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
26.(本小题12分)
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2<0<1< 2，
∴最小的数是−2．
故选：B．
根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原式计算错误；
B、a3÷a2=a，原式计算错误；
C、a3与a2不是同类项，不能合并，原式计算错误；
D、(a3)2=a6，原式计算正确，符合题意；
故选D．
根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确，
故选：A．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、6x2y3=2x2⋅3y3，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项不合题意；
B、a(a+1)(a−1)=a3−a，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项不合题意；
C、a2−2a+1=(a−1)2，此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、x2+1=x(x+1x)，此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项不合题意；
故选：C．
根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可．
本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同．
5.【答案】B
【解析】解：∵点A(ab,1)在第一象限，
∴ab>0，
∴ab>0，a≠0，
∴−a2<0，
则点B(−a2,ab)在第二象限．
故选：B．
直接利用点A(ab,1)在第一象限得出ab>0，a≠0，即可得出点B所在象限．
此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，
∴所选择听课的班级正好是九年级的概率为44+4+5=413，
故选：A．
用九年级班级数除以所有班级数总和即可求得答案．
考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率公式，难度较小．
7.【答案】C
【解析】解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PC，①正确；
∵PA=PB，PA=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，
∵∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC=2∠BAC，故②错误；
同理：∠APC=2∠ABC，故④正确；
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°，
∴2∠BAC+2∠PCB=180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP=90°；③正确；
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵a+1a=3，
∴(a+1a)2=9，即a2+2+1a2=9，
则a2+1a2=7，
故选：C．
将原式两边平方即可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和分式的乘方．
9.【答案】B
【解析】解：∵A(−3 2,3 2)，B(32 2,32 2)，
∴OA⊥OB．
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A(0,6)，B(3,0)，
∴直线AB解析式为y′=−2x′+6，
由y′=−2x′+6y′=4x′，解得x′=1y′=4或x′=2y′=2，
∴M(1,4)，N(2,2)，
∴S△OMN=S△OBM−S△OBN=12×3×4−12×3×2=3，
故选：B．
由题意得A(−3 2,3 2)，B(32 2,32 2)，可知OA⊥OB，建立如图所示的平面直角坐标系，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM−S△OBN计算即可．
本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10.【答案】C
【解析】解：如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD//GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵∠PAH=∠GFHAH=FH∠AHP=∠FHG，
∴△APH≌△FGH(ASA)，
∴AP=GF=1，GH=PH=12PG，
∴PD=AD−AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=12PG=12× PD2+DG2= 22，
故选：C．
延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG= 2，从而得出答案．
本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
11.【答案】D
【解析】解：如图所示，过E作EG⊥CF于G，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，点E为BC的中点，
∴EB=EF=EC，
∴△CEF是等腰三角形，
∴G是CF中点，EG平分∠CEF，且AE平分∠BEF，
∴2∠AEF+2∠GEF=180°，
∴∠AEF+∠GEF=90°，即AE⊥EG，
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠GEC=90°，
∴∠BAE=∠GEC，
∵∠B=∠EGC=90°，
∴△ABE∽△EGC，
根据题意，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，即BE=CE=12BC=12×6=3，
∴在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 42+32=5，
∴AEEC=BEGC，即53=3CG，
∴CG=95，
∵CF=2CG，
∴CF=2×95=185．
故选：D．
过E作EG⊥CF于G，根据折叠可知△CEF是等腰三角形，可证明△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质即可求解．
本题中主要考查翻折变换，涉及到直角三角形得学年制，相似三角形的判定与性质，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，
当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，
∵等边△ABC的边长为4，
∴高PE为2 3，
∴PR+QR的最小值是2 3，
故选：C．
