2023-2024学年浙江省温州市乐清市英华学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省温州市乐清市英华学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. a是实数，则|a|≥0B. 任意一个三角形都有外接圆
C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D. 一匹马奔跑的速度是每秒100米
2.将抛物线C1：y=(x−2)2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为( )
A. y=(x−5)2+2B. y=(x−5)2−2C. y=(x+1)2+2D. y=(x+1)2−2
3.已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为( )
A. 15B. 30C. 30D. 15π
4.如图，AD/​/BE/​/CF，点B，E分别在AC，DF上，DE=2，EF=AB=3，则BC长为( )
A. 92
B. 2
C. 72
D. 4
5.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为( )
A. 47B. 37C. 27D. 17
6.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( )
A. 2：3：5B. 4：9：25C. 4：10：25D. 2：5：25
7.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE/​/AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为( )
A. 13
B. 14
C. 19
D. 116
8.已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )
A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1
C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−2
9.如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC=20°，则∠ACD的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 45°
10.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H.若AE=2BE，则CGBH的值为( )
A. 32
B. 2
C. 3 107
D. 3 55
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为______．
12.若函数y=x2−4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．
13.已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段长等于______．
14.已知在△ABC中，∠B=36°，AB=AC，D是BC上一点，满足AD=CD，则CDBD=______．
15.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，D是BC的中点，且∠AOD=166°，AE，CF分别是BC，AB边上的高，则∠BCF的大小=______(度)．
16.如图，在▱ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG= ______，点G到AB的距离为______．
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
(1)第一次取出的杯子是一等品的概率．
(2)用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
18.(本小题10分)
如图，已知△ABO中A(−1,3)，B(−4,0)．
(1)画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
(2)求第(1)问中线段AO旋转时扫过的面积．
19.(本小题10分)
一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远(结果保留根号)？
20.(本小题10分)
如图，A，B是⊙O上两点，∠AOB=120°，C为弧AB上一点，
(1)求∠ACB的度数；
(2)若C是弧AB的中点，求证：四边形OACB是菱形．
21.(本小题10分)
设抛物线过点(0,6)，且顶点为(52,−14)，求抛物线的解析式．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上(不与点A，B重合)，连接CE交AD于点F，∠CFD=∠B．
(1)求证：△CFD∽△CBE．
(2)若BE=6，BD=8，DC=2，求DF的长．
23.(本小题10分)
大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为20元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=−2x+100
(1)如果小韩想要每周获得400元的利润，那么销售单价应定为多少元？
(2)设小韩每周获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润是多少？
(3)若该玩具熊的销售单价不得高于34元，如果小韩想要每周获得的利润不低于400元，那么他的销售单价应定为多少？
24.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+4x与x轴交于点A，顶点为B.点C在y轴的负半轴，OC=2 2.点P是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧．
(1)写出点A，B的坐标：A(______)，B(______)；
(2)若点P在第四象限，记四边形OPAB的面积为S，设点P的横坐标为m．
①求S关于m的函数表达式．
②在①的条件下，连结PC，满足S△POA=2S△POC，求四边形OPAB的面积．
(3)设PO，PC分别与对称轴交于点D，E，且DC平分∠ODE，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件；
B、任意一个三角形都有外接圆，是随机事件；
C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件；
D、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】D
【解析】解：将抛物线C1：y=(x−2)2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为：y=(x−2+3)2−2，即y=(x+1)2−2．
故选：D．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设该圆弧的半径等于rcm，则
10π=60πr180，
解得r=30．
故选：B．
根据弧长公式l=nπr180进行解答．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵AD/​/BE/​/CF，
∴ABBC=DEEF，
∵DE=2，EF=AB=3，
∴3BC=23，
∴BC=92，
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=27．
故选：C．
根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC/​/AB，
