江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 若复数，则( )
A. B. 1C. D. 2
3. 从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有( )
A. 240种B. 125种C. 120种D. 60种
4. 若一组数据1，1，，4，5，5，6，7的25百分位数是2，则( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则( )
A. B.
C. D.
6. 若，则( )
A. B. C. D.
7. 已知圆台上、下底面半径分别为和，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为，则截面半径为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知正方体，则( )
A. 平面平面B. 平面
C. 与所成角为D. 与平面所成角为
11. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则( )
A. B.
C. D.
12. 某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占75%，乙地块产出苹果中一级果个数占60%，丙地块产出苹果中一级果个数占80%．已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是( )
A. 任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2
B. 任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75
C. 任取一个苹果是一级果的概率为0.69
D. 如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如果随机变量，且，则________．
14. 已知向量，，若，则实数________．
15. 若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则______.
16. 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：________，________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 有8个相同小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B．
(1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由；
(2)求．
18. 如图，在正三棱柱中，D为的中点．

(1)求证：；
(2)若，，求点B到平面的距离．
19. 已知函数，．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若函数的最小值为-4，求m的值．
20. “使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”．一机构为了解成年人对这种说法的态度(态度分为同意和不同意)，在某市随机调查了200位成年人，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该市成年人中，随机抽取3人了解其对该说法态度，记抽取的3人中持同意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，
21. 如图，在三棱锥中，，D是AC的中点，E是AB上一点，平面PDE.
(1)证明：平面PBC；
(2)若，，求二面角的正弦值．
22. 已知函数，．
(1)当时，求函数极值；
(2)当时，，求的取值范围．
2023年南通市高二学年度质量监测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合
【详解】因为，，
所以，.
故选：C.
2. 若复数，则( )
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算求出复数，然后根据复数模长公式即可求解.
【详解】解：因为复数，
所以，
所以，
故选：B.
3. 从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有( )
A. 240种B. 125种C. 120种D. 60种
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解.
【详解】由题意可知,
故选：D
4. 若一组数据1，1，，4，5，5，6，7的25百分位数是2，则( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解即可．
【详解】这组数据为：1，1，，4，5，5，6，7
因为，所以这组数据的25%分位数为从小到大的顺序的第2个数和第3个数的平均数，
因此，这组数据的25%分位数为，所以．
故选：C．
5. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
因为为的中点，则，
所以，，
又因为，且、、不共面，则，，
故，，
故选：A.
6. 若，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出和，然后与比较大小判断即可.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：D.
7. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为，则截面半径为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，设截面圆的圆心为，设圆、圆、圆的半径分别为、、，设圆台的体积为，利用两相似圆锥的体积比等于这两圆锥的底面半径比的立方可求得截面圆的半径.
【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，
设截面圆的圆心为，设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，，
设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、，
因为，则，所以，，
设圆台的体积为，即，所以，，
由题意可知，圆台的体积为，所以，，
所以，，又因为，则，因此，.
故选：A.
8. 已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的范围，又即可将问题转化为， 共有四个零点，结合函数的图象即可求解.
【详解】当时，则，此时，则或，
当时，则，此时，则，
故问题转为， 共有四个零点，
画出函数图象如下可知：则，
故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项.
详解】令.
对于A选项，，A错；
对于B选项，的展开式通项为，
令，可得，则，B对；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，
所以，，D错.
故选：BC.
10. 已知正方体，则( )
A. 平面平面B. 平面
C. 与所成角为D. 与平面所成角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面，平面，由面面平行的判定可证得A正确；由线面垂直性质可分别证得，，由线面垂直的判定可证得B正确；由平行关系可知所求角为，由长度关系可知C正确；由线面角定义可知所求角为，由长度关系可知D错误.
【详解】对于A，，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
同理可得：平面；