作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，根据点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，即可得到PR+QR的最小值．
本题主要考查了最短路线问题以及等边三角形的性质的运用，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13.【答案】2
【解析】解：当m−2=0时，原方程为2x+1=0，
解得：x=−12，
∴m=2符合题意；
当m−2≠0时，Δ=b2−4ac=22−4(m−2)⩾0，
即12−4m⩾0，
解得：m⩽3且m≠2．
综上所述：m⩽3，
∴偶数m的最大值为2．
故答案为：2．
由方程有实数根，可得出b2−4ac⩾0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得m的取值范围，再找出其内的最大偶数即可．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m的取值范围是解题的关键．
14.【答案】x+y=1003x+y3=100
【解析】【解答】
解：由题意可得，
x+y=1003x+y3=100，
故答案为：x+y=1003x+y3=100．
【分析】
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
15.【答案】(30+10 3)
【解析】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，
∴HD=x−30+10=x−20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=HDHB，
∴ 33=x−20x，
解得x=30+10 3．
∴河的宽度为(30+10 3)米．
如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=HDBH列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】4π
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2 3．
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC−S扇形CBC′−S△A′BC′
=S扇形ABA′−S扇形CBC′
=120π×42360−120π×22360
=16π3−4π3
=4π．
故答案为4π．
由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC−S扇形CBC′−S△A′BC′可得出阴影部分面积．
本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．
17.【答案】①②④
【解析】解：∵12(x−3)2≥0，
∴y2=12(x−3)2+1>0，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，①正确；
∵抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A(1,3)，
∴3=9a−3，
∴a=23，②正确；
当x=0时，y1=−13，y2=112，
∴当x=0时，y2−y1=356，③错误；
当y=3时，y1=23(x+2)2−3=3，解得x=−5或1，
当y=3时，y2=12(x−3)2+1=3，解得x=1或5，
∴AB=6，AC=4
即AB+AC=10，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
根据y2=12(x−3)2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A(1,3)代入抛物线y1=a(x+2)2−3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y2−y1的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB=6与AC=4的长，即可得到AB+AC的值．
本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
18.【答案】2−12n−1
【解析】解：∵将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在边AC上的点B1处，
∴BD=CD=DB1，∠BDE=∠B1DE，
∴∠DCB1=∠DB1C，
∵∠CDB1+∠BDE+∠B1DE=180°，∠CDB1+∠DCB1+∠DB1C=180°，
∴∠BDE=∠B1DE=∠DCB1=∠DB1C，
∴DE//AC，
∵DE到AC的距离为h1，
∴点B1到DE的距离h1=1，
由折叠的性质得：△EBD≌△EB1D，
∴S△EBD=S△EB1D，
∴点B到DE的距离=点B1到DE的距离为h1=1，
同理：D1E1//DE，点B到D1E1的距离=点B2到D1E1的距离为12h1=12，
∴B1到D1E1的距离h2=1+12，
同理：h3=h2+14h1=1+12+14，
h4=h3+18h1=1+12+14+18，
……
hn=1+12+14+18…+12n−1=2−12n−1，
故答案为：2−12n−1．
由折叠的性质与已知条件可得BD=CD=DB1，∠BDE=∠B1DE，得出∠DCB1=∠DB1C，再由平角与三角形内角和定理得出∠BDE=∠B1DE=∠DCB1=∠DB1C，则DE//AC，得出点B1到DE的距离h1=1，由折叠的性质得△EBD≌△EB1D，则S△EBD=S△EB1D，由三角形同底等高面积相等，得出点B到DE的距离=点B1到DE的距离为h1=1，同理D1E1//DE，点B到D1E1的距离=点B2到D1E1的距离为12h1=12，则B1到D1E1的距离h2=1+12，依次得到h3、h4、h5、…hn即可．
本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、平行线的判定与性质、图形的变化规律等知识，首先根据变化发现规律得出一般性结论是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)1−x6−x<4−x−34，
去分母，得：2(1−x)−12x<48−3(x−3)，
去括号，得：2−2x−12x<48−3x+9，
移项及合并同类项，得：−11x<55，
系数化为1，得：x>−5；
(2)a2−4a÷(5a−4a−a−1)
=(a+2)(a−2)a÷5a−4−a(a+1)a
=(a+2)(a−2)a⋅a5a−4−a2−a
=(a+2)(a−2)a⋅a−(a−2)2
=a+22−a．
【解析】(1)根据解一元一次不等式的方法解答即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法和解一元一次不等式的方法．
20.【答案】解：(1)获得8分的学生的人数占抽取人数的百分数为：90°360∘×100%=25%，
则剩余学生人数为：4+32+24=60(名)，占抽取人数的75%，
∴抽取学生的总人数为：60÷75%=80(名)，
∴获得8分的学生的人数为：80−60=20(名)，
补全频数分布直方图如下：
(2)估计该校初三学生获得10分学生的人数为：800×2580=250(名)；
(3)列表如下：
∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果，