∵DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC/​/AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEFS△ABF=(DEAB)2=425，EFAF=DEAB=25，
∴S△DEFS△ADF=EFAF=25=410(等高的三角形的面积之比等于对应边之比)，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选C．
根据平行四边形性质得出DC=AB，DC/​/AB，求出DE：AB=2：5，推出△DEF∽△BAF，求出S△DEFS△ABF=(DEAB)2=425，EFAF=DEAB=25，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出S△DEFS△ADF=EFAF=25=410，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7.【答案】D
【解析】 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴BE：EC=1：3；
∴BE：BC=1：4；
∵DE/​/AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴DEAC=BEBC=14，
∴S△DOES△AOC=(DEAC)2=116，
故选D．
证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到DEAC=BEBC=14，借助相似三角形的性质即可解决问题．
该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵y=x2−4x+2=(x−2)2−2，
∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，有最小值−2，
当x=−1时，有最大值为y=9−2=7．
故选：D．
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=120°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°−∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理的应用，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N.设BE=AN=CM=DF=a，则AE=BM=CF=DN=2a，
∴EN=EM=MF=FN=a，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFM=∠TFG=45°，∠NFE=∠DFG=45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF=∠TFG=∠DFG=∠DGF=45°，
∴TG=FT=DF=DG=a，
∴CT=3a，CG= (3a)2+a2= 10a，
∵MH//TG，
∴△CMH∽△CTG，
∴CM:CT=MH:TG=1:3，
∴MH=13a，
∴BH=2a+13a=73a，
∴CGBH= 10a73a=3 107，
故选：C．
如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N.设BE=AN=CM=DF=a，则AE=BM=CF=DN=2a，想办法求出BH，CG，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3
【解析】解：设扇形的半径为R，
∵圆心角为60°的扇形的弧长为π，
∴60πR180=π，
解得：R=3，
∴扇形的半径为3，
故答案为：3．
设扇形的半径为R，根据弧长公式和已知条件得出60πR180=π，再求出答案即可．
本题考查了弧长的计算，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的弧长为nπr180．
12.【答案】3
【解析】解：∵二次函数y=x2−4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(a+1)=0，
解得：a=3．
故答案为：3．
直接利用抛物线与x轴只有一个交点得出b2−4ac=0，进而解方程得出答案．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，记住Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
13.【答案】6
【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以c2=ab，即c2=36，解得c=6.c=−6(不合题意，舍去)
故答案为：6．
根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．
14.【答案】 5−12
【解析】解：∵∠B=36°，AB=AC，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°−2×36°=108°，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C=36°，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=72°，△ABC∽△DCA，
∴∠BAD=108°−36°=72°，CDAB=ACBC，
∴AB=BD，
∴CDBD=BDBC，
∴D是线段BC的黄金分割点，
∴CDBD=BDBC= 5−12，
故答案为： 5−12．
证AB=BD，ABC∽△DCA，得CDAB=ACBC，则CDBD=BDBC，得D是线段BC的黄金分割点，即可得出结论．
本题考查了黄金分割、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．
15.【答案】23
【解析】解：连接BO，CO，如图所示：
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，D是BC的中点，
∴∠BOD=12∠BOC=∠BAC=60°，OD⊥BC，
∵∠AOD=166°，
∴∠AOB=∠AOD−∠BOD=106°，∠BAO=12(180°−∠AOB)=37°，
∵AE，CF分别是BC，AB边上的高，
∴AE⊥BC，CF⊥AB，
∵OD⊥BC，
∴AE/​/OD，
∴∠OAE=180°−∠AOD=14°，
∴∠BAE=∠BAO−∠OAE=37°−14°=23°，
∵∠BCF+∠B=∠BAE+∠B=90°，
∴∠BCF=∠BAE=23°；
故答案为：23．
连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOD=12∠BOC=∠BAC=60°，求得∠AOB=∠AOD−∠BOD=106°，根据吹径定理得到OD⊥BC，求得AE/​/OD，根据平行线的性质得到∠OAE=180°−∠AOD=14°，求出∠BAE=23°，即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】2 3 158
【解析】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在▱ABCD中，BC=AD=3，BC/​/AD，
∴∠D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB/​/CD，
∴∠BAG=∠AED，
在△ABG和△EAD中，
∠AGB=∠D∠BAG=∠AEDBG=AD，
∴△ABG≌△EAD(AAS)，
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，根据勾股定理，得AG2−AF2=BG2−BF2，即22−AF2=32−(4−AF)2，
