2023-2024学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（上）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（上）第三次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面的图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为( )
A. 3.5×1 0−6B. 3.5×1 06C. 3.5×1 0−5D. 35×1 0−5
3.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 9b3aB. a−bb−aC. a2−4a−2D. a2+4a+2
4.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x(x+1)=x2+xB. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2+4x+4=(x+2)2D. x+1=x(1+1x)
5.已知a+b=−3，a−b=1，则a2−b2的值是( )
A. 8B. 3C. −3D. 10
6.若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. xy+1B. x+yx+1C. xyx+yD. 2x3x−y
7.如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是( )
A. ∠2=2∠1
B. ∠2−∠1=90°
C. ∠1+∠2=180°
D. ∠1+∠2=90°
8.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角
B. 等角对等边
C. 垂线段最短
D. 等腰三角形“三线合一”
9.已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另两边长分别为( )
A. 6，8B. 7，7C. 6，8或7，7D. 以上都不对
10.若关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，则m的取值范围是( )
A. m<6B. m>6C. m<6且m≠0D. m>6且m≠8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，河边某一块关于“游泳危险，禁止下河”的警示牌为六边形，该六边形的内角和是______度.
12.分解因式：ax2−6ax+9a= ______．
13.若点A(a,−2)与点B(−3,b)关于x轴对称，则ab=______．
14.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______．
15.已知y2+my+9是完全平方式，则m= ______．
16.对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：a*b=1b−1a，例如：3*4=14−13=−112.若x*y=2，则2022xyx−y的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解分式方程：y−2y−3=2−13−y．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：|−3|+(3−π)0−(12)−2+ 94．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(2−2xx−2)÷x2−4x2−4x+4，其中x=4．
20.(本小题8分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为(−4,−1)，点B坐标为(−1,−1)，点C坐标为(−3,3)．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请写出点B关于x轴对称点的坐标为______；
(3)点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为______．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，连接BE．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接DC，试判断△BCD的形状，并说明理由．
22.(本小题9分)
期中考试过后，某班为了表扬优秀和进步学生，欲购买甲、乙两种奖品.如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元.请用方程(组)或不等式(组)解决下列问题：
(1)甲、乙两种奖品每件各多少元？
(2)现要购买甲、乙两种奖品共100件，总费用不超过1100元，那么甲种奖品最多购买多少件？
23.(本小题9分)
已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA=DB，DM⊥BP于点M
(1)若AC=6，DM=2，求△ACD的面积；
(2)求证：AC=BM+CM．
24.(本小题10分)
对于平面直角坐䏡系中的点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+bk,ka+b)(其中k为常数，且k>0)，则称点P′为点P的“k之立信点”.例如：P(1,4)的“2之立信点”为P′(1+42,2×1+4)，即P′(3,6)．
(1)点P(1,3)的“3之立信点”P′的坐标为______；
(2)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k之立信点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；
(3)在(2)的条件下，若关于x的分式方程3−2xx−3+2+mx3−x=k无解，求m的值．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)是x轴上一点，点B(0,b)是y轴上一点，且满足(a−b)2+(b−2)2=0，点M是x轴上一动点．
(1)求出A，B两点坐标；
(2)如图1，连接BM，以线段BM为直角边，在BM右侧作等腰直角三角形BMC，点M为直角顶点，当点M在线段OA上运动(不与点A，O重合)时，求∠OAC的度数；
(3)如图2，平面内有一点C满足OA=AC，连OC，将线段OC绕点O逆时针旋转70°得线段OD，即OC=OD，∠COD=70°，连AD.当线段AD的长度最大时，求∠DCA的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000035=3.5×10−6，
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A.原式=3ba，
所以A选项不符合题意；
B.原式=−1，
所以B选项不符合题意；
C.原式=a+2，
所以C选项不符合题意；
D.原式是最简分式．
故选：D．
根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断．
本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】C
【解析】解：A.x(x+1)=x2+x是整式的乘法，故A不是因式分解；
B.(a+b)(a−b)=a2−b2是整式的乘法，故B不是因式分解；
C.x2+4x+4=(x+2)2是因式分解，故C正确；
D.x+1=x(1+1x)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，右边1+1x不是整式，故D不是因式分解；
故选：C．
根据因式分解的意义进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，理解定义并灵活用定义是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵a+b=−3，a−b=1，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=(−3)×1=−3．
故选：C．
根据平方差公式解答即可．
本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，与原式的结果比较即可得答案．
【解答】
解：A．xy+1≠3x3y+1，不符合题意；
B.x+yx+1≠3x+3y3x+1，不符合题意；
C.xyx+y≠9xy3x+3y，不符合题意；
D.2x3x−y=6x9x−3y，符合题意；
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：如图：
由题意得：AC=BD=2，BC=DE=1，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠1+∠BED=90°，
在△ABC和△BED中，
AC=BD∠ACB=∠BDEBC=DE，
∴△ABC≌△BED(SAS)，
∴∠2=∠BED，
∴∠1+∠2=90°，
故选：D．
根据题意可得：AC=BD=2，BC=DE=1，∠ACB=∠BDE=90°，从而可得∠1+∠BED=90°，然后利用SAS证明△ABC≌△BED，从而可得∠2=∠BED，再利用等量代换可得∠1+∠2=90°，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，BE=CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：若腰长为6，则底边长为20−6−6=8，
此时另两边长分别为6，8；6+6>8可以构成三角形，满足题意；
若底边长为6，则腰长为12(20−6)=7，
此时另两边长分别为7，7；6+7>7可以构成三角形，满足题意；
综上所述，另两边长分别为6，8或7，7．
故选：C．
分两种情况讨论：若腰长为6；若底边长为6，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．
解：原方程化为整式方程得：2−x−m=2(x−2)，
解得：x=2−m3，
因为关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，
可得：2−m3>0，
解得：m<6，
因为x=2时原方程无解，
所以可得2−m3≠2，
解得：m≠0．
故m的取值范围是m<6且m≠0．
故选：C．
此题考查分式方程，关键是根据分式方程的解法进行分析．
11.【答案】720
【解析】解：(6−2)×180°=720°，
即该六边形的内角和是720度，
故答案为：720．
利用多边形的内角和公式即可求得答案．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
12.【答案】a(x−3)2
【解析】解：ax2−6ax+9a
=a(x2−6x+9)--(提取公因式)
=a(x−3)2.--(完全平方公式)
故答案为：a(x−3)2．
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】9
【解析】解：∵点A(a,−2)与点B(−3,b)关于x轴对称，
∴a=−3，b=2，
∴ab=(−3)2=9．
故答案为9．
利用关于x轴对称的点的坐标特征得到a=−3，b=2，然后根据乘方的意义计算．
本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征：点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y).点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)．
14.【答案】−1
【解析】解：由题意可得x2−1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为−1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
15.【答案】±6
【解析】解：∵y2+my+9是完全平方式，
∴y2+my+9=(y±3)2=y2±6y+9，
∴m=±6，
∴m=±6．
故答案为：±6．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】1011
【解析】【分析】
根据定义新运算可得1y−1x=2，从而可得x−y=2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，理解新定义的运算方法是解题的关键．
【解答】
解：∵x*y=2，
∴1y−1x=2，
∴x−y=2xy，
∴2022xyx−y=2022xy2xy=1011，
故答案为：1011．
17.【答案】解：去分母得：y−2=2y−6+1，
移项合并得：y=3，
经检验，y=3是增根，
所以分式方程无解．
【解析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：|−3|+(3−π)0−(12)−2+ 94
=3+1−4+32
=32．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(2x−4x−2−2xx−2)⋅(x−2)2(x+2)(x−2)=−4x−2⋅x−2x+2=−4x+2，
当x=4时，原式=−44+2=−23．
【解析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
20.【答案】(−1,1) (0,3)或(0,−5)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)B(−1,−1)关于x轴的对称点的坐标为(−1,1)．
故答案为：(−1,1)；
(3)设P(0,m)，由题意12×3×|m+1|=12×3×4，
∴m=3或−5，
∴P(0,3)或(0,−5)．
故答案为：(0,3)或(0,−5)．
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用轴对称变换的性质求解；
(3)设P(0,m)，构建方程求解．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
21.【答案】(1)证明：连接BE，如图1，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
(2)解：△BCD是等边三角形，理由如下：
连接CD，如图2，

∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
【解析】(1)连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论；
(2)由垂直平分线的性质可求得CD=BD，且∠ABC=60°，可证明△BCD为等边三角形．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，
依题意得：3x+2y=56x+4y=32，
解得：x=16y=4．
答：甲种奖品每件16元，乙种奖品每件4元；
(2)设购进甲种奖品m件，则购进乙种奖品(100−m)件，
依题意得：16m+4(100−m)≤1100，
解得：m≤5813，
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为58．
答：最多可以购买甲种奖品58件．
【解析】(1)设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，根据题意，列方程组求解即可；
(2)设购进甲种奖品m件，则购进乙种奖品(100−m)件，根据题意，列不等式求解即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系或不等式关系，正确列出方程组和不等式．
23.【答案】(1)解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，
∴DM=DN=2，
∴S△ADC=12⋅AC⋅DN=12×6×2=6．
(2)∵DM⊥CP，DN⊥CA，
∴∠DNC=∠DMC=90°，
又∵CD=CD，DM=DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN，
∴CN=CM，
∵AD=BD，DN=DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM，
∴AN=BM，
∴AC=AN+CN=BM+CM．
【解析】本题考查直角三角形全等的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)如图作DN⊥AC于N.根据角平分线的性质定理可得DM=DN=2，由此即可解决问题；
(2)由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN=CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN=BM，由此即可解决问题；
24.【答案】(2,6)
【解析】解：(1)当a=1，b=3，k=3时，
1+33=2,3×1+3=6，
∴点P(1,3)的“3之立信点”P′的坐标为(2,6)，
故答案为：(2,6)；
(2)∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a>0．
∴点P的坐标为(a,0)，
∵点P的“k之立信点”为P′点，
∴点P′的坐标为(a,ka)，
PP′⊥OP时，
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′，
∵a>0，k>0，
∴a=ka，
∴k=1．
故答案为：1；
(3)当k=1时，去分母整理得：(m+3)x=4，
∵原方程无解，
∴①m+3=0，即m=−3，
②x−3=0，即x=3，则3(m+3)=4，m=−53；
综上所述，m=−3或m=−53．
(1)根据点P′为点P的“k之立信点”的定义计算；
(2)根据x轴的正半轴上点的特征、点P′为点P的“k之立信点”的定义计算；
(3)根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
本题考查的是三角形的综合题，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点P′为点P的“k之立信点”的定义、分式方程的解法是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：
(a−b)2+(b−2)2=0，
∵(a−b)2≥0，(b−2)2≥0，
∴a=b=2，
∴A(2,0)，B(0,2)．
(2)如图1.1，当点M在线段OA上时，过点C作CH⊥x轴于点H，

