第2讲 空间直线、平面的平行（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）

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类型一：利用线面平行的判定定理证明线面平行
类型二：直线与平面平行的性质定理的应用
类型三：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
类型四：由线面平行求线段长度
类型五：面面平行的判定定理
类型六：面面平行的性质定理的应用
类型七：线面平行、面面平行的探索性问题
类型八：求异面直线所成角
类型九：由异面直线所成角求参数
类型十：新定义题
类型一：利用线面平行的判定定理证明线面平行
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形是梯形，，，，，点是棱上一点，且．证明：平面.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为矩形，平面，，，，．求证：平面；
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别是和中点，求证：
(1)平面；
(2)平面.
同类题型演练
1．（2023·广东·高三统考学业考试）如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．证明：EF∥平面AB1D1．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．求证：平面
3．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱，底面是平行四边形，分别是棱的中点，求证：平面
类型二：直线与平面平行的性质定理的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，为的中点，平面平面
(1)证明:平面
(2)证明:
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．设平面平面，证明：；
2．（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．
(1)若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB；
(2)若平面AEC，求证：E是PD中点．
3．（2022·全国·高一假期作业）如图，，分别是空间四边形的边，的中点，，分别是，上的点，且，，，四点共面.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
类型三：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
典型例题
例题1．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点是棱上的动点．
(1)证明：；
(2)设，求当平面时的值．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．
(1)若为边的中点，求证：平面PAD；
(2)若为边的中点，能否在棱上找一点，使得平面？并证明你的结论．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点.
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由.
同类题型演练
1．（2022·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考学业考试）如图所示，在四棱雉中，，，点M在线段SB上，且平面SAD．
(1)求的值，并说明理由；
(2)若，，求四棱雉的体积．
2．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）几何体是四棱锥，为正三角，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
3．（2022春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）如图在四棱锥中，，M，N分别是AB，CD的中点，．
(1)求证：平面AED；
(2)若点F在棱AD上且满足，平面CEF，求的值．
类型四：由线面平行求线段长度
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]
例题2．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是________；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是________.
同类题型演练
1．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）如图，在正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）直三棱柱的所有棱长均为3，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，且，N为上一点，且平面，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2022春·河北张家口·高一张北县第一中学校考阶段练习）正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为，点P，Q分别在和上，并且，平面，则线段的长为__________．
类型五：面面平行的判定定理
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，在上，且，是的中点．
(1)求证：四点共面
(2)求证：平面平面．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱柱的底面为正方形，为的中点，，求证：平面∥平面
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面.
2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，分别是和的中点.求证：
(1)平面.
(2)平面平面.
3．（2023·全国·高三专题练习）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
类型六：面面平行的性质定理的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为长方形，，，点、分别为、的中点．设平面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为，求证：平面
例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
(1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为菱形，，求证：平面
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
3．（2022·高一课时练习）如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面．
类型七：线面平行、面面平行的探索性问题
典型例题
例题1．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
例题2．（2022秋·北京顺义·高二校考期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为中点.
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)点到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？
2．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，是的中点，是上一点，且.将沿着折起，形成四棱锥，其中点对应的点为.
(1)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由；
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.
(1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？
(2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求.
类型八：求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体中，，分别为，的中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则异面直线和所成角的余弦值是_________.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为__________．
同类题型演练
1．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）在正方体中，直线是底面所在平面内不过的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．90°C．45°D．60°
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，若，则异面直线所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，.求
(1)求直线和直线所成的角的大小；
(2)求直线与平面所成的角的大小.
类型九：由异面直线所成角求参数
典型例题
例题1．（2022春·江苏连云港·高二统考期中）在直三棱柱中，，，若，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·上海·高二专题练习）空间四边形，，､､分别为､､的中点，若异面直线和所成的角为60°，则线段的长为___________.
例题3．（2023·上海·高二专题练习）异面直线、所成角为，直线与、垂直且分别交于、,点、分别在直线、上，若，，，则________．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为___________.
2．（2023·上海·高二专题练习）如图，空间四边形ABCD的对角线AC=BD=8，M、N分别为AB、CD的中点，且，则MN等于_____________
3．（2023·上海·高二专题练习）在空间四边形中，，､分别是对角线､的中点，若异面直线､所成角的大小为，则的长为___________.
类型十：新定义题
1．（2022·高二课时练习）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中都是正三角形，，则以下两个结论：①；②，说法正确的是（ ）
A．①和②都不成立B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立D．①和②都成立
2．（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点A作交SC于点D，以AD为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：
①；
②平面；
③SA与平面所成角的大小等于；
④AB与SC所成的角等于．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
3．（2022·全国·高三专题练习）（图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡， 前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡， 也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等， 已知，则_______________
4．（2022·全国·高三专题练习）自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥模型，经测量底面圆的直径，母线，若点在上，且，为的中点．证明：平面；