河南省新乡市封丘县2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题

这是一份河南省新乡市封丘县2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔直接答在试卷上．
2.答卷前请将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内．
1. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．
【详解】解：
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，
故选：．
2. 若为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则可能是（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化．依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当或或时，“□”中添上“”，
其运算的结果都不可能为有理数，
∴选项ABC都不符合题意；
当时，“□”中添上“”，
则，其运算的结果为有理数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，王林用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点在数轴上表示的数是2，则点在数轴上表示的数是（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，以及数轴上两点之间的距离，根据平行线分线段成比例定理建立等式并进行计算即可．
【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的刻度上，直尺的3刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行，
点在数轴上表示的数是2，
设点在数轴上表示的数为，
，即，
解得：，
即点在数轴上表示的数为5，
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根式的运算，根据，，直接求解即可得到答案；
详解】解：由题意可得，
，故A选项错误，不符合题意，
，故B选项错误，不符合题意，
，故C选项正确，符合题意，
，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
5. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再将化为，最后整体代入即可求解．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
即，
，
，
故选：A．
6. 若等腰三角形底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 9B. 12C. 9或12D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】先求出这个方程，再根据等腰三角形及三角形的构成即可求出周长.
【详解】解方程得x1=2,x2=5,
∵三角形为等腰三角形，∴腰为5，底为2,（腰为2，底为5舍去）
故周长为12，
故选B.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
7. 是线段上一点，若满足，则称点是线段的黄金分割点．如图，一片树叶的叶柄与叶脉的总长（）为，为的黄金分割点，求叶脉的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，以及由实际问题抽象出一元二次方程，根据黄金分割点的特征，代入数据即可解题．
【详解】解：由题可得：
，，，
（），
，
即，
故选：B．
8. 如图，矩形的对称轴分别交于点，交于点．已知矩形与矩形相似，若，则的值为（ ）
A. 4B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质．根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形的对称轴分别交于点，交于点，
∴，
∵矩形与矩形相似，
，即，
，
，
故选：B．
9. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”李华按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为27，则该方程的正数解为（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察图形，根据正方形的构造方法，正确列出一元二次方程是解题的关键．观察图2，可得出构造的大正方形的面积为，整理后解之，即可得出结论．
【详解】解：观察图2，可知：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为：，
依图2可列方程为，即，
解得正数解．
故选：A．
10. 如图，在矩形中，，过点作，垂足为，射线交于点，连接，若，则的长是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据题意证明，得到，作于点，证明，得到，，，再证明，得到，根据勾股定理，算出，推出、、，再次利用勾股定理，即可解题．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，
，射线交于点，
，
，
，
，，
作于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，，，
，
解得：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、平行线性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数即可求解．
【详解】解：由题意可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
12. 写出一个以2为一根且二次项系数是1的一元二次方程：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程根的计算．根据题意一元二次方程以2为一根且二次项系数是1，由此给出一元二次方程即可．
【详解】解：一元二次方程以2为一根且二次项系数是1，
一元二次方程的形式可以是的形式，其中取任意实数，
取时，一元二次方程为，满足以2为一根且二次项系数是1，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，交于点，，，，当______时，可与平行．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案；
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
14. 对任意实数，，定义一种运算：，若有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查新运算的应用及一元二次方程根与判别式的关系，根据新运算列方程，再根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
即：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，点为直角边上一动点，连接，作线段的垂直平分线交边于点，连接，已知，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．分两种讨论，当和时，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解．
【详解】解：设，
由线段垂直平分线的性质知，