∴P(选中的两人都是男生)=26=13．
【解析】(1)求出抽取的总人数，即可解决问题；
(2)由初三学生总人数乘以获得10分学生的人数所占的比例即可；
(3)用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出选中的这两人都是男生的概率．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意得
3x+5y=1654x+7y=225
解得：x=30y=15
∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12−m)台．
根据题意得
W=4×300m+4×180(12−m)=480m+8640
∵4×30m+4×15(12−m)≥10804×300m+4×180(12−m)≤12960
∴解得m≥6m≤9
∵m≠12−m，解得m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三种调配方案，
方案一：当m=7时，12−m=5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台，
费用为；4×300×7+4×180×5=12000元；
方案二：当m=8时，12−m=4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
4×300×8+4×180×4=12480元；
方案三：当m=9时，12−m=3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．
4×300×9+4×180×3=12960元；
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元．
【解析】(1)根据题意列出方程组即可；
(2)利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再运算解答问题．
22.【答案】解：(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH//CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴BEBC=HEAC，
∵DCBE=ACBC，
∴BEBC=DCAC，
∴HEAC=DCAC，
∴HE=DC，
∵EH//DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵ACBC= 22，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵DCBE= 22，HE=DC，
∴HEBE= 22，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG//CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴EGCA=BEBC，
∴EGBE=CABC=35，
∵CDBE=35，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴DFAE=ADAG=3y−3x4y−4x=34
【解析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
(2)先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y=mx得，1=m2，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把B(a,−1)代入y=2x得，a=−2，
∴B(−2,−1)，
把点A(1,2)，B(−2,−1)代入y=kx+b得k+b=2−2k+b=−1，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)当y=0时，0=x+1，
解得：x=−1，
∴C(−1,0)，
设P(x,0)，
∴S△APC=12×|x+1|×2=4，
∴x=3或x=−5，
∴P(3,0)或(−5,0)．
【解析】(1)把点A(1,2)代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A(1,2)，B(−2,−1)代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)当y=0时，得到C(−1,0)，设P(x,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE，
∴∠BOC=2∠E，
∵∠ABE=2∠E
∴∠ABE=∠BOC，
∴AB//OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠BCD=∠E，
∵∠A=∠E，tanE=13，BD=1，
∴CDAD=BDCD=13，
∴AD=9，
∴AB=8．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE=∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE=90°，推出∠BCD=∠OCE，得到∠BCD=∠E，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(1,0)，B(−3,0)，C(0,−3)代入得：
a+b+c=09a−3b+c=0c=−3，
解得a=1b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)把A(1,0)代入y=−2x+m得：
−2+m=0，
解得m=2，
∴y=−2x+2，
联立y=−2x+2y=x2+2x−3，解得x=1y=0或x=−5y=12，
∴E(−5,12)，
过M作MN//y轴交AE于N，如图：
设M(m,m2+2m−3)，则N(m,−2m+2)，
∴MN=(−2m+2)−(m2+2m−3)=−m2−4m+5，
∴S△AME=12MN⋅|xA−xE|=12×(−m2−4m+5)×6=−3(m+2)2+27，
∵−3<0，
∴当m=−2时，S△AME取最大值，最大值为27，
∴△AME的面积最大值为27；
(3)在y轴上存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，理由如下：
在y=−2x+2中，令x=0得y=2，
∴D(0,2)，
∵OA=1，
∴OAOD=12，
∵∠AOD=90°，以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，
∴△DEP是直角三角形，且两直角边的比为12，
①当∠DPE为直角时，过E作EP⊥y轴于P，如图：
∵E(−5,12)，D(0,2)，
∴EP=5，DP=12−2=10，
∴EPDP=12，
∴EPDP=OAOD，
又∠EPD=90°=∠AOD，
∴此时△EPD∽AOD，点P坐标为(0,12)；
②当∠DEP为直角时，过E作EP⊥DE交y轴于P，如图：
∵∠DEP=90°=∠AOD，∠PDE=∠ADO，
∴△PED∽△AOD，
∴EPDE=OAOD=12，
∵D(0,2)，E(−5,12)，
∴DE=5 5，
∴EP=12DE=5 52，
∴DP= EP2+DE2=252，
∴OP=OD+DP=2+252=292，
∴P的坐标为(0,292)；
综上所述，P的坐标为(0,12)或(0,292).
