备战2024年高考数学二轮复习专题06利用导数证明不等式(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题06利用导数证明不等式(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了常规不等式的证明，含n不等式的证明等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 常规不等式的证明
典例1．已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)判断函数的单调性．
(2)证明：当时，．
变式1-1．已知函数．
(1)试比较与的大小．
(2)证明：，．
变式1-2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：.
变式1-3．已知函数．
(1)若，证明：在上存在唯一的零点；
(2)若，证明：当时，．
考点二 含n不等式的证明
典例2．已知函数 ．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：…
变式2-1．已知函数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：.
变式2-2．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
变式2-3．已知函数.
(1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(2)求证：（，e是自然对数的底数）
巩固练习
练习一 常规不等式的证明
1．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
2．已知函数.
(1)若，讨论零点的个数；
(2)求证：当时，（注：）.
3．已知函数，.
(1)求函数的单调区间及在上的最小值；
(2)证明：当时，.
4．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：．
练习二 含n不等式的证明
5．已知函数.
(1)若恒成立，求实数k的取值范围；
(2)证明：(，).
6．已知函数在处取得极值
(1)求函数的单调性；
(2)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
7．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
8．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)证明：对任意的正整数，.
第六篇 导数
专题06 利用导数证明不等式
常见考点
考点一 常规不等式的证明
典例1．已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)判断函数的单调性．
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，求出的值，然后分别解不等式、，可得出函数的增区间和减区间；
（2）将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数求得，可证得结论成立.
(1)
解：因为，所以，解得，所以．
函数的定义域为，令，得；令，得．
所以函数的增区间为，减区间为.
(2)
证明：要证，即证，只需证．
令，其中，
则．
令，则，所以在上单调递增．
因为，，
所以存在，使，可得，
当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增．
所以．
所以，所以．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式1-1．已知函数．
(1)试比较与的大小．
(2)证明：，．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）构造函数，求出单调性，极值，最值，得到结果；（2）在第一问求解的基础上，通过变形得到，再经过放缩证明出不等式.
(1)
．理由如下：
设，则．
由，得；由，得．
在上单调递减，在上单调递增，则函数在x=0处取得极小值，也是最小值，
故，即，当且仅当时，等号成立．
(2)
证明：由（1）可知，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时，等号成立．
，从而，即，当且仅当时，等号成立．
故．
因为，所以，
因为，所以，所以，
即，即．
【点睛】
导函数证明不等式，放缩是一种常见方法，常见的放缩有切线放缩，最值放缩等，比如本题中所用的，（）为切线放缩，而为最值放缩.
变式1-2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，得到和，进而求得切线的方程；
（2）令，利用导数求得单调性，得到，即，得到，再令，利用导数求得单调性，得到，两式相加，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，所以，
因为，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即曲线在点处的切线方程.
(2)
证明：令，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，则①.
令，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
①②可得，即.
变式1-3．已知函数．
(1)若，证明：在上存在唯一的零点；
(2)若，证明：当时，．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数判断出函数的单调性，再由零点存在性定理求证即可；
（2）求出函数导数，分析当时，导数大于等于0，利用函数单调递增，求出函数的最小值即可证明.
(1)
当时，，故，
，
当时，，所以函数在上单调递减，
又，，由零点存在性定理知，
在上存在唯一的零点.
(2)
，
，
当时，，
令，
当时，，，
当时，令，则，
故时，，单调递增；时，，单调递减，
故当时，，，
，
综上可知，时，，故，在时单调递增，
所以，即当时，．
考点二 含n不等式的证明
典例2．已知函数 ．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：…
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用换元法，结合导数以及复合函数的单调性，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）当时，根据的单调性得到，结合累加法证得.当时，根据的单调性得到，结合累加法证得.从而证得原不等式成立.
