2024年中考数学压轴题专项练习—数与式中的新定义问题

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例如：中，，，是“相邻数”．
（1）判断7653，3210是否为“相邻数”，并说明理由；
（2）若四位正整数为“相邻数”，其中，，，为整数，且，，，，设，，若为整数，求所有满足条件的值．
2．（2022春•庐阳区校级月考）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：
（1）整体观察；
（2）整体设元；
（3）整体代入；
（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
例2：已知，求的值．
解：；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
（2）计算： ．
（3）①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
3．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知、为有理数，现规定一种新运算※，满足※
（1）求2※4的值；
（2）求※※的值；
（3）探索※与※※的关系，并用等式把它们表达出来．
4．（2011秋•惠山区校级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，即：．
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）探索与的大小关系，并用等式把它们表达出来．
5．（2009秋•厦门校级期中）附加题
①观察下列各式：，，，，，，则的末尾数字是 ；
②规定一种新运算“”，对于任意实数和，有，则 ；
③如图，在的正方形网格中，每个小正方形都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）从点出发画一条线段，使它的另一端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；
（2）在图中正方形网格上画出格点四边形，使四边形的边长分别为，并求出这个四边形的面积．
6．（2023春•沙坪坝区校级月考）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，是“三决数”，把一个三位数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为．
如：，．
（1）请问257是不是“三决数”，如果是，请求出，的值；
（2）若三位数是“三决数”，且（A）（A）是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的．
7．（2022秋•易县期末）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将线段与线段的长度之比定义为点的特征值，记作，即，例如：当点是线段的中点时，因为，所以．
（1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．
① ；
②比较，，的大小 （用“”连接）；
（2）数轴上的点满足，求；
（3）数轴上的点表示有理数，已知且为整数，则所有满足条件的的倒数之和为 ．
8．（2022秋•渝中区校级期末）材料一：若是正整数，除以13的余数为1，则称是“映辰数”例如：14是正整数，且，则14是“映辰数”；41是正整数，且，则41不是“映辰数”
材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，规定：．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．
（2）若有一四位正整数是“映辰数”， 的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且是有理数，求所有满足条件的．
9．（2022秋•永兴县期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）和5关于2的“美好关联数”为 ；
（2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
（3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，．
①的最小值为 ；
②的最小值为 ．
10．（2021秋•盂县期末）先阅读下面材料，再完成任务：
【材料】
下列等式：，，，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作．例如：、都是“共生有理数对”．
【任务】
（1）在两个数对、中，“共生有理数对”是 ；
（2）请再写出一对“共生有理数对” ；（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（3）若是“共生有理数对”，求的值；
（4）若是“共生有理数对”，判断 “共生有理数对”．（填“是”或“不是”
11．（2023春•海门市期末）在平面直角坐标系中，点，，，，若，则称点与点互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”．
（1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点 ；
（2）若点的坐标是的“对角点” 在坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点的坐标是与点互为“对角点”，且点在第四象限，求，的取值范围．
12．（2022秋•沙坪坝区校级月考）阅读下列材料．
对于一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和的三倍，则称这个数是“3倍和数”，例如：，，是“3倍和数”；又如：，，不是“3倍和数”．
（1）判断2703，4312是否是“3倍和数”，并说明理由；
（2）若是一个“3倍和数”， 满足既能被5整除又能被2整除，且满足为3的倍数，求出所有满足条件的．
13．（2022秋•龙沙区期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方，一般地，把记作，读作的圈次方．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： ， ．
（2）关于除方，下列说法错误的是 ．
．任意非零数的圈2次方都等于1
．对于任意正整数，1的圈次方都等于1．
．．
．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方乘方幂的形式
Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式；
， ；
Ⅱ．想一想，将一个非零有理数的圈为大于2的正整数）次方写成幂的形式等于 ；
Ⅲ．算一算，求的值．
