【新结构】2023-2024学年福建省部分学校教学联盟高一下学期开学质量监测数学试题（含解析）

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这是一份【新结构】2023-2024学年福建省部分学校教学联盟高一下学期开学质量监测数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={x∣−1≤x<5},N={x∈N||x|≤2}，则M⋂N=( )
A. x∣−1≤x≤2B. {x∣−1≤x<5}
C. −1,0,1,2D. 0,1,2
2.cs300∘=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
3.已知a>b>0>c，则下列结论正确的是
( )
A. a< bB. ac>bcC. ca−c4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的
( )
A. 必要条件B. 充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知命题p:∃x0∈R,x 02+2x0−a≤0.若p为假命题，则实数a的取值范围是
( )
A. −1,+∞B. −∞,−1C. −1,+∞D. −∞,−1
6.函数fx=lg2x2x−2−x的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“落后”的≈1481倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)( )
A. 15天B. 11天C. 7天D. 3天
8.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景(影)台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长(1尺=10寸).用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”.记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B.同一日内，甲地日影长是乙地日影长的56，记甲地中直线AB与地面所成的角为θ，且sinθ=45.则甲、乙两地之间的距离约为
( )
A. 10千里B. 12千里C. 14千里D. 16千里
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数fx=csωx+π6的部分图象如图，则
( )
A. x=5π12是函数fx的一条对称轴B. x=−π12是函数fx的一条对称轴
C. fx=cs12x+π6D. fx=cs2x+π6
10.已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+g2−x=5，gx−fx−4=7.若x=2是gx的对称轴，且g2=4，则下列结论正确的是
( )
A. fx是奇函数B. 3,6是gx的对称中心
C. 2是fx的周期D. k=122gk=130
11.波恩哈德·黎曼(～)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为0,1，其解析式为：L(x)=1q,x=pq(p,q∈Z∗,p,q互质)0,x=0或1或(0,1)内的无理数，下列关于黎曼函数的说法正确的是
( )
A. Lx=L1−x
B. LaLb≤Lab
C. La+b≥La+Lb
D. 关于x的不等式Lx>15x+15的解集为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，M=1,3,6，P=3,4,5，指出Venn图中阴影部分表示的集合是．
.
13.已知sinα=450<α<π2，则tan2α= ．
14.已知函数fx=x+ax−2a+x+4aa<0，若fsin0+fsinπ6+fsinπ2=0，则关于x的不等式−fx+2a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=3x−a3x+1+3的图象经过点1,16．
(1)求a的值，判断fx的单调性并说明理由；
(2)若存在x∈−2,−1，不等式fx2+mx+fx2+4>0成立，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买x台“机器狗”的总成本为fx=180x2+x+20万元．
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间(单位：秒)分别为T1，T2，T3.“汪1”有一半的时间以速度(单位：米/秒)V1奔跑，另一半的时间以速度V2奔跑；“汪2”全程以速度 V1V2奔跑；“汪3”有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑，其中V1>0，V2>0，且V1≠V2则哪台机器狗用的时间最少?请说明理由．
17.(本小题15分)
筒车(cℎinese nria)亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m，筒车直径为8m，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s，如图，盛水筒A(视为质点)的初始位置P0距水面的距离为4m．
(1)盛水筒A经过ts后距离水面的高度为ℎ(单位：m)，求筒车转动一周的过程中，ℎ关于t的函数ℎ=ft的解析式；