(1)
令，∵
①当时，对任意都有是 上的增函数，
由于当时，是增函数，当时，是减函数，
由复合函数的单调性知，在单调递减，在单调递增；
②当，对任意都有是 上的减函数，
从而在单调递增，在单调递减；
③当时，则，
则在递增，在递减
从而在区间和单调递增，
在区间和单调递减.
综上所述，①当时，在递增，在递减；
②当时，从而在区间和单调递增，
在区间和单调递减；
③当时，在单调递减，在单调递增；
(2)
①当时，由（1）知，在单调递减，
令，有，即
累加得.
②当时，由（1）知，在单调递增，
令，有，即
累加得
从而对任意都成立．
【点睛】
证明有两个不等号的不等式成立，可分别证明这两个不等式连接的式子成立，从而证得不等式成立.复合函数的单调性可以根据“同增异减”来判断.
变式2-1．已知函数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）等价于，即，记，只要证明即可，分，和三种情况讨论函数的最值，从而可得出答案；
（2）由（1）可知当时，在上成立，即，令，则，由此即可证得结论.
(1)
解：等价于，即，
记，则，
当时，，在上单调递增，
由，，
所以，即不恒成立；
当时，则，当时，，
所以在上单调递增，
则，
所以不恒成立；
当时，，，在上单调递减，
所以，
所以，即恒成立，
所以在上恒成立，实数的取值范围是；
(2)
证明：当时，在上成立，即，
令，则，
所以
，
所以.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题和不等式的证明问题，考查了利用导数解决函数的最值问题，考查了分类讨论思想和转换思想，有一定的难度.
变式2-2．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数几何意义先求出，再求导解不等式可得单调区间；
（2）将问题转化为f(x)max≤g(x)max，再分别求最大值建立不等式即可求解；
（3）根据（1）中的不等式放缩，再通过裂项相消法求和可证明.
(1)
由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
当x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)
由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值为0，
由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.
∵g(x)＝，（等号成立）
∴只需，解得.
(3)
证明：要证明 (nN*，n≥2).
只需证，
只需证.
由(1)当x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴当n≥2时，，，
所以
＝，
∴.
变式2-3．已知函数.
(1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(2)求证：（，e是自然对数的底数）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）不等式恒成立，即恒成立.再构造函数，只需即可.
（2）当时，在上恒成立，对所求的式子两边取对数证明，即可得到答案；
(1)
因当时，不等式恒成立，即恒成立.
设，
只需即可.由，
（i）当时，，当时，，函数在上单调递减，
故成立；
（ii）当时，由，
因，所以，
①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值；
②若，即时，函数在上单调递减，
在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当时，，因，
∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立.
综上所述，实数a的取值范围是.
(2)
当时，在上恒成立，又，
，
∴.
巩固练习
练习一 常规不等式的证明
1．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先确定定义域为求导可得，根据导数的应用，
分和时，两种情况讨即可得解；
（2）要证即证，
令，求导利用隐零点问题的解决方法求得即可.
(1)
定义域为，
则，时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
故函数的极大值为，无极小值
(2)
证明等价证明（），
即.
令
，
令，则在上单调递增，
而，
故在上存在唯一零点，且，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
故，又因为即，
所以，从而，
即
【点睛】
本题考查了导数的应用，导函数则原函数为增函数，原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：
（1）极值点在何处取得；
（2）隐零点问题在求最值中的运用.
2．已知函数.
(1)若，讨论零点的个数；
(2)求证：当时，（注：）.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得，得出函数的单调性和，分和，两种情况讨论，即可求解；
（2）当时，由（1）中的单调性，证得当时，恒成立，把不等式转化为证明，令，利用导数求得函数单调性性与最小值，证得，进而证得恒成立.
(1)
解：由题意，函数，可得，
令，可得 ，令，可得，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以
当时，，此时没有零点
当时，，此时有且只有一个零点
综上：当时，没有零点；当时，有且只有一个零点.
(2)
解：当时，，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
即当时，恒成立，
因为，所以，
要证，只需证，
只需证，只需证，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即成立，当且仅当时，等号成立，
又由不等式，当且仅当时，等号成立，
所以恒成立.
