高考数学导数专题-11主元与拟合

这是一份高考数学导数专题-11主元与拟合，共6页。试卷主要包含了已知函数，为的导函数，已知，函数等内容，欢迎下载使用。

我们都知道，高中阶段很多函数问题都是含参数的，对于含参数的函数，可以将其简记为，若将参数也视为自变量的话，那么就是一个二元函数，那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数，这就产生了一个重要的方法：主元法. 近年来，在高考试题中，主元法思想考察的相当频繁，例如2019年浙江卷导数压轴题和2020年天津卷导数压轴题等，在这些问题中，使用主元法往往会起到意想不到的好处，从而使得整个问题得到圆满的解决. 基于此，本文就通过几个典例来展示主元法的基本应用手法.
例1.（2020天津）已知函数，为的导函数.
（1）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（2）当时，求证：对任意的，且，都有
.
此处仅就第二问进行如下证明：
解析：由于，故，另一方面
，因此，要证
只需证明
即证. 令, 将上述不等式进行代换，可得以为变量，为参数的函数. 进而可得：
，由于，由于，故. 由（1）可得：证毕.
注：此题在传统的双变量问题思路的基础上，进一步需要结合主元思想才能将多参数问题解决.
例2.（2019年浙江卷）. 已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
解析：(1)当时，，函数的定义域为，且：
，
因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)由，得，当时，，等价于，令，则，设，，则，
（i）当时，，则可得：
故，满足题意.
（ii）当时，，
令，则，故在上单调递增，，由（i）得，
，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，
综上所述，所求的的取值范围是．
注：欲证不等式，此题以为主元构造二次函数讨论易行，若以为主元此题函数过于复杂，很难通过求导找到单调性与最值.
有关函数凸凹性（詹森不等式）背景的双变量问题也经常使用主元方法!下面我们通过例子说明.
例3. 已知函数，若，试比较与的大小．
解析：不妨设，，，令(a)，则，当时，；当时，，
在上单调增，在上单调减，当时，(a)，
由，故，则．
下面我们来看拟合法解决极值点偏移问题，相关例题较少，此处只列举一道！
例4.（2020浙江）已知，函数.
证明：函数在上有唯一零点；
记为函数在上的零点，证明：
；
.
解析：（1）略.
（2）
记.可证得：，且的根为，同理，的根为.最后，结合三个函数的图象可知.
方法2实际上是用多项式曲线来拟合指对项，从而使得零点可解进而估计出零点范围.
三．习题演练
习题1. 设函数．
（1）求的极值；
（2）若，证明：．
解析：（1）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为
（2）构造函数，，
，，，在上是单调递增的；故(b)(a)，即：另一方面，构造函数
，，
在上是单调递减的，故(b)(a)即：
综上，．
习题2.（2021新高考1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
习题3.（2013陕西卷）已知函数.
（1），（2）略.
（3）设，比较与的大小，并说明理由.
（3）解析：设
令。
，且
，
，故.