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)求出y=−2x+2，联立y=−2x+2y=x2+2x−3，可得E(−5,12)，过M作MN//y轴交AE于N，设M(m,m2+2m−3)，有S△AME=12MN⋅|xA−xE|=12×(−m2−4m+5)×6=−3(m+2)2+27，根据二次函数性质可得△AME的面积最大值为27；
(3)在y=−2x+2中，令x=0得D(0,2)，故OAOD=12，可知△DEP是直角三角形，且两直角边的比为12，①当∠DPE为直角时，过E作EP⊥y轴于P，画出图形，可知点P坐标为(0,12)；②当∠DEP为直角时，过E作EP⊥DE交y轴于P，可证△PED∽△AOD，EP=12DE=5 52，可得P的坐标为(0,292).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的性质及判定，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)△DEF是等边三角形．
由(2)知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，
∴△DBF≌△EAF(SAS)，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【解析】(1)根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
(2)与(1)的证明方法一样；
(3)由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．男1
男2
女
男1
男1男2
男1女
男2
男2男1
男2女
女
女男1
女男2
1.下列四个数中，最小的数是( )
A. 0B. −2C. 1D. 2
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a3÷a2=1C. a3−a2=1D. (a3)2=a6
3.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. 6x2y3=2x2⋅3y3B. a(a+1)(a−1)=a3−a
C. a2−2a+1=(a−1)2D. x2+1=x(x+1x)
5.点A(ab,1)在第一象限，则点B(−a2,ab)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.某中学校长计划周三早上去听课，已知该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，校长从上午的课中随机选择一个班去听一节课，校长所选择听课的班级正好是九年级的概率为( )
A. 413B. 513C. 14D. 13
7.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.以下结论：①PA=PC；②∠BPC=90°+12∠BAC；③∠ABP+∠BCP+∠CAP=90°；④∠APC=2∠ABC.一定正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.已知a+1a=3，则a2+1a2的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
9.如图，曲线l是由函数y=4x在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A(−3 2,3 2)，B(32 2,32 2)的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=( )
A. 1
B. 23
C. 22
D. 52
11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )
A. 85
B. 95
C. 125
D. 185
12.如图，已知等边△ABC的边长为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是( )
A. 2 2
B. 2
C. 2 3
D. 3 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.关于x的方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为______．
14.《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为______．
15.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF//MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为______米．(结果保留根号)
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为______(结果保留π)．
17.如图，抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A(1,3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=23；③当x=0时，y2−y1=6；④AB+AC=10；其中正确结论是 ．
18.如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到折痕Dn−1En−1，到AC的距离记为hn.若h1=1，则hn的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)解不等式：1−x6−x<4−x−34；
(2)计算：a2−4a÷(5a−4a−a−1)．
20.(本小题10分)
“1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三800名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图(部分信息未给出)，其中扇形统计图中8分的圆心角度数为90°．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图；
(2)如果全体初三学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初三学生获得10分学生的人数；
(3)经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的3位同学(2名男生，1名女生)当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．
21.(本小题10分)
为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元?
22.(本小题10分)
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分别为AC、BC边上的点(不包括端点)，且DCBE=ACBC=m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= 22，求证：AE=DF；
(2)如图2，若m=35，求DFAE的值．
23.(本小题10分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(1,2)，B(a,−1)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
24.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tanE=13，BD=1，求AB的长．
25.(本小题12分)
如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0)和B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，直线y=−2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的面积最大值；