14．（2022春•东台市月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）44和2022这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求不超过2022的所有“和谐数”之和．
15．（2022春•和平区校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式共有 项，系数和为 ．
（2）求的展开式；
（3）利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）；
（4）设，则的值为 ．
16．（2022秋•通州区期中）定义：已知，为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”， 叫做关于的“友好值”．例如：，，，则称是的“友好式”， 关于的“友好值”为5．
（1）已知，，则是的“友好式”吗？若是，请证明并求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由；
（2）已知，，若是的“友好式”，且“友好值”为求，的值．
17．（2022秋•太原期中）综合与实践
数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴和数轴模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴上表示2的点与数轴上表示3的点恰好对齐．
（1）图1中，数轴上表示9的点与数轴上表示 的点对齐，数轴上表示的点与数轴上表示 的点对齐；
（2）如图2，将图中的数轴向左移动，使得数轴的原点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示5的点与数轴上表示 的点对齐，数轴上距离原点12个单位长度的点与数轴上表示 的点对齐；
（3）请从，两题中任选一题作答．我选择_____题．
．若数轴的原点与数轴上表示的点对齐，则数轴上表示4的点与数轴上表示 的点对齐，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示 的点对齐．（用代数式表示）
．若数轴上表示的点与数轴表示的点对齐，则数轴上表示的点与数轴上表示 的点对齐，数轴上距离原点个单位长度的点与数轴上表示 的点对齐．（用代数式表示）
18．（2022秋•江阴市期中）式子“”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“”是求和的符号．例如“”用“”可以表示为，“”用“”可以表示为．
（1）把写成加法的形式是 ；
（2）“”用“”可以表示为 ；
（3）计算：．
19．（2022秋•万州区月考）一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小5，且个位上的数字比十位上的数字小5，则称为“队伍数”，将“队伍数” 的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为（A），将“队伍数” 的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为（A）．例如：四位正整数7261，，，是“队伍数”，此时，（A），（A）．
（1）判断：9483，6132是否是“队伍数”，并说明理由，如果是，求（A），（A）；
（2）若是“队伍数”，且满足（A）（A）能被7整除，求出所有符合条件的．
20．（2022春•沙坪坝区校级月考）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字互不相同，它的千位上的数字比十位上的数字大1，百位上的数字比个位上的数字大1，则称为“仲伯数”．对于一个“伯仲数”，，，是整数且，，，，它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作．规定：．
例如：，因为，，所以4231是“仲伯数”，，，则．
（1）请判断2716，7352是不是“仲伯数”，说明理由；如果是，求出对应的的值．
（2）若四位数、均为“仲伯数”， 的百位数字为1，，的百位数字为，其中且为正整数，十位数字为，其中且为正整数，当能被5整除时，求出所有满足条件的四位数．
21．（2022春•合肥期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，是△的面积）；
，是△的面积）；
，是△的面积）；
（1）请用含有为正整数）的式子填空： ， ；
（2）求的值；
（3）在线段、、、、中，长度为正整数的线段共有 条．
22．（2022春•鼓楼区校级期中）单项式“”可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出如图的示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即．
（1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
（2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
（3）综合上述具体探究，已知非负整数，，，若，且，试用含和的式子表示的估算值．
23．（2022•渝中区校级开学）如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“团圆数”，并把数分解成的过程，称为“欢乐分解”．
例如：，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，是“团圆数”．
又如：，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，不是“团圆数”．
（1）最小的“团圆数”是 ；
（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；
（3）把一个“团圆数” 进行“欢乐分解”，即，与之和记为，与差的绝对值记为，令，当能被8整除时，求出所有满足条件的的值．
24．（2022春•渝中区校级月考）材料：如果一个四位自然数，将它的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，当为整数时，称这个四位数为“和气数”．例如：，，，则，所以1131是“和气数”，此时．又如，不是整数，所以5342不是“和气数”．
（1）请判断4341和5217是不是“和气数”，并说明理由．
（2）已知“和气数” （，，，且，，为整数），且除以7余数为2，求出的所有值．
25．（2022春•秦淮区期中）规定两数，之间的一种运算记作※，如果，那么※．例如：因为，所以3※．
（1）根据上述规定，填空：2※ ， ※；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：※※4，小明给出了如下的证明；
设※，则，即，
所以，即3※，
所以※※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※※※63；
②猜想：※※ ※ （结果化成最简形式）．