2023-2024学年山东省青岛九中高一（下）期初数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛九中高一（下）期初数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={y|y=3x}，B={x|y=lg2(3x+2)}，则(∁RA)∩B=( )
A. (−23,+∞)B. (−∞,0]C. (−23,0)D. (−23,0]
2.若角α的终边经过点(− 3, 3)，则α的值可以为( )
A. 3π4B. 2π3C. 7π4D. 5π6
3.已知x>0，y>0，且3x+1y=1，则2x+y+xy的最小值为( )
A. 9B. 10C. 12D. 13
4.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.若α，β都是第一象限角，则“sinα>sinβ”是“tanα>tanβ”成立的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，x1，x2是f(x)的两个零点，若x2=4x1，则下列不为定值的量是( )
A. φB. ωC. ωx1D. ωx1ϕ
7.若定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，且f(−2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是( )
A. [−1,1]∪[4,+∞)B. [−2,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]
8.已知α，β满足αeα=e2，βlnβ−1=e3，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为
A. e4B. e3C. e2D. e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a2+b2=1，则( )
A. a+b≥2B. 12<2a−b<2
C. lg2a+lg2b≤−1D. a2−b>−1
10.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若ω=1，则(π3,0)是f(x)的图象的对称中心
B. 若f(x)≤f(π6)恒成立，则ω的最小值为2
C. 若f(x)在x∈[0,π2]上单调递增，则0<ω≤23
D. 若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则1112≤ω≤1712
11.已知函数f(x)=sin|x|+|csx|，以下结论正确的是( )
A. 它是偶函数
B. 它是周期为2π的周期函数
C. 它的值域为[−1, 2]
D. 它在(−π,2π)这个区间有且只有2个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个函数f(x)的解析式，满足：①f(x)是定义在R上的偶函数；②x≠0时，f(x)=−f(1x)，则f(x)= ______．
13.设函数f(x)=10x+x−6的零点为m，函数g(x)=lgx+x−6的零点为n，则m+n= ______．
14.设函数f(x)=x+1x，若方程f(|3x−2|)+2a(1|3x−2|+1)−3=0有3个不等的实根，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x|a+1(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若A∩B=B，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
(1)求(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+31.5×612× 3的值；
(2)已知2cs2α+3csαsinα−3sin2α=1，α∈(−32π,−π)，求2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9csα的值．
17.(本小题15分)
已知指数函数y=g(x)的图象过点(2,9)，f(x)=−g(x)+n3g(x)+m是定义域为R的奇函数．
(1)试确定函数y=g(x)的解析式；
(2)求实数m，n的值；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=1−2a−2asinx−2cs2x，当x∈[−π6,π2]时，f(x)的最小值为g(a)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)=12，求a的值及此时f(x)的最大值．
19.(本小题17分)
如图，某市建有贯穿东西和南北的两条垂直公路l1，l2，在它们交叉路口点O处的东北方向建有一个荷花池，荷花池的外围是一条环形公路，荷花池中的固定观景台P位于两条垂直公路的角平分线l上，l与环形公路的交点记作M.游客游览荷花池时，需沿公路OM先到达环形公路M处.为了分流游客，方便游客游览荷花池，计划从靠近C公路l1，l2环形公路上选A，B两处(A,B关于直线l对称)修建直达观景台P的玻璃栈道AP，BP.以l1，l2所在的直线为y，x轴建立平面直角坐标系xOy，靠近公路l1，l2的环形公路可用曲线C近似表示，曲线C符合函数f(x)=4x．