(3)如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
26.(本小题12分)
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2<0<1< 2，
∴最小的数是−2．
故选：B．
根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原式计算错误；
B、a3÷a2=a，原式计算错误；
C、a3与a2不是同类项，不能合并，原式计算错误；
D、(a3)2=a6，原式计算正确，符合题意；
故选D．
根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确，
故选：A．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、6x2y3=2x2⋅3y3，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项不合题意；
B、a(a+1)(a−1)=a3−a，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项不合题意；
C、a2−2a+1=(a−1)2，此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、x2+1=x(x+1x)，此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项不合题意；
故选：C．
根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可．
本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同．
5.【答案】B
【解析】解：∵点A(ab,1)在第一象限，
∴ab>0，
∴ab>0，a≠0，
∴−a2<0，
则点B(−a2,ab)在第二象限．
故选：B．
直接利用点A(ab,1)在第一象限得出ab>0，a≠0，即可得出点B所在象限．
此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵该校七年级有4个班，八年级有5个班，九年级有4个班，
∴所选择听课的班级正好是九年级的概率为44+4+5=413，
故选：A．
用九年级班级数除以所有班级数总和即可求得答案．
考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率公式，难度较小．
7.【答案】C
【解析】解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PC，①正确；
∵PA=PB，PA=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，
∵∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC=2∠BAC，故②错误；
同理：∠APC=2∠ABC，故④正确；
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°，
∴2∠BAC+2∠PCB=180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP=90°；③正确；
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵a+1a=3，
∴(a+1a)2=9，即a2+2+1a2=9，
则a2+1a2=7，
故选：C．
将原式两边平方即可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和分式的乘方．
9.【答案】B
【解析】解：∵A(−3 2,3 2)，B(32 2,32 2)，
∴OA⊥OB．
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A(0,6)，B(3,0)，
∴直线AB解析式为y′=−2x′+6，
由y′=−2x′+6y′=4x′，解得x′=1y′=4或x′=2y′=2，
∴M(1,4)，N(2,2)，
∴S△OMN=S△OBM−S△OBN=12×3×4−12×3×2=3，
故选：B．
由题意得A(−3 2,3 2)，B(32 2,32 2)，可知OA⊥OB，建立如图所示的平面直角坐标系，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM−S△OBN计算即可．
本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10.【答案】C
【解析】解：如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD//GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵∠PAH=∠GFHAH=FH∠AHP=∠FHG，
∴△APH≌△FGH(ASA)，
∴AP=GF=1，GH=PH=12PG，
∴PD=AD−AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=12PG=12× PD2+DG2= 22，
故选：C．
延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG= 2，从而得出答案．
本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
11.【答案】D
【解析】解：如图所示，过E作EG⊥CF于G，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，点E为BC的中点，
∴EB=EF=EC，
∴△CEF是等腰三角形，
∴G是CF中点，EG平分∠CEF，且AE平分∠BEF，
∴2∠AEF+2∠GEF=180°，
∴∠AEF+∠GEF=90°，即AE⊥EG，
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠GEC=90°，
∴∠BAE=∠GEC，
∵∠B=∠EGC=90°，
∴△ABE∽△EGC，
根据题意，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，即BE=CE=12BC=12×6=3，
∴在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 42+32=5，
∴AEEC=BEGC，即53=3CG，
∴CG=95，
∵CF=2CG，
∴CF=2×95=185．
故选：D．
过E作EG⊥CF于G，根据折叠可知△CEF是等腰三角形，可证明△ABE∽△EGC，根据相似三角形的性质即可求解．
本题中主要考查翻折变换，涉及到直角三角形得学年制，相似三角形的判定与性质，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，
当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，
∵等边△ABC的边长为4，
∴高PE为2 3，
∴PR+QR的最小值是2 3，
故选：C．
作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，根据点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，即可得到PR+QR的最小值．
本题主要考查了最短路线问题以及等边三角形的性质的运用，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13.【答案】2
【解析】解：当m−2=0时，原方程为2x+1=0，
解得：x=−12，
∴m=2符合题意；
当m−2≠0时，Δ=b2−4ac=22−4(m−2)⩾0，
即12−4m⩾0，
解得：m⩽3且m≠2．
综上所述：m⩽3，
∴偶数m的最大值为2．
