2024年中考数学压轴题专项练习—正方形中的半角模型

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①；
②；
③点到直线的距离最大值为；
④点到直线的距离最大值为．
2．（2021秋•鹿城区校级期中）如图1，已知一个量角器的直径与正方形的边长相等，点与点重合，量角器的半圆弧与边交于点，过点作，交边，于，．在量角器绕点顺时针旋转的过程中，若的度数为，则的值为 ；如图2，连结，，与对角线分别交于，，若，则的值为 ．
3．（2021秋•北碚区校级期末）如图，点、分别在正方形的边，上，且，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，，，则 ．
4．（2023•宿州模拟）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．
（2）若，则 ．
5．（2021秋•河口区期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．
（1）当绕点旋转到时（如图，求证：；
（2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 ；
（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．
6．（2022•绥化三模）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边长分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．
（1）如图①，当点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．
7．（2019•新城区校级一模）问题提出：
如图1：在中，且，点为的外心，则的外接圆半径是 ．
问题探究：
如图2，正方形中，、分别是边、两边上点且，请问线段、、有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形中，，，，点、分别是射线、上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
8．（2012•怀柔区一模）探究：
（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别、运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．
9．（2019•夏津县二模）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立；
（1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
10．（2016春•长春期末）【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．
【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为 ．
11．（2023•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长；
（3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．
12．（2023•昆明模拟）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到，，再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，则可根据“”判定，
得到，所以．
【建立模型】该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
【模型拓展】该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值．
13．（2017•南山区三模）把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、．
（1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：．
（2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
14．（2015•重庆开学）阅读下列学习内容：
（1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
探究思路如下：延长到点，使，连接．
，
，，
则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为 ．
（2）根据上面的方法，解决问题：
如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，
上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
15．（2013•西华县校级模拟）已知，四边形是正方形，，它的两边、分别交、与点、，连接，作，垂足为点
（1）如图1，猜想与有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知，于点，且，，求的长；
小萍同学通过观察图①发现，和关于对称，和关于对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？
16．（2010秋•吴江市校级期中）已知四边形是正方形，、分别是边，上的动点．
（1）如图①，设是正方形对角线的交点，若，求证：，
（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为，求四边形的面积；
（3）如图②，若试说明的周长等于正方形周长的一半．
17．（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：；
（2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长．
18．（2015秋•黄陂区校级月考）如图，正方形中，、分别为和边上的两点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长和的面积．
19．（2014•菏泽）已知：如图，正方形，、分别平分正方形的两个外角，且满足，连接．
（1）若正方形的边长为，求的值．
（2）若以，，为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
20．（2014春•九龙坡区校级期中）如图，正方形中，为上除点、外的任意一点，是等腰直角三角形，斜边与交于点，延长与的延长线交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数．
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