3．已知函数，.
(1)求函数的单调区间及在上的最小值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案不唯一，见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导数，由导函数的正负确定单调性，根据单调性分类讨论求出最小值．
（2）先引入函数，，利用导数证明，然后利用不等式性质得，要证不等式转化为只要证，再引入新函数利用导数求得最小值可得证．
(1)
由，得，，
令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，与题设矛盾，舍去，
②当时，函数在上单调递增，因此；
③当，即时，函数在上单调递减，
在上单调递增，因此.
综上所述，当时，；当时，.
(2)
证明：设，，则，易得函数在上单调递减，
在上单调递增，因此，故恒成立.
要证，只需证，因为，所以，
故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.
令，则，易得函数在上单调递减，
在上单调递增，因此，故.因此当时，.
【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数确定函数的单调性，求函数的最值，证明函数不等式．难点是不等式的证明，需要引入函数，把不等式的证明转化为求函数的单调性与最值，结合不等式的性质可使函数简化，问题简化，本题属于较难题．
4．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）当时，根据的单调性，即可证明；
若，利用导数讨论单调性，存在，使得在上单调递增，在上单调递减，得到，
又由，得，即，
再求出，即可证明．
(1)
由题意知函数的定义域为，
．
令，则，
因为，当时，，，，所以．
当时，，，，所以．
所以（即）在上单调递减．
又，所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；
若，当时，，，，所以．
当时，，，，所以，
所以（即）在上单调递减．
又，，
所以存在，使得，
所以当时，；当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又由，得，即，
所以，
因为，所以，，
，，
所以．
所以，
综上所述，．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
(4)利用导数证明不等式．
练习二 含n不等式的证明
5．已知函数.
(1)若恒成立，求实数k的取值范围；
(2)证明：(，).
【答案】(1)；
(2)证明见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)参变分离不等式，构造函数，利用导数求其最大值即可；
(2)利用(1)的结论，令k＝1，得(x＞1)，令，得，从而可求所给式子的范围.
(1)
，
令，则＝，
当时，单调递增，当x＞1时，单调递减，
∴，
∴；
(2)
由(1)知，时，有不等式对任意恒成立，
当且仅当时，取“＝”号，
∴，恒成立，
令(，且)，
则，
∴
，
即(，)，
∴(，).
【点睛】
本题关键是利用(1)中的结论，取k＝1时得到不等式，从而得到x＞1时，，令，即可构造不等式，从而通过裂项相消法求出的范围，从而证明结论.
6．已知函数在处取得极值
(1)求函数的单调性；
(2)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
【答案】(1)增区间是，减区间是
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，利用极值点列方程求出，代入，求导即可得单调性；
（2）由（1）可得，令，则，利用其即可证明不等式.
(1)
，为的极值点
，令
的增区间是，减区间是；
(2)
由（1）知当时，，即
令，则，即
，
即
7．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分离变量得到，利用导数可求得，由此可得结果；
（2）当，时可证得，放缩可得，利用等比数列求和公式和对数运算法则可求得，由此可得结论.
(1)
由题意得：定义域为；由得：；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
(2)
由（1）知：当，时，，在上单调递减，
，即；
，
，
即，
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题求解和不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够充分利用（1）中的结论，将所证不等式进行放缩，从而结合等比数列求和的知识进行证明.
8．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)证明：对任意的正整数，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性，求得函数的最小值，由最小值不小于0且f(1)=0得a值；
（2）利用（1）的结论，得到不等式，结合等比数列的前n项和公式和不等式性质进行证明．
(1)
函数定义域是 ，则，
若 ，则恒成立，是增函数，
又 ，则 时， ，不合题意；
时， 时，，递减， 时，，递增，
所以，由题意知需使得，又，所以 ，
否则总有 ，不合题意．
综上 ；
(2)
证明：由（1）知，即时等号成立，
故 ，
所以 .
＋
－