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2024年中考数学复习课件---第19讲 锐角三角函数及其应用
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这是一份2024年中考数学复习课件---第19讲 锐角三角函数及其应用，共42页。PPT课件主要包含了栏目导航，直角三角形的边角关系，近似数和精确度，特殊角的三角函数，边角关系，锐角三角函数的定义，铅垂线，水平线，北偏西20°，南偏东45°等内容，欢迎下载使用。
1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,csA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值.2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.3.在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.4.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题.
教材链接人教:九下P60~P85 北师:九下P1~P27 湘教:九上P108~P139
等腰三角形与直角三角形
解直角三角形的实际应用
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=C，BC=a，AC=b,∠A为△ABC中的一锐角，则有：∠A的正弦sinA =_____ ，∠A的余弦csA=_____，∠A的正切tanA=_____
【易错提示】（1）坡度不是一个度数，而是一个比值，不要混淆坡角与坡度；（2）方向角先说南北，后说东西
点B在点O的_________方向点C在点O的_________方向
解直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似数。一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位。如2.022精确到0.1或十分位为____________，精确到0.01或百分位为____________
方法指导解直角三角形的方法:(1)当所求角在直角三角形中时,根据定义直接进行求解;(2)当所求角不在直角三角形中时,应作辅助线构造直角三角形,或寻找已知直角三角形中的角替代所要求的角.
2.(2022·黔西南州兴义市模拟)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是______________.
例2 核心素养·推理能力 (2022·贵阳息烽县二模)图1是电脑液晶显示器的侧面图,显示屏AB可以绕O点旋转一定角度,研究表明:如图2,当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上,且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角)时,对保护眼睛比较好,而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时,观看屏幕最舒适,此时测得∠BCD=30°,∠APE=90°,液晶显示屏的宽AB为34cm.
(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE;(结果精确到1 cm)
(2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到1 cm)(参考数据:sin18°≈0.3,cs18°≈0.95,≈1.4,≈1.7)
方法指导1.求高度、长度等实际问题一般可以转化为解直角三角形的问题.解题时首先要正确画出示意图,将实际问题转化成数学问题,然后根据特殊角或已知角,构造直角三角形并求解.2.当出现两个或者两个以上的直角三角形,不能直接解三角形时,要善于利用线段的和差关系,建立方程求解.
（2017~2022）
(贵阳6年2考,遵义2020.10,毕节2019.19)
4.(2017·黔西南州25题12分)把(sinα)2记作sin2α,根据图1和图2完成下列各题.(1)sin2A1+cs2A1= ,sin2A2+cs2A2= ,sin2A3+cs2A3= ;
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cs2A= ; (3)如图2,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想;
(贵阳6年5考,遵义6年6考,毕节
6.(2020·铜仁22题10分)如图,一艘船由西向东航行,在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C,再向东继续航行60 km到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°方向上,已知在灯塔C的周围47 km内有暗礁,问:这艘船继续向东航行是否安全?
7. (2021·贵阳21题10分)随着科学技术的不断进步,无人机被广泛应用到实际生活中.小星利用无人机来测量广场B,C两点之间的距离,如图所示,
小星站在广场的B处遥控无人机,无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6 m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63°,他抬头仰视无人机时,仰角为α.若小星的身高BE=1.6 m,EA=50 m(点A,E,B,C在同一平面内).(1)求仰角α的正弦值;(2)求B,C两点之间的距离.(结果精确到1 m)(sin63°≈0.89,cs63°≈0.45,tan63°≈1.96,sin27°≈0.45,cs27°≈0.89,tan27°≈0.51)
(1)求仰角α的正弦值;
(2)求B,C两点之间的距离.(结果精确到1 m)(sin63°≈0.89,cs63°≈0.45,tan63°≈1.96,sin27°≈0.45,cs27°≈0.89,tan27°≈0.51)
8.(2022·贵阳22题10分)交通安全心系千万家,高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪,如图所示的是该段隧道的截面示意图.
测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7 m,测速仪C和E之间的距离CE=750 m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶,在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°,小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s(图中所有点都在同一平面内).
(1)求A,B两点之间的距离;(结果精确到1 m)
(2)若该隧道限速22 m/s,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速?通过计算说明理由.(参考数据:≈1.7,sin25°≈0.4,cs25°≈0.9,tan25°≈0.5,sin65°≈0.9,cs65°≈0.4,tan65°≈2.1)
小汽车从点A行驶到点B没有超速.理由:由题意得760÷38=20(m/s),∵20 m/s<22 m/s,∴小汽车从点A行驶到点B没有超速.
9.(2022·安顺21题10分)随着我国科学技术的不断发展,5G移动通信技术日趋完善.某市政府为了实现5G网络全覆盖,2021~2025年拟建设5G基站3 000个.如图,在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB,小明在坡脚C处
测得塔顶A的仰角为45°,然后他沿坡面CB行走了50米到达D处,D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°.(点A,B,C,D,E均在同一平面内,CE为地平线)
(1)求坡面CB的坡度;
如图,过点D作AB的垂线,交AB的延长线于点F,过点D作DM⊥CE,垂足为M,则MN=DF,DM=FN.由题意可知CD=50米, DM=30米.在Rt△CDM中,由勾股定理得CM2=CD2-DM2,∴CM=40米,∴斜坡CB的坡度=DM∶CM=3∶4.