(2)盛水筒B(视为质点)与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值(结果用含π的代数式表示)，及此时对应的t．
参考公式：sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2，csθ−csφ=2sinθ+φ2sinφ−θ2
18.(本小题17分)
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y(单位：ug/ml)与药品在体内时间x(单位：小时)的关系如下：y=168−x−2t,0≤x≤6,9−x2t,6(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数fx= 2sinxcsx− 2cs2x+ 22．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)若gx=fx+fx+π4−fx⋅fx+π4，存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，求x1−x2的最小值；
(3)若函数Fx=−f2x+π8+afx+π8+2−3在0,nπn∈N+内恰有2023个零点，求a与n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的交集运算，解绝对值不等式，属于基础题．
求出集合N，根据集合的交集运算即可求得答案．
【解答】
解：由题意得N={x∈N||x|≤2}={0,1,2}，
故M⋂N=0,1,2，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】
解：cs300∘=cs(360∘−60∘)=cs60∘=12．
故选：A
3.【答案】C
【解析】【分析】
直接由作差法逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，由题意 a− b=a−b a+ b>0，即 a> b，故 A错误；
对于B，由题意ac−bc=ca−b<0，即ac对于C，由题意ca−c−ba−b=ca−b−ba−ca−ca−b=ac−ba−ca−b<0，即ca−c对于D，由题意b−ca−c−ba=ab−c−ba−caa−c=cb−aaa−c>0，即b−ca−c>ba，故 D错误．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于简单题．
先阅读理解题意，再利用充分必要条件判断即可得解．
【解答】
解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，
但是“攻破楼兰”不一定能推出“返回家乡”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件．
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
先得到¬p:∀x∈R,x2+2x−a>0为真命题，从而根据根的判别式列出不等式，求出答案．
【解答】
解：¬p:∀x∈R,x2+2x−a>0为真命题，即Δ=4+4a<0，
解得：a<−1，
故实数a的取值范围是−∞,−1．
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案．
【解答】
解：fx的定义域为x|x≠0，
f−x=lg2x2−x−2x=−fx，所以fx是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项．
f2=lg2222−2−2>0，排除A选项．
所以正确的为C选项．
故选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】
依题意得32x≥100，利用对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：经过x天后，“进步”的是“落后”的比1+20%x1−20%x=≥100，
所以32x≥100，两边取以10为底的对数得xlg3−lg2≈x0.4771−0.3010=0.176x≥2，解得x≥20.176≈11.36．
要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过11天．
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答．
【解答】
解：依题意，甲地中线段AB的长为80sinθ=100寸，则甲地的日影长为 1002−802=60寸，
于是乙地的日影长为6056=72寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，
所以甲、乙两地之间的距离是12千里．
故选：B
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
点2π3,0是函数fx=csωx+π6图象的对称中心，且2π3在函数fx的一个单调增区间内，则2π3ω+π6=2kπ−π2，令函数fx周期为T，由图象知T2<2π33T4>2π3，由2x+π6=nπ，n∈Z得函数fx图象的对称轴：x=nπ2−π12，n∈Z，据此分析即可．
【解答】
解：依题意，点2π3,0是函数fx=csωx+π6的图象对称中心，
且2π3在函数fx的一个单调增区间内，
则2π3ω+π6=2kπ−π2，k∈Z，即ω=3k−1，k∈Z，
令函数fx周期为T，由图象知T2<2π33T4>2π3,
即有8π9因此，32<3k−1<94，解得56而k∈Z，则k=1，ω=2，fx=cs2x+π6，故 C错误D正确；
由2x+π6=nπ，n∈Z得函数fx图象的对称轴：x=nπ2−π12，n∈Z，