(1)若OP=5 2百米，点A到l1的垂直距离为1百米，求玻璃栈道AP+BP的总长度；
(2)若要使得玻璃栈道AP+BP的总长度最小为4 7百米，求观景台P的位置．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A={y|y=3x}={y|y>0}，B={x|y=lg2(3x+2)}={x|x>−23}，
故∁RA={y|y≤0}，
所以(∁RA)∩B=(−23,0]．
故选：D．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、交集的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由点(− 3, 3)位于第二象限可得，角α为第二象限角．
又tanα= 3− 3=−1，
则当π2<α<π时，有α=3π4．
所以，与α终边相同的角的集合为{β|β=3π4+2kπ,k∈Z}．
因为3π4=α满足，2π3=3π4−π12不满足，7π4=3π4+π不满足，5π6=3π4+π12不满足．
故选：A．
根据已知得出α为第二象限角，求出满足条件的一个α的值，即可得出答案．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为x>0，y>0，且3x+1y=1，两边同时乘以x，可得xy=x−3，
所以2x+y+xy=2x+y+x−3=3x+y−3=(3x+y)(3x+1y)−3=9+1+3yx+3xy−3≥7+2 3yx⋅3xy=13，
当且仅当3yx=3xy，即x=y=4时取等号，
所以2x+y+xy的最小值为13．
故选：D．
由题意可得xy=x−3，代入所求的代数式中，再由“1”的活用及基本不等式，可得所求的代数式的最小值．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，
由题意得30×0.75x<6，
即0.75x<0.2，
解得x>lg0.750.2，
因为−lg5ln3−2ln2≈5.3，
所以x>5.3，
即x=6．
故选：B．
设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，根据题意得30×0.75x<6，即0.75x<0.2，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：(1)充分性：
根据α、β都是第一象限角，可知sinα>0且sinβ>0，
若sinα>sinβ，则 1−cs2α> 1−cs2β，整理得csα结合csα、csβ都是正数，得1csα>1csβ>0，
而sinα>sinβ>0，同向不等式相乘，得sinαcsα>sinβcsβ，即tanα>tanβ成立．
(2)必要性：
根据α、β都是第一象限角，可知tanα>0且tanβ>0，
若tanα>tanβ，则1+tan2α>1+tan2β，即1+sin2αcs2α>1+sin2βcs2β，
即cs2α+sin2αcs2α>cs2β+sin2βcs2β，可得1cs2α>1cs2β，
所以cs2αsin2β，即sinα>sinβ成立．
综上所述，“sinα>sinβ”是“tanα>tanβ”成立的充要条件．
故选：C．
根据充分必要条件的定义，结合同角三角函数的基本关系，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查同角三角函数的关系及其应用、充要条件的判断等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=cs(ωx+φ)，ω>0的周期为2πω，
令f(x)=0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，
所以x=kπ+π2−φω，即x=2kπ+π−2φ2ω，k∈Z，
又ω>0,|φ|<π2，
所以0<φ<π2，x1=π−2φ2ω，x2=3π−2φ2ω，
又x2=4x1，所以3π−2φ2ω=4×π−2φ2ω，
所以φ=π6，
ωx1=π−2φ2ω⋅ω=π2−φ=π2−π6=π3，
ωx1ϕ=π3π6=2，
∴不为定值的量是ω．
故选：B．
求函数f(x)的周期，估计x1的范围，再求函数f(x)的零点，由此确定x1，x2，结合条件化简可得结论．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为f(x)在(0,+∞)内单调递减，得f(x)在(−∞,0)上也单调递减，
且f(0)=0，根据f(−2)=0，得f(2)=−f(−2)=0，
则f(x−1)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减，
且f(−1)=f(3)=0，
x∈(−∞,−1)时，f(x−1)>0，xf(x−1)<0，
x∈[−1,0]时，f(x−1)≤0，xf(x−1)≥0，
x∈(0,1)时，f(x−1)<0，xf(x−1)<0，
x∈[1,3]时，f(x−1)≥0，xf(x−1)≥0，
x∈(3,+∞)时，f(x−1)<0，xf(x−1)<0，
综上，x∈[−1,0]∪[1,3]．
故选：D．