∵，，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
当时，
∴，
∴，即，
解得；
综上，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算；；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）本题考查零指数幂和实数的混合运算，掌握相关运算法则，即可解题．
（2）本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程方法步骤，即可解题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
或，
解得，．
17. 已知：，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查平方差公式的运用，直接代入数值再利用平方差公式计算即可求解．
（2）本题考查了分式的加法运算，以及平方差公式和完全平方公式的运用，将化为，再代入数值计算即可求解．
【小问1详解】
解：将，代入原式得：
，
，
；
【小问2详解】
解：，
将，代入上式，
有上式，
．
18. 关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于0，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根大于0，找出关于k的一元一次不等式．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【小问1详解】
证明：∵在方程中，
，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴，，
∵方程有一根大于0，
∴，
解得：，
∴k的取值范围为．
19. 钉板作为益智教具，颇受大众青睐．如图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E．
（1）求证：；
（2）试求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）设钉点，证明，推出，证明，即可得到结论；
（2）证明，利用勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，设钉点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
在中，
，
，即，
．
20. 改造老旧小区、建设美丽瓠城，汝南县2020年投入资金500万元，2022年投入资金720万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元．2022年为提高老旧小区生活品质，每个小区改造费用增加15%，如果投入资金年增长率保持不变，求该县在2023年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率为；
（2）该县在2023年最多可以改造9个老旧小区．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用．
（1）设汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据等量关系列出一元二次方程并解方程即可求解．
（2）设该县在2023年可以改造y个老旧小区，根据不等关系列出一元一次不等式并解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设汝南县改造老旧小区投入资金年平均增长率为x，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：汝南县改造老旧小区投入资金的年平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该县在2023年可以改造y个老旧小区．
依题意，得，
解得：，
又∵y为整数，
∴y的最大值为9，
答：该县在2023年最多可以改造9个老旧小区．
21. 关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值．
小明同学的解题过程如下；
（1）已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）没有验证是否符合题意
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根，
（2）将代入验证，即可求解，
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．
【小问1详解】
解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根，
故答案为：没有验证是否符合题意，
【小问2详解】
解：，，
又已知，
，
整理得：，
解得：，，
当时，代入，得：，，
不符合题意，舍去，
当时，代入，得：，解得：，，
符合题意，
所以的值为．
22. 延时课上，王老师带领部分同学在暗室中做了激光笔的镜面反射实验．激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，落到墙面的点处．已知点到地面的高度，点到地面的高度，光源点到木条的水平距离，墙面与木条的水平距离为．（图中点在同一水平面上）．
（1）求的长；
（2）求光源点到地面的高度．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与性质，根据，即可得到，即可得到，从而得到即可得到答案；
（2）本题考查相似三角形的判定与性质，根据光的反射得到，结合，即可得到即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵激光笔的光源点发出的入射光线照到镜面点，反射光线经过木条顶端点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
23. 书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的的纸张长与宽的比值都相等．
如A系列的制定基础首先是求取一张长宽比为．且面积为1平方米的纸张，因此这张纸的宽长分别为841毫米和1189毫米（长宽比为定值），并且编号为，若将纸张的长边对切为二，则得到两张的纸张，其宽长分别为594毫米和841毫米，依此方式继续将纸张对朷，则可以依序得到等等纸张尺寸．
（1）一长方形纸张沿长边对折后得到的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，判断该纸张是否属于系列，并说明理由；
（2）如图1所示的长方形的长与宽之比地满足以上条件，其中宽．点是上一点，将沿折叠得到，当垂直时，求的长；
（3）在（2）的前提下，继续折叠操作使得点落在矩形的边上，且知与的交点为，请在备用图中画出折叠后的图形，并直接写出线段的长度．
【答案】（1）属于系列，理由见解析
（2）
（3）图形见解析，
【解析】
【分析】（1）设长方形的长与宽分别为，．根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可．
（2）如图1中，延长、交于点，证明，即可解决问题；
（3）根据题意，先证明四边形是正方形，再证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设长方形的长与宽分别为，．
由题意：，
，
；
【小问2详解】
解：①如图1中，延长、交于点，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，点落在矩形的边上，与的交点为，
则，，
四边形正方形，
，
四边形是矩形，，，，，，
，
，即，
，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题．解：，，
又已知，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或4．