当n=0时，x=−π12，当n=1时，x=5π12，故 AB正确．
故选：ABD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
根据对称性和已知条件得到fx=f−x，判断A；结合已知条件变形得到g(2−x)+g(x+4)=12，判断B；利用赋值法求得f2≠f0，判断C；根据条件得到的gx周期为4，对称中心为3,6，从而得到函数值即可求解，判断D．
【解答】
解：对于A，因为x=2是gx的对称轴，所以g(2−x)=g(x+2)，
又因为fx+g2−x=5，所以f−x+g2+x=5，故fx=f−x，
即fx为偶函数，故 A错误；
对于B，因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，
又因为f(x)+g(2−x)=5，联立得g(2−x)+g(x+4)=12，
所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，故 B正确；
对于C，因为fx+g2−x=5，g2=4，则f0+4=5，即f0=1；
因为gx−fx−4=7，则4−f−2=7，即f−2=−3，则f2=−f−2=3；
显然f2≠f0，所以2不是fx的周期，故 C错误；
对于D，因为x=2是gx的对称轴，所以g(6−x)=g(x−2)，
又因为g(2−x)+g(x+4)=12，即gx+g6−x=12，
则gx+gx−2=12，所以gx+2+gx=12，
所以gx+2=gx−2，即gx=gx+4，所以gx周期为4，
因为gx周期为4，对称中心为3,6，所以g3=6，
当x=4时，代入gx−fx−4=7，即g4−f0=7，所以g4=8，
所以g4=g0=8，又x=2是gx的对称轴，所以g1=g3=6，
所以k=122gk=5×6+4+6+8+6+4=130，故 D正确，
故选：BD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果．
【解答】
解：对于选项A，当x=0时，1−x=1，当x=1时，1−x=0，而L(0)=L(1)=0，
当x∈(0,1)时，1−x∈(0,1)，若x是无理数，则1−x是无理数，有Lx=L1−x=0，
若x是有理数，则1−x是有理数，当x=pq(p,q为正整数，pq为最简真分数)，
则1−x=1−pq=q−pq(q,q−p为正整数，q−pq为最简真分数)，此时Lx=L1−x=1q，
综上，x∈0,1时Lx=L1−x，所以选项 A正确，
对于选项B，当a,b=0,1和无理数时，LaLb=0，显然有LaLb≤Lab，
当a=p1q1,b=p2q2(p1,q1,p2,q2是正整数，p1q1,p2q2是最简真分数)时，
Lab=L(p1p2q1q2)≥1q1q2，LaLb=1p1q1，故LaLb≤Lab，
当a=0,b=pq时，LaLb=0，有LaLb≤Lab
当a=1,b=pq时，LaLb=0，Lab=1q，有LaLb≤Lab
当a为无理数，b=pq时，LaLb=Lab=0，有LaLb≤Lab
综上LaLb≤Lab，所以选项 B正确；
对于选项C，取a=13,b=23，则La+b=L(1)=0，而La+Lb=L(13)+L(23)=23>0，所以选项 C错误，
对于选项D，若x=0或x=1或(0,1)内的无理数，此时Lx=0，显然Lx>15x+15不成立，
当x=pq(p,q为正整数，p,q互质)，由Lx>15x+15，得到1q>p5q+15，
整理得到p+q<5，又p,q为正整数，p,q互质，所以p=1,q=2或p=1,q=3均满足，所以x可以取12或13，所以选项 D错误，
故选：AB．
12.【答案】2,3,7,8
【解析】【分析】
根据集合的运算求得M∪P,M∩P，可得∁U(M∪P)，结合Venn图中阴影部分表示的集合为∁U(M∪P)∪(M∩P)，即可得答案．
【解答】
解：由于全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，M=1,3,6，P=3,4,5，
故M∪P=1,3,4,5,6,M∩P=3，
则∁U(M∪P)={2,7,8}，
故Venn图中阴影部分表示的集合为∁U(M∪P)∪(M∩P)={2,3,7,8}，
故答案为：2,3,7,8
13.【答案】−247
【解析】【分析】
根据倍角公式即α的取值范围从而可求解．
【解答】
解：由题意知α∈0,π2，sinα=45，所以csα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2425，cs2α=cs2α−sin2α=−725，
所以tan2α=sin2αcs2α=−247．
故答案为：−247．
14.【答案】1,32
【解析】【分析】
计算出f−a+x+f−a−x=0，函数y=fx关于点−a,0中心对称，得到fx=0有唯一的解x=−a>0，求出函数的单调性，结合题目条件得到a=−12，进而得到分段函数解析式，计算出f32=3，故−fx−1=f2−x【解答】
解：由题意，得f−a+x=xx−3a+x+3a，f−a−x=−xx+3a+x−3a，
所以f−a+x+f−a−x=0，即函数y=fx关于点−a,0中心对称．
因为x−2a+x+4a>0恒成立，所以当x>−a时，fx>0，
当x<−a时，fx<0．
所以fx=0有唯一的解x=−a>0．
fx=2x+a2,x≥−4a−6ax+a,2a当x≥−4a时，fx=2x+a2，函数单调递增，
当2a当x≤2a时，fx=−2x+a2，函数单调递增，
又2−4a+a2=−6a−4a+a，−2×2a+a2=−6a2a+a，
故fx在R上单调递增，
fsin0+fsinπ6+fsinπ2=f0+f12+f1=0，