根据奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，得f(x)在(−∞,0)上也单调递减，且f(0)=0，根据f(−2)=0，得f(2)=−f(−2)=0，再分类讨论x−1，利用函数的单调性可求出结果．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数性质解不等式，时基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数与方程、对数运算，考查数学运算能力，属于中档题．
先对函数进行变换，得到α和lnβ−1是方程x+lnx−2=0的根，由方程x+lnx−2=0的根唯一，得到α=lnβ−1，求解即可．
【解答】
解：∵实数α，β满足αeα=e2，β(lnβ−1)=e3，
∴α+lnα=2，lnβ+ln(lnβ−1)=3，
即α+lnα−2=0，lnβ−1+ln(lnβ−1)−2=0，
∴α和lnβ−1是方程x+lnx−2=0的根，
设f(x)=x+lnx−2，
∵f(1)=−1<0，f(2)=ln2>0，∴f(1)⋅f(2)<0，
又∵f(x)=x+lnx−2在(0,+∞)上单调递增，
∴方程x+lnx−2=0的根唯一，
所以α=lnβ−1，2−lnα=lnβ−1，整理得lnα+lnβ=3，
所以αβ=e3．
故选：B．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵a>0，b>0，且a2+b2=1，∴1=a2+b2≥(a+b)22，
∴a+b≤ 2，当且仅当a=b= 22取等号，故A不正确；
∵a>0，b>0，且a2+b2=1，
∴0则a2−b>−b>−1，故D正确；
∵a>0，b>0，且a2+b2=1，∴1=a2+b2≥2ab，即ab≤12，
当且仅当a=b= 22取等号，则lg2a+lg2b=lg2(ab)≤lg212=−1，故C正确．
故选：BCD．
对于AC利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的性质以及指数函数的单调性即可判断；对于D直接根据不等式的性质判断即可．
本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，若ω=1，则f(x)=sin(x+π6)，所以f(π3)=1，
所以x=π3是f(x)图象的对称轴，(π3,0)不是f(x)的图象的对称中心，故A错误；
对于B，若f(x)≤f(π6)恒成立，即f(x)≤sin(ωπ6+π6)恒成立，
则ωπ6+π6=π2+2kπ,k∈Z，解得：ω=2+12k，k∈Z，又因为ω>0，则ω的最小值为2，故B正确；
对于C，x∈[0,π2]时，ωx+π6∈[π6,πω2+π6]，
因为f(x)在x∈[0,π2]上单调递增，则π6<πω2+π6≤π2，解得0<ω≤23，故C正确；
对于D，x∈[0,2π]时，ωx+π6∈[π6,2πω+π6]，若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，
则2π≤2πω+π6<3π，解得1112≤ω<1712，故D错误．
故选：BC．
根据题意，求出f(π3)的值，判断出A项的正误；由f(x)≤sin(ωπ6+π6)恒成立，可知ωπ6+π6=π2+2kπ,k∈Z，由此判断出B项的正误；由x∈[0,π2]可得ωx+π6∈[π6,πω2+π6]，求解π6<πω2+π6≤π2，判断出C项的正误；由x∈[0,2π]可得ωx+π6∈[π6,2πω+π6]，求解2π≤2πω+π6<3π，判断出D项的正误．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)的单调性与最值等知识，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由于f(−x)=sin|−x|+|cs(−x)|=f(x)=sin|x|+|csx|，所以它是偶函数，故A正确；
由于f(−π4)= 2,f(7π4)=0，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即B错误；
现在来考察这个函数在x∈[0,2π]内的情况．
当x∈[0,π2]∪[32π,2π]时，f(x)=sin|x|+|csx|=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
当x∈[π2,32π]时，f(x)=sin|x|+|csx|=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为[−1, 2]，即选项C正确；
又由于这个函数是偶函数，它在[−π,π]内没有零点，而在[π,2π]有2个零点，故D正确．
故选：ACD．
根据函数奇偶性定义可知，f(−x)=f(x)，即A正确；由周期函数得定义可知，f(x+2π)与f(x)不一定相等，故B错误；将函数f(x)写成分段函数的形式并画出函数图像可得C正确；结合C以及偶函数的性质，可判断D正确．
本题主要考查了三角函数图象的变换及图象的应用，在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可．例如在判断C选项时，首先可讨论x∈[0,2π]时的函数解析式，画出图形；当x∈[2π,4π]时图像重复x∈[0,2π]的图像，而x∈[−2π,0]时，关于y轴作出对称图像即可．