故答案为：2．
由方程有实数根，可得出b2−4ac⩾0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得m的取值范围，再找出其内的最大偶数即可．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m的取值范围是解题的关键．
14.【答案】x+y=1003x+y3=100
【解析】【解答】
解：由题意可得，
x+y=1003x+y3=100，
故答案为：x+y=1003x+y3=100．
【分析】
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
15.【答案】(30+10 3)
【解析】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，
∴HD=x−30+10=x−20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=HDHB，
∴ 33=x−20x，
解得x=30+10 3．
∴河的宽度为(30+10 3)米．
如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=HDBH列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】4π
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2 3．
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC−S扇形CBC′−S△A′BC′
=S扇形ABA′−S扇形CBC′
=120π×42360−120π×22360
=16π3−4π3
=4π．
故答案为4π．
由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC−S扇形CBC′−S△A′BC′可得出阴影部分面积．
本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．
17.【答案】①②④
【解析】解：∵12(x−3)2≥0，
∴y2=12(x−3)2+1>0，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，①正确；
∵抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A(1,3)，
∴3=9a−3，
∴a=23，②正确；
当x=0时，y1=−13，y2=112，
∴当x=0时，y2−y1=356，③错误；
当y=3时，y1=23(x+2)2−3=3，解得x=−5或1，
当y=3时，y2=12(x−3)2+1=3，解得x=1或5，
∴AB=6，AC=4
即AB+AC=10，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
根据y2=12(x−3)2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A(1,3)代入抛物线y1=a(x+2)2−3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y2−y1的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB=6与AC=4的长，即可得到AB+AC的值．
本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
18.【答案】2−12n−1
【解析】解：∵将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在边AC上的点B1处，
∴BD=CD=DB1，∠BDE=∠B1DE，
∴∠DCB1=∠DB1C，
∵∠CDB1+∠BDE+∠B1DE=180°，∠CDB1+∠DCB1+∠DB1C=180°，
∴∠BDE=∠B1DE=∠DCB1=∠DB1C，
∴DE//AC，
∵DE到AC的距离为h1，
∴点B1到DE的距离h1=1，
由折叠的性质得：△EBD≌△EB1D，
∴S△EBD=S△EB1D，
∴点B到DE的距离=点B1到DE的距离为h1=1，
同理：D1E1//DE，点B到D1E1的距离=点B2到D1E1的距离为12h1=12，
∴B1到D1E1的距离h2=1+12，
同理：h3=h2+14h1=1+12+14，
h4=h3+18h1=1+12+14+18，
……
hn=1+12+14+18…+12n−1=2−12n−1，
故答案为：2−12n−1．
由折叠的性质与已知条件可得BD=CD=DB1，∠BDE=∠B1DE，得出∠DCB1=∠DB1C，再由平角与三角形内角和定理得出∠BDE=∠B1DE=∠DCB1=∠DB1C，则DE//AC，得出点B1到DE的距离h1=1，由折叠的性质得△EBD≌△EB1D，则S△EBD=S△EB1D，由三角形同底等高面积相等，得出点B到DE的距离=点B1到DE的距离为h1=1，同理D1E1//DE，点B到D1E1的距离=点B2到D1E1的距离为12h1=12，则B1到D1E1的距离h2=1+12，依次得到h3、h4、h5、…hn即可．
本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、平行线的判定与性质、图形的变化规律等知识，首先根据变化发现规律得出一般性结论是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)1−x6−x<4−x−34，
去分母，得：2(1−x)−12x<48−3(x−3)，
去括号，得：2−2x−12x<48−3x+9，
移项及合并同类项，得：−11x<55，
系数化为1，得：x>−5；
(2)a2−4a÷(5a−4a−a−1)
=(a+2)(a−2)a÷5a−4−a(a+1)a
=(a+2)(a−2)a⋅a5a−4−a2−a
=(a+2)(a−2)a⋅a−(a−2)2
=a+22−a．
【解析】(1)根据解一元一次不等式的方法解答即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法和解一元一次不等式的方法．
20.【答案】解：(1)获得8分的学生的人数占抽取人数的百分数为：90°360∘×100%=25%，
则剩余学生人数为：4+32+24=60(名)，占抽取人数的75%，
∴抽取学生的总人数为：60÷75%=80(名)，
∴获得8分的学生的人数为：80−60=20(名)，
补全频数分布直方图如下：
(2)估计该校初三学生获得10分学生的人数为：800×2580=250(名)；
(3)列表如下：
∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果，
∴P(选中的两人都是男生)=26=13．
【解析】(1)求出抽取的总人数，即可解决问题；
(2)由初三学生总人数乘以获得10分学生的人数所占的比例即可；
(3)用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出选中的这两人都是男生的概率．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意得
3x+5y=1654x+7y=225
解得：x=30y=15
∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12−m)台．
根据题意得
W=4×300m+4×180(12−m)=480m+8640
∵4×30m+4×15(12−m)≥10804×300m+4×180(12−m)≤12960
∴解得m≥6m≤9
∵m≠12−m，解得m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三种调配方案，
方案一：当m=7时，12−m=5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台，
费用为；4×300×7+4×180×5=12000元；