∵∠BOM=∠BMC=∠MHC=90°，
∴∠BMO+∠CMH=90°，∠CMH+∠MCH=90°，
∴∠BMO=∠MCH，
在△BOM和△MHC中，
∠BOM=∠MHC∠BMO=∠MCHBM=MC，
∴△BOM≌△MHC(AAS)，
∴CH=OM，MH=OB=2，
∵OA=MH=2，
∴AH=CH，
∴∠CAH=45°，
∴∠OAC=135°．
如图1.2，当点M在y轴的左侧时，过点C作CJ⊥OA于点J，

∵∠BOM=∠BMC=∠MJC=90°，
∴∠BMO+∠CMH=90°，∠CMJ+∠MCJ=90°，
∴∠BMO=∠MCJ，
在△BOM和△MJC中，
∠BOM=∠MJC∠BMO=∠MCJBM=MC，
∴△BOM≌△MJC(AAS)，
∴CJ=OM，MJ=OB=2，
∵OA=MJ=2，
∴AJ=CJ，
∴∠OAC=45°，
综上所述，满足条件的∠OAC的值为135°或45°；
(3)如图2.1，作∠AOQ=70°，使得OQ=OA，连接AQ，CQ，

∵∠COD=∠AOQ=70°，
∴∠DOA=∠COQ，
∵OD=OC，OA=OQ，
∴△ODA≌△OCQ(SAS)，
∴AD=CQ，
∵CQ≥AQ+AC，AQ，AC为定值，
∴Q，A，C共线时，CQ的值最小，即AD的值最小，
如图2.2，

∵∠AOQ=70°，OA=OQ，
∴∠OAQ=∠Q=55°，
∵AC=AO，
∴∠AOC=∠ACO，
∵∠OAQ=∠AOC+∠ACO，
∴∠ACO=27.5°，
∵OD=OC，∠DOC=70°，
∴∠OCD=∠ODC=55°，
∴∠ACD=27.5°+55°=82.5°．
【解析】(1)利用非负数的性质，求出a，b的值，由此得到答案．
(2)分两种情况：当点M在线段OA上时，过点C作CH⊥x轴于点H，通过证明△BOM≌△MHC(AAS)，得到CH=OM，MH=OB=2，由此求出答案；当点M在y轴的左侧时，过点C作CJ⊥OA于点J，同理可得结果．
(3)作∠AOQ=70°，使得OQ=OA，连接AQ，CQ，通过证明△ODA≌△OCQ(SAS)，得到AD=CQ，CQ≥AQ+AC，AQ，AC为定值，Q，A，C共线时，CQ的值最小，即AD的值最小，由此得到答案．
本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，根据题意，作正确的辅助线，构造全等三角形，是解答本题的关键．