12.【答案】0, x=0ln|x|,x≠0(答案不唯一)．
【解析】解：由题意可得：f(x)=0,x=0ln|x|,x≠0符合题意．
故答案为：0,x=0ln|x|,x≠0．
根据题意可知符合要求的函数不止一个，符合要求即可．
本题主要考查函数的解析式，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：令f(x)=10x+x−6=0得10x=6−x，则f(x)的零点m为y=10x与y=6−x图象的交点之横坐标，
同理函数g(x)=lgx+x−6的零点n为y=lgx与y=6−x的交点之横坐标，
又y=10x与y=lgx互为反函数，即它们的图象关于y=x对称，且y=6−x与y=x垂直，
所以y=10x和y=lgx与y=6−x的交点也关于y=x对称，
由y=xy=6−x解得交点为(3,3)，
所以m+n=6．
故答案为：6．
根据f(x)的零点即为y=10x与y=6−x的交点之横坐标，g(x)的零点即为y=lgx与y=6−x的交点之横坐标，且y=10x与y=lgx互为反函数，即图象关于y=x对称，且y=6−x与y=x垂直，所以y=10x和y=lgx与y=6−x的交点也关于y=x对称，据此求解．
本题考查函数零点与方程的根以及函数图象交点间的关系，属于中档题．
14.【答案】(−12,16]
【解析】解：令t=|3x−2|，则f(t)+2a(1t+1)−3=0，即t+1t+2a(1t+1)−3=0，
可得t2+(2a−3)t+2a+1=0，
作出函数y=|3x−2|的图象如下图所示：
因为方程f(|3x−2|)+2a(1|3x−2|+1)−3=0有3个不等的实根，
由图可知方程t2+(2a−3)t+2a+1=0必有两根t1，t2，
当t1=0，t2∈(0,2)时，可得a=−12，解得t1=0，t2=4，不合题意；
当t1∈[2,+∞)，t2∈(0,2)时，需满足Δ=(2a−3)2−4(2a+1)>02a+1>022+2(2a−3)+2a+1≤0，
解得−12所以实数a的取值范围是(−12,16]．
故答案为：(−12,16]．
利用换元法将方程转化为t2+(2a−3)t+2a+1=0必有两根，画出函数y=|3x−2|的图象由数形结合进行分类讨论即可求得实数a的取值范围．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意得，A={x|(x+1)(x−4)<0}={x|−1当a=2时，B={x|3所以A∪B={x|−1(2)若A∩B=B，则B⊆A，
所以当B=⌀时，a+1≥3a+1，解得a≤0；
当B≠⌀时，a>0,a+1≥−1,3a+1≤4,，解得0综上，a的取值范围是(−∞,1]．
【解析】(1)化简集合A，求出a=2时集合B，根据并集的定义计算A∪B．
(2)由A∩B=B得B⊆A，讨论B=⌀和B≠⌀时，求出a的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
16.【答案】解：(1)(lg2)2+lg2⋅lg50+lg25+31.5×612× 3
=lg2(lg2+lg50)+2lg5+313×2−13×316×213×312=lg2×lg100+2lg5+313+16+12=2(lg2+lg5)+3=2×lg10+3=5.
(2)因为2cs2α+3csαsinα−3sin2α=1，
所以cs2α+3csαsinα−3sin2α+cs2α−1=0，
所以cs2α+3csαsinα−4sin2α=0⇒(csα−sinα)(csα+4sinα)=0，
所以csα=sinα或csα=−4sinα，即tanα=1或tanα=−14，
又α∈(−32π,−π)，α为第二象限角，所以tanα<0，所以tanα=−14；
所以2sin(π−α)−3sin(π2+α)4sinα−9csα=2sinα−3csα4sinα−9csα=2tanα−34tanα−9=2×(−14)−34×(−14)−9=720．
【解析】(1)根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
(2)由已知条件可得tanα=−14，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
本题主要考查了对数及指数的运算性质，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1)，g(x)图象过点(2,9)，
所以a2=9，解得a=3，所以g(x)=3x；
(2)由(1)得f(x)=−3x+n3×3x+m，因为f(x)是R上奇函数，所以f(0)=−1+n3+m=0，所以n=1，
再由f(−1)=−f(1)可得−13+11+m=−−3+19+m，所以m=3，
当m=3，n=1时，f(x)=−3x+13×3x+3，
f(−x)=−3−x+13×3−x+3=−1+3x3+3x+1=−f(x)，符合f(x)是奇函数，
所以m=3，n=1；
(3)f(x)=−3x+13×3x+3=−13+23(3x+1)，
y=3x是增函数，所以f(x)是减函数，
因为f(x)是奇函数，且f(t2−2t)+f(t2−k)<0，
所以f(t2−2t)<−f(t2−k)=f(k−t2)，
所以t2−2t>k−t2恒成立，
即k<(2t2−2t)min，又2t2−2t=2(t−12)2−12≥−12，
所以k<−12，即k∈(−∞,−12).