解得AF=118，
∴GF2=AG2−AF2=4−12164=13564，
∴GF=3 158，
故答案为2，3 158．
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，
∴第一次取出的杯子是一等品的概率是23．
(2)一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，
根据题意画图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况数；
(2)∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，
∴两次取出都是一等品的概率是49．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次取出都是一等品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1O即为所求；
(2)线段AO旋转时扫过的面积为：90×π×( 10)2360=52π．
【解析】(1)依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形；
(2)利用扇形面积计算公式，即可得到线段AO旋转时扫过的面积．
本题主要考查了利用旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19.【答案】解：由图可知抛物线的顶点坐标为(4,3)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+3，
把(0,1.5)代入得，1.5=a(0−4)2+3，
解得：a=−332，
∴铅球所经过路线的函数表达式为y=−332(x−4)2+3；
令y=0得，0=−332(x−4)2+3，
解得：x1=4−4 2(舍)，x2=4+4 2，
∴铅球的落地点离运动员有(4+4 2)米远．
【解析】设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+3，用待定系数法求解即可；令y=0得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法与二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，如图1所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠ADB=12∠AOB=60°，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ACB=180°−∠ADB=120°；
(2)证明：连接OC，如图2所示：
∵C是弧AB的中点，∠AOB=l20°
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．
【解析】(1)在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，先由圆周角定理得∠ADB=60°，再由圆内接四边形的性质即可得出答案；
(2)证△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC=OA=OB=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
21.【答案】解：∵抛物线的顶点为(52,−14)，
∴抛物线的解析式可设为y=a(x−52)2−14，
把(0,6)代入得6=a⋅(0−52)2−14，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−52)2−14．
故答案为：y=(x−52)2−14．
【解析】设顶点式y=a(x−52)2−14，然后把(0,6)代入求出a的值即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22.【答案】(1)证明：∵∠CFD=∠B，∠DCF=∠ECB，
∴△CFD∽△CBE；
(2)解：∵BD=8，DC=2，
∴BC=10，
∵BE=6，AD⊥BC，
∴CE= 102−62=8，
由(1)得△CFD∽△CBE，
∴CDCE=DFBE，
∴28=DF6，
∴DF=32．
【解析】(1)根据两角相等两个三角形相似证明即可；
(2)利用勾股定理先求解CE，再由相似三角形的性质求解即可．
本题考查的是四边形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意可得：(x−20)(−2x+100)=400，
解得：x=30或x=40，
答：销售单价应定为30元或40元；
(2)w=(x−20)(−2x+100)=−2x2+140x−2000=−2(x−35)2+450，
∴当x=35时，w取得最大值，最大值为450元，
答：当售价为35元/台时，最大利润为450元；
(3)根据题意有：(x−20)(−2x+100)≥400，
解得：30≤x≤40，
又x≤34，
∴30≤x≤34，
答：他的销售单价应定为30元至34元之间．
【解析】(1)根据“总利润=单件利润×销售量”列出方程，解方程可得；
(2)根据以上关系列出函数解析式，配方成顶点式可得答案；
(3)根据每周获得的利润不低于400元，即w≥400列出不等式求解可得．
本题主要考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系列出方程或函数解析式是解题的关键．
24.【答案】4，0 2，4
【解析】解：(1)y=−x2+4x…①，
令y=0，则x=0或4，故点A(4,0)，
函数的对称轴为：x=2，则点B(2,4)，
故答案为：4，0，2，4；
(2)①S=12×OA(yB−yP)=12×4×(4+m2−4m)=2m2−8m+8；
②S△POA=12×OA×(−yP)=2S△POC=OC×xP，
即：yP=− 2xP，
则−m2+4m=− 2m，
解得：m=0或4+ 2(舍去0)，
故m=4+ 2，
则S=2m2−8m+8=12+8 2；
(3)方法一：
过点C作CH⊥BE于点H，过点C作CG⊥OP于点G，
∵DC平分∠ODE，则CG=CH=2，而OC=2 2，
故三角形CGO是等腰直角三角形，
所以两种情况，直线OP是一三象限角平分线或者是二四象限角平分线，
直线OP的表达式为：y=±x…②，
联立①②并解得：x=5或3，
故点P的坐标为：(5,−5)或(3,3)．
方法二：
∵DC平分∠ODE，则CG=CH=2，
设点P的坐标为：(m,−m2+4m)，
则直线OP的表达式为：y=(4−m)x，
则直线CG的表达式为：y=1m−4x−2 2，
联立OP、CG的函数表达式并解得：点G[2 2(m−4)(m−4)2+1,−2 2(m−4)2(m−4)2+1]，
则CG2=[2 2(m−4)(m−4)2+1]2+[−2 2(m−4)2(m−4)2+1+2 2]2=8(m−4)2+1=CH2=4，
解得：m=5或3，
故点P的坐标为：(5,−5)或(3,3)．
(1)y=−x2+4x，令y=0，则x=0或4，故点A(4,0)，函数的对称轴为：x=2，则点B(2,4)；
(2)①S=12×OA(yB−yP)=12×4×(4+m2−4m)=2m2−8m+8；
②S△POA=12×OA×(−yP)=2S△POC=OC×xP，即：yP=− 2xP，即可求解；
(3)直线OP的表达式为：y=(4−m)x，直线CG的表达式为：y=1m−4x−2 2，联立OP、CG的函数表达式并解得：点G[2 2(m−4)(m−4)2+1,−2 2(m−4)2(m−4)2+1]，则CG2=[2 2(m−4)(m−4)2+1]2+[−2 2(m−4)2(m−4)2+1+2 2]2=8(m−4)2+1=CH2=4，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，其中(3)，关键利用角平分线的性质确定CG=CH，进而求解．