，平面，平面平面，A正确；
对于B，四边形为正方形，；
平面，平面，；
，平面，平面，
又平面，；
同理可得：；

，平面，平面，B正确；
对于C，连接，

，，四边形为平行四边形，，
(或其补角)即为异面直线与所成角，
，为等边三角形，，
与所成角为，C正确；
对于D，平面，与平面所成角为，

设正方体的棱长为，则，
，，
即与平面所成角不是，D错误.
故选：ABC.
11. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可得函数是周期为4的周期函数，进而结合奇函数的性质可判断ABC选项；利用奇偶性和求得当时，，当时，，进而可得函数在一个周期内，，进而判断D.
【详解】函数是定义在上的奇函数，
由，得，
所以函数是周期为4的周期函数，
所以，故A错误；
由，故B正确；
因为，，
所以，故C正确；
当时，，
所以当时，，所以，此时，
所以当时，.
当时，，所以，此时，
综上所述，函数在一个周期内，即时，，
而，所以，故D正确.
故选：BCD.
12. 某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占75%，乙地块产出苹果中一级果个数占60%，丙地块产出苹果中一级果个数占80%．已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是( )
A. 任取一个苹果是甲地块产出的概率为0.2
B. 任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为0.75
C. 任取一个苹果是一级果的概率为0.69
D. 如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设出甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为：，对于选项A，B，C，由概率公式分别计算即可，对于选项D，在选项B，C的基础上，由条件概率公式计算即可.
【详解】已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为2：5：3，可设甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为：，现将三个地块产出的苹果混放一堆，
对于A，则任取一个苹果是甲地块产出的概率为，故A正确；
对于B，由于甲地块产出苹果中一级果个数占75%，
所以甲地块产出苹果中一级果个数为，
则任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为，故B错误；
对于C，由于甲地块产出苹果中一级果个数，
乙地块产出苹果中一级果个数为，
丙地块产出苹果中一级果个数为，
所以三块地总共产出一级果个数为：，
所以任取一个苹果是一级果的概率为，故C正确；
对于D，由条件概率可知，如果取到的一个苹果是一级果，
则其是由甲地块产出的概率为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 如果随机变量，且，则________．
【答案】0.8##
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为该正态分布曲线关于对称，
所以，
故答案为：.
14. 已知向量，，若，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.
【详解】，又，，解得：.
故答案为：.
15. 若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设公切线与相切于，与相切于，根据公切线斜率为以及点在函数图像上列出方程求解.
【详解】因为，，
则，，
设公切线与相切于，与相切于，
则，，
解得，，所以，，
所以切线方程为，即，
又在切线上，所以，所以.
故答案为：
16. 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：________，________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设出切点，利用切点求解切线方程，联立方程即可求解切点处的值，代入即可求解切线方程
【详解】，，
设直线与曲线和相切于点，则所以切线方程分别为，因此则，又，将代入可得或，解得或，将其代入中，因此当时，切线方程为，当时，切线方程为，
故答案为：,
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B．
(1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由；
(2)求．
【答案】(1)是相互独立事件；理由见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)由相互独立事件的定义判断即可；
(2)由概率的性质求解即可.
【小问1详解】
解法一：，，．
若A发生，则B发生的概率为；
若A不发生，则B发生的概率为；
可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
因此，A，B为相互独立事件．
解法二：，，，．
所以，，，
即．
因此，A，B为相互独立事件．
【小问2详解】
解法一：由概率性质得
．
解法二：，，，．
所以．
18. 如图，在正三棱柱中，D为的中点．

(1)求证：；
(2)若，，求点B到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明平面，即可得到线线垂直，
(2)利用等体积法即可求解.
【小问1详解】
在正三棱柱中，
平面，
因为平面，所以；
在正三角形中，，D中点，
所以；
又因，平面，
所以平面；
因为平面，
所以．
【小问2详解】
连接，交于点O，
在正三棱柱中，侧面为平行四边形，所以O为的中点，

所以B到平面的距离等于到平面的距离；
设到平面的距离为，
因为，，所以正三角形的边长为，
所以，的面积为，
所以三棱锥的体积．
又，
在中，，，
所以，
所以，
从而，即．
所以点B到平面的距离为．
19. 已知函数，．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若函数的最小值为-4，求m的值．
【答案】(1)
(2)-3
【解析】
【分析】(1)因式分解得到，结合，得到，求出解集；
(2)变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值.
【小问1详解】
时，由得，
，，
因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为．
【小问2详解】
因为，
令，因为，
所以，(当且仅当时取得等号)
则，，
①当，即时，在上单调递增，
当，即时，，
所以，解得，符合题意；
②当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
当，，
所以，解得，不合题意，舍去．
综上，的值为-3．
20. “使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”．一机构为了解成年人对这种说法的态度(态度分为同意和不同意)，在某市随机调查了200位成年人，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该市成年人中，随机抽取3人了解其对该说法的态度，记抽取的3人中持同意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，
【答案】(1)有99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关
(2)分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】(1)由卡方的计算，与临界值比较即可作出判断，
(2)由二项分布的概率公式即可求解分布列，由期望的计算公式即可求解期望.
【小问1详解】
提出假设：成年人对该问题的态度与性别无关．
根据列联表中的数据可以求得
．
因为当成立时，的概率约为0.01，
这里，
所以我们有99%的把握认为，对该问题的态度与性别有关．
【小问2详解】
从该市成年人中随机抽取1人持同意态度的概率为，
由题意，，
，
，
，
，
因此，随机变量的数学期望为
解法一：．
解法二：．
21. 如图，在三棱锥中，，D是AC的中点，E是AB上一点，平面PDE.
(1)证明：平面PBC；
(2)若，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)由平面PDE，得到，再由，得到，然后利用线面平行的判定定理证明；
(2)取DE的中点O，连结PO，过点O作交BC于点F，易证，，再以为正交基底建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面PBE的一个法向量，再由求解.
【小问1详解】
证明：因为平面PDE，平面PDE，
所以，
因为，且直线平面ABC，
所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
【小问2详解】
取DE的中点O，连结PO，过点O作交BC于点F，
因为，所以，
因为平面PDE，平面PDE，
所以，因为平面ABC，
所以平面，所以．
如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系，
因为D是AC的中点，，
所以，，，，
因为，所以，即，
所以，，，；
设平面的一个法向量，
则即
令，得，，
所以平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
则即
令，得，，
所以平面PBE的一个法向量，
所以
设二面角为，，
所以，
所以二面角的正弦值为．
22. 已知函数，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)极小值
(2)
【解析】
【分析】(1)当时，求得，利用导数分析函数的单调性与极值点，即可求得函数的极小值；
(2)当时，等价于当时，，令，可得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证在上能否恒成立，由此可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：的定义域为，当时，，
，
令，解得，
所以的极小值.
【小问2详解】
解：当时，等价于当时，，
令，则在上恒成立，
所以，
令，所以，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
①当，即时，，
所以，即在上单调递增，
所以，所以当时，；
②当，即时，，
又，
因为，所以，所以，
因为，且的图象在上连续不间断，
所以存在，使得，
因为当时，，即，所以在上单调递减，
所以，这与在上恒成立矛盾，
所以不合题意，舍去.
综上所述，的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，本题注意到，问题转化为在上恒成立，将问题转化为函数在上单调性来处理.男性
女性
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
0.025
0.010
0.005
5.024
6635
7.879
男性
女性
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879
0
1
2
3
减
极小值
增