方案二：当m=8时，12−m=4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
4×300×8+4×180×4=12480元；
方案三：当m=9时，12−m=3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．
4×300×9+4×180×3=12960元；
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元．
【解析】(1)根据题意列出方程组即可；
(2)利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再运算解答问题．
22.【答案】解：(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH//CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴BEBC=HEAC，
∵DCBE=ACBC，
∴BEBC=DCAC，
∴HEAC=DCAC，
∴HE=DC，
∵EH//DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵ACBC= 22，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵DCBE= 22，HE=DC，
∴HEBE= 22，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG//CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴EGCA=BEBC，
∴EGBE=CABC=35，
∵CDBE=35，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴DFAE=ADAG=3y−3x4y−4x=34
【解析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
(2)先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y=mx得，1=m2，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把B(a,−1)代入y=2x得，a=−2，
∴B(−2,−1)，
把点A(1,2)，B(−2,−1)代入y=kx+b得k+b=2−2k+b=−1，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)当y=0时，0=x+1，
解得：x=−1，
∴C(−1,0)，
设P(x,0)，
∴S△APC=12×|x+1|×2=4，
∴x=3或x=−5，
∴P(3,0)或(−5,0)．
【解析】(1)把点A(1,2)代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A(1,2)，B(−2,−1)代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；
(2)当y=0时，得到C(−1,0)，设P(x,0)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE，
∴∠BOC=2∠E，
∵∠ABE=2∠E
∴∠ABE=∠BOC，
∴AB//OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠BCD=∠E，
∵∠A=∠E，tanE=13，BD=1，
∴CDAD=BDCD=13，
∴AD=9，
∴AB=8．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE=∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
(2)连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE=90°，推出∠BCD=∠OCE，得到∠BCD=∠E，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(1,0)，B(−3,0)，C(0,−3)代入得：
a+b+c=09a−3b+c=0c=−3，
解得a=1b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)把A(1,0)代入y=−2x+m得：
−2+m=0，
解得m=2，
∴y=−2x+2，
联立y=−2x+2y=x2+2x−3，解得x=1y=0或x=−5y=12，
∴E(−5,12)，
过M作MN//y轴交AE于N，如图：
设M(m,m2+2m−3)，则N(m,−2m+2)，
∴MN=(−2m+2)−(m2+2m−3)=−m2−4m+5，
∴S△AME=12MN⋅|xA−xE|=12×(−m2−4m+5)×6=−3(m+2)2+27，
∵−3<0，
∴当m=−2时，S△AME取最大值，最大值为27，
∴△AME的面积最大值为27；
(3)在y轴上存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，理由如下：
在y=−2x+2中，令x=0得y=2，
∴D(0,2)，
∵OA=1，
∴OAOD=12，
∵∠AOD=90°，以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，
∴△DEP是直角三角形，且两直角边的比为12，
①当∠DPE为直角时，过E作EP⊥y轴于P，如图：
∵E(−5,12)，D(0,2)，
∴EP=5，DP=12−2=10，
∴EPDP=12，
∴EPDP=OAOD，
又∠EPD=90°=∠AOD，
∴此时△EPD∽AOD，点P坐标为(0,12)；
②当∠DEP为直角时，过E作EP⊥DE交y轴于P，如图：
∵∠DEP=90°=∠AOD，∠PDE=∠ADO，
∴△PED∽△AOD，
∴EPDE=OAOD=12，
∵D(0,2)，E(−5,12)，
∴DE=5 5，
∴EP=12DE=5 52，
∴DP= EP2+DE2=252，
∴OP=OD+DP=2+252=292，
∴P的坐标为(0,292)；
综上所述，P的坐标为(0,12)或(0,292).
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)求出y=−2x+2，联立y=−2x+2y=x2+2x−3，可得E(−5,12)，过M作MN//y轴交AE于N，设M(m,m2+2m−3)，有S△AME=12MN⋅|xA−xE|=12×(−m2−4m+5)×6=−3(m+2)2+27，根据二次函数性质可得△AME的面积最大值为27；
(3)在y=−2x+2中，令x=0得D(0,2)，故OAOD=12，可知△DEP是直角三角形，且两直角边的比为12，①当∠DPE为直角时，过E作EP⊥y轴于P，画出图形，可知点P坐标为(0,12)；②当∠DEP为直角时，过E作EP⊥DE交y轴于P，可证△PED∽△AOD，EP=12DE=5 52，可得P的坐标为(0,292).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的性质及判定，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)△DEF是等边三角形．
由(2)知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，
∴△DBF≌△EAF(SAS)，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【解析】(1)根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
(2)与(1)的证明方法一样；
(3)由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．男1
男2
女
男1
男1男2
男1女
男2
男2男1
男2女
女
女男1
女男2
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