【解析】(1)根据指数函数的定义即可得到；
(2)借助奇函数的定义计算出m、n即可；
(3)结合函数的单调性与奇偶性即可得到．
本题考查函数解析式的求法，函数的奇偶性与不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=1−2a−2asinx−2(1−sin2x)=2(sinx−a2)2−a22−2a−1，
因为x∈[−π6,π2]，所以−12≤sinx≤1，
若a2<−12，即a<−1，当sinx=−12时，f(x)取最小值g(a)=−a−12；
若−12≤a2≤1，即−1≤a≤2，当sinx=a2时，f(x)取最小值g(a)=−a22−2a−1；
若a2>1，即a>2，当sinx=1时，f(x)取最小值g(a)=1−4a，
所以g(a)=−a−12,a<−1−a22−2a−1,−1≤a≤21−4a,a>2．
(2)由a<−1−a−12=12，得a=−1(舍)，
由−1≤a≤2−a22−2a−1=12，得a=−1或a=−3(舍)，
由a>21−4a=12，得a=18(舍)，
则f(x)=2(sinx+12)2+12，当sinx=1时，f(x)max=5，
所以若g(a)=12，有a=−1，f(x)的最大值是5．
【解析】(1)分别讨论a的取值范围，求出最值．
(2)由−1≤a≤2−a22−2a−1=12，解得a=−1，求出最大值．
本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)在平面直角坐标系xOy中，设定点P(a,a)(a>2)，
因为OP=5 2，所以 a2+a2=5 2，解得a=5，即点P(5,5)，
因为点A到l1的垂直距离为1百米，所以点A(1,4)，
所以AP= (5−1)2+(5−4)2= 17，
又因为A，B关于直线l称，点P在直线l上，
所以AP=BP.即AP+BP=2 17，
所以玻璃栈道AP+BP的总长度是2 17百米；
(2)在平面直角坐标系xOy中，M(2,2)，设定P(a,a)(a>2)，
动点A(x,4x)(0点P在直线l上，所以AP=BP，故AP= (x−a)2+(4x−a)2，则AP2=x2+16x2−2a(x+4x)+2a2，
令x+4x=t，则AP2=t2−2at+2a2−8，
函数y=x+4x的导数y′=1−4x2=x2−4x2=(x−2)(x+2)x2，
当0所以y=x+4x在(0,2)上单调递减，所以t∈(4,+∞)，
函数h(t)=t2−2at+2a2−8，t∈(4,+∞)图象对称轴是t=a，
当a≤4时，h(t)在区间(4,+∞)上单调递增，无最小值；
当a>4时，h(t)在(4,a)上单调递减，在(a,+∞上单调递增，
即h(t)在t=a时有最小值h(a)=a2−8，
由题意a2−8=28，因为a>4，所以a=6．
所以若要使得玻璃栈道AP+BP总长度最小为4 7百米，观景平台P的坐标是(6,6)．
【解析】(1)定点P(a,a)(a>2)，利用OP=5 2，求出点P，由两点间距离公式求出AP，结合点关于直线的对称，得到AP=BP，从而得到答案；
(2)设定P(a,a)(a>2)，动点A(x,4x)(0本题考查了函数的实际应用问题，主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值问题，解题的关键是正确理解题意，建立合适的数学模型，属于中档题．