1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,csA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值.2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.3.在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.4.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题.
教材链接人教:九下P60~P85 北师:九下P1~P27 湘教:九上P108~P139
等腰三角形与直角三角形
解直角三角形的实际应用
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=C，BC=a，AC=b,∠A为△ABC中的一锐角，则有：∠A的正弦sinA =_____ ，∠A的余弦csA=_____，∠A的正切tanA=_____
【易错提示】（1）坡度不是一个度数，而是一个比值，不要混淆坡角与坡度；（2）方向角先说南北，后说东西
点B在点O的_________方向点C在点O的_________方向
解直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似数。一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位。如2.022精确到0.1或十分位为____________，精确到0.01或百分位为____________
方法指导解直角三角形的方法:(1)当所求角在直角三角形中时,根据定义直接进行求解;(2)当所求角不在直角三角形中时,应作辅助线构造直角三角形,或寻找已知直角三角形中的角替代所要求的角.
2.(2022·黔西南州兴义市模拟)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是______________.
例2 核心素养·推理能力 (2022·贵阳息烽县二模)图1是电脑液晶显示器的侧面图,显示屏AB可以绕O点旋转一定角度,研究表明:如图2,当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上,且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角)时,对保护眼睛比较好,而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时,观看屏幕最舒适,此时测得∠BCD=30°,∠APE=90°,液晶显示屏的宽AB为34cm.
(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE;(结果精确到1 cm)
(2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到1 cm)(参考数据:sin18°≈0.3,cs18°≈0.95,≈1.4,≈1.7)
方法指导1.求高度、长度等实际问题一般可以转化为解直角三角形的问题.解题时首先要正确画出示意图,将实际问题转化成数学问题,然后根据特殊角或已知角,构造直角三角形并求解.2.当出现两个或者两个以上的直角三角形,不能直接解三角形时,要善于利用线段的和差关系,建立方程求解.
（2017~2022）
(贵阳6年2考,遵义2020.10,毕节2019.19)
4.(2017·黔西南州25题12分)把(sinα)2记作sin2α,根据图1和图2完成下列各题.(1)sin2A1+cs2A1= ,sin2A2+cs2A2= ,sin2A3+cs2A3= ;
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cs2A= ; (3)如图2,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想;
(贵阳6年5考,遵义6年6考,毕节
6.(2020·铜仁22题10分)如图,一艘船由西向东航行,在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C,再向东继续航行60 km到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°方向上,已知在灯塔C的周围47 km内有暗礁,问:这艘船继续向东航行是否安全?
7. (2021·贵阳21题10分)随着科学技术的不断进步,无人机被广泛应用到实际生活中.小星利用无人机来测量广场B,C两点之间的距离,如图所示,
小星站在广场的B处遥控无人机,无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6 m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63°,他抬头仰视无人机时,仰角为α.若小星的身高BE=1.6 m,EA=50 m(点A,E,B,C在同一平面内).(1)求仰角α的正弦值;(2)求B,C两点之间的距离.(结果精确到1 m)(sin63°≈0.89,cs63°≈0.45,tan63°≈1.96,sin27°≈0.45,cs27°≈0.89,tan27°≈0.51)
(1)求仰角α的正弦值;
(2)求B,C两点之间的距离.(结果精确到1 m)(sin63°≈0.89,cs63°≈0.45,tan63°≈1.96,sin27°≈0.45,cs27°≈0.89,tan27°≈0.51)
8.(2022·贵阳22题10分)交通安全心系千万家,高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪,如图所示的是该段隧道的截面示意图.
测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7 m,测速仪C和E之间的距离CE=750 m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶,在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°,小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s(图中所有点都在同一平面内).
(1)求A,B两点之间的距离;(结果精确到1 m)
(2)若该隧道限速22 m/s,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速?通过计算说明理由.(参考数据:≈1.7,sin25°≈0.4,cs25°≈0.9,tan25°≈0.5,sin65°≈0.9,cs65°≈0.4,tan65°≈2.1)
小汽车从点A行驶到点B没有超速.理由:由题意得760÷38=20(m/s),∵20 m/s<22 m/s,∴小汽车从点A行驶到点B没有超速.
9.(2022·安顺21题10分)随着我国科学技术的不断发展,5G移动通信技术日趋完善.某市政府为了实现5G网络全覆盖,2021~2025年拟建设5G基站3 000个.如图,在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB,小明在坡脚C处
测得塔顶A的仰角为45°,然后他沿坡面CB行走了50米到达D处,D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°.(点A,B,C,D,E均在同一平面内,CE为地平线)
(1)求坡面CB的坡度;
如图,过点D作AB的垂线,交AB的延长线于点F,过点D作DM⊥CE,垂足为M,则MN=DF,DM=FN.由题意可知CD=50米, DM=30米.在Rt△CDM中,由勾股定理得CM2=CD2-DM2,∴CM=40米,∴斜坡CB的坡度=DM∶CM=3∶4.
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