由对称性可知f0=−f−2a，
下面证明−a=12，过程如下：
若−a>12时，则f12<0，且−2a>1，则f−2a>f1，−f−2a<−f1，
f0+f1=f1−f−2a<0，
此时f0+f12+f1<0，
同理可得当−a<12时，f0+f12+f1>0，
当−a=12，即a=−12时，f12=0，f0+f1=0，满足f0+f12+f1=0，即a=−12．
故fx=2x−122,x≥23x−12,−1当x≥2时，fx=2x−122≥92，
当−1当x≤−1时，fx=−2x−122≤−92，
又不等式−fx+2a由fx<3，得x<32.由f2−x1．
所以原不等式的解集为1,32．
故答案为：1,32
点睛：函数的对称性：
若fx+a+f−x+b=c，则函数fx关于a+b2,c2中心对称，
若fx+a=f−x+b，则函数fx关于x=a+b2对称
15.【答案】解：(1)函数f(x)=3x−a3x+1+3经过点1,16，
所以3−a12=16，解得a=1，即f(x)=3x−13x+1+3=3x−13(3x+1)，
f(x)=3x−13(3x+1)=13−23⋅13x+1，
则f(x)是R上的单调递增函数，理由如下：
任取x1、x2∈R，且x13x1，
则fx1−fx2=2313x2+1−13x1+1=23⋅3x1−3x23x1+13x2+1<0，
所以fx1−fx2<0，即fx1所以f(x)是定义域R上的单调递增函数．
(2)因为f(−x)=3−x−13(3−x+1)=1−3x3(3x+1)=−f(x)，
故f(x)是奇函数且在R上单调递增，
则不等式f(x2+mx)+f(x2+4)>0等价于f(x2+mx)>−f(x2+4)=f(−x2−4)，
所以x2+mx>−x2−4，即2x2+mx+4>0，
即存在x∈−2,−1，不等式2x2+mx+4>0有解，
即m<−2x−4x在[−2,−1]上有解，
由x∈[−2,−1]，可得−x∈[1,2]，
由对勾函数性质易知：y=x+2x在1, 2单调递减，在 2,2单调递增，
且1+21=2+22=3，故y=x+2x在[1,2]的最大值为3，
所以2−x−2x≤6，即−2x−4x≤6
所以m<(−2x−4x)max=6，
即实数m的取值范围是(−∞,6)．

【解析】(1)由函数经过点1,16求a的值，得到f(x)的解析式，用定义法证明函数的单调性；
(2)根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为2x2+mx+4>0在[−2,−1]上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数m的取值范围．
16.【答案】解：(1)由题意，购买x台“机器狗”的总成本为fx=180x2+x+20，
则每台机器狗的平均成本为y=fxx=180x+20x+1≥2 180x⋅20x+1=1+1=2，
当且仅当180x=20x时，即x=40时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买40台.
(2)由题意，“汪1”满足12T1V1+12T1V2=120，可得T1=120V1+V22，
“汪2”满足T2 V1V2=120，可得T2=120 V1V2，
“汪3”满足T3=60V1+60V2=1202V1V2V1+V2，
2V1V2V1+V2≤2V1V22 V1V2= V1V2，V1≠V2，
所以2V1V2V1+V2< V1V2 ，
因为V1>0，V2>0，且V1≠V2，
所以可得V1+V22> V1V2，
则V1+V22> V1V2>2V1V2V1+V2>0，
所以T1
【解析】(1)平均成本为y=fxx，利用比较不等式，即可求解函数的最值；
(2)利用速度，时间和路程的关系，分别求解T1，T2，T3，再根据不等式，比较时间大小，即可求解．
17.【答案】解：以筒车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，
(1)设ℎ=Msin(ωt+φ)+N，t∈[0,24]，
由题意知，2M=8，M+N=6，
∴M=4，N=2，即ℎ=4sin(ωt+φ)+2，
当t=0时，ℎ=4sinφ+2=4，解得sinφ=12，
结合图象初始位置可知φ=π6，
又因为T=2πω=24，所以ω=π12，
综上，ℎ=4sin(π12t+π6)+2，t∈[0,24]；
(2)经过ts后A距离水面的高度ℎ=4sin(π12t+π6)+2，
由题意知∠AOB=2π8=π4，
所以经过ts后B距离水面的高度ℎ′=4sin(π12t−π12)+2，
则盛水筒B与盛水筒A的高度差为H=|ℎ−ℎ′|=4|sin(π12t+π6)−sin(π12t−π12)|，
利用sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2，
H=4|sin(π12t+π6)−sin(π12t−π12)|=8sinπ8|cs(π12t+π24)|，
当π12t+π24=kπ，k∈Z，即t=−12+12k，k∈Z时，H取最大值8sinπ8(m)，
又因为t∈[0,24]，所以当t=11.5或t=23.5时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值为8sinπ8(m)，此时t=11.5或t=23.5．
【解析】本题考查三角函数模型的应用、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查运算求解能力，是较难题．
(1)设ℎ=Msin(ωt+φ)+N，t∈[0,24]，直接由题意求出M，ω，φ，N的值；
(2)易得∠AOB=π4，分别求出经过t s相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．
18.【答案】解：(1)注射1ml该药品，其浓度为y=168−x−2,0≤x≤6,9−x2,6当0≤x≤6时，2≤168−x−2，解得4≤x≤6；
当6所以一次注射1ml该药品，则药物有效时间可达14−4=10小时．
(2)设从第一次注射起，经x(12≤x≤18)小时后，
其浓度g(x)=9−x2+a168−(x−12)−2=20−x2+16a20−x−2a−1，则20−x∈[2,8]，
因为20−x2+16a20−x−2a−1≥2 (20−x)2⋅16a(20−x)−2a−1=4 2a−2a−1，
当20−x2=16a20−x时，即x=20−4 2a时，等号成立．
a>0，当a∈18,2时，x=20−4 2a∈[12,18]，
所以4 2a−2a−1≥218≤a≤2，因为2a−4 2a+3=( 2a−1)( 2a−3)≤0，
解得0.5≤a≤2，所以a≥0.5．
当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34<2，所以a∈0,18不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．

【解析】(1)由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于2ug/ml时对应的时间段；
(2)由两次注射的血药浓度之和不低于2ug/ml，利用基本不等式求a的最小值．
方法点睛：
分段函数模型的应用：
在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．
19.【答案】解：(1)fx= 2sinxcsx− 2cs2x+ 22
= 22sin2x− 221+cs2x+ 22
= 22sin2x− 22cs2x=sin2x−π4
令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπk∈Z，
得−π8+kπ≤x≤3π8+kπk∈Z
∴函数fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπk∈Z
(2)gx=fx+fx+π4−fx⋅fx+π4
=sin2x−π4+cs2x−π4−sin2x−π4cs2x−π4
令sin2x−π4+cs2x−π4=tt= 2sin2x∈− 2, 2，
则sin2x−π4cs2x−π4=t2−12
gx=ℎt=−12t2+t+12=−12t−12+1
可得，当t=1即sin2x= 22时，gxmax=1；
当t=− 2即sin2x=−1时，gxmin=− 2−12
∵存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，
∴gx1为gx的最小值，gx2为gx的最大值，
∴sin2x1=−1，sin2x2= 22，
∴2x1−2x2min=3π2−3π4=3π4，
∴x1−x2min=3π8．
(3)令Fx=−f2x+π8+afx+π8+2−3=0，
方程可化为a=sin22x+3sin2x+2=sin22x−4+7sin2x+2=sin2x+2+7sin2x+2−4，
令sin2x+2=mm∈1,3，则a+4=m+7mm∈1,3，
当a+4=8时，m=1，sin2x=−1，此时函数Fx在0,nπn∈N+上有n个零点，
∴a=4，n=2023适合题意；
当a+4∈163,112∪112,8时，m在1,2∪2,73内有一解，
sin2x在−1,0或0,13内有一取值，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n个零点，不适合题意；
当a+4=112时，m=2,sin2x=0，此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n−1个零点，
∴a=32，n=1012适合题意；
当a+4=163时，m=3或73，sin2x=1或13，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有3n个零点，不适合题意；
当a+4∈2 7,163时，m在73, 7和 7,3内各有一解，sin2x在13, 7−2和 7−2,1内各有一取值，
则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有4n个零点，不适合题意；
当a+4=2 7时，m= 7，sin2x= 7−2，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n个零点，不适合题意．
综上所述，a=4，n=2023，或a=32，n=1012．

【解析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；
(2)根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到2x1−2x2min=3π2−3π4=3π4，进而得到答案；
(3)将原题意转化为a=sin2x+2+7sin2x+2−4，令sin2x+2=mm∈1,3，则a+4=m+7mm∈1,3，再分类讨论进行取舍即可得到答案．
关键点点睛：本题考查三角函数的综合应用问题.关键点在于换元法的运用，例如(2)中令sin2x−π4+cs2x−π4=tt= 2sin2x∈− 2, 2，则sin2x−π4cs2x−π4=t2−12，进而转化为二次函数；第(3)中方程可化为a=sin2x+2+7sin2x+2−4，令sin2x+2=mm∈1,3，则a+4=m+7mm∈1,3，通过换元进而由繁化简进行求解.本题考查转化与化归、分类与整合能力，属于难题．