49，江苏省连云港市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份49，江苏省连云港市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了考试时问为120分钟等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．考试时问为120分钟．本试卷共6页，27题．全卷满分150分．
2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效．
3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定位置．
4．选择题答题，用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再重新填涂．
5．作图题需用2B铅笔作答，并请加黑加粗．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】点P在半径为5cm的圆内，
点P到圆心的距离小于5cm，
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；
故选A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
2. 在市长杯足球比赛中，五支球队的进球数分别为，，，，，这组数据的中位数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】解：将这组数据按从小到大顺序排列为：3，4，5，8，8，
位于最中间的一个数是5，
因此这组数据的中位数是5，
故选C．
3. 在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的1个红球和11个黄球，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
根据一个暗箱里放入1个红球和11个黄球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可．
【详解】∵一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的1个红球和11个黄球，
∴搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：．
故选：B．
4. 实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在数轴上的位置，结合有理数的乘法、加法，绝对值的意义可得答案．
【详解】解：由题意得：，
由题意可得，，所以A错误，
由，则，所以B错误，
由，则，即 所以C正确，
∵，，∴所以D错误，
故选择：C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法与乘法结果的符号的确定，绝对值的大小，掌握以上知识是解题的关键．
5. 把二次函数的图像向左平移2个单位，所得函数图像对应的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解本题的关键．
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答．
【详解】二次函数的顶点坐标是，
把向左平移两个单位所得对应点坐标为，
平移后的二次函数表达式为，
故选：B．
6. 抛物线与x轴的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据的取值情况来进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线 与x轴的交点个数是0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握根据的取值情况判断抛物线与x轴的交点，其中二次函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
7. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图：
第一步：作一个正方形；
第二步：分别取、的中点、，连接：
第三步：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
第四步：过点作，交的延长线于．
则所作图形中是黄金矩形的是（ ）
A. 矩形B. 矩形C. 矩形D. 矩形和
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．设正方形的边长为，则，，由勾股定理可得，进而可得，，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：设正方形的边长为，则，，
由勾股定理得，
由作图知，
，，
矩形，，不是黄金矩形，
矩形，，是黄金矩形，
矩形，，不是黄金矩形，
矩形，，是黄金矩形，
综上可知，所作图形中是黄金矩形的是矩形和，
故选：D．
8. 若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
【详解】解：∵点是关于x的“美好函数”上的一对“美好点”，
∴关于原点对称，
∴，
∴，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，即
当时，两边同乘a得：，无公共解集，舍去．
当时，两边同乘a得：，
∴，
∴③正确，符合题意，
∵，
∴，
∵
∴，
整合条件：
三式相加得：，
∴，即
∴④错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②③．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：设最长边为x，
的三条边分别为、、，最短边为3，
，
解得，
即最长边为5，
故答案为：5．
10. 如图，，是的半径，C是上一点，，则______°
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是解题的关键．一段弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．根据圆周角定理即得答案．
【详解】所对的圆心角是，所对的圆周角是，
．
故答案为：．
11. 在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为______米．
【答案】300
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线的的应用，根据“三角形中位线等于第三边的一半”即可求解．
【详解】解：如图，周长为600米，分别为的中点，
则均为的中位线，
（米），
即水渠的总长为300米，
故答案为：300．
12. 二次函数的图像经过点，则的值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】直接将坐标代入二次函数表达式即可求出的值即可．
【详解】解：将代入得，解得，
故答案：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上的点，掌握待定系数法是解本题的关键．
13. 如图，在正方形网格中，点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将的三边、、按照从小到大排列为______（用“<”连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了格点正方形与勾股定理，解题的关键是将三角形的顶点平移到格点位置上．
将三角形向右平移小正方形边长的一半距离，然后利用勾股定理计算三角形的各边长，最后进行比较大小即可．
【详解】解：如图．将向右水平平移小正方形边长的一半，使三角形各顶点落在正方形格点上．
根据勾股定理得：，
，
．
∵，即，
∴．
故答案为：．
14. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．
【答案】4.86（1+x）2=6
【解析】
【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，
故答案为：4.86（1+x）2=6．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
15. 若，则代数式的值为______．
【答案】29
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．
由变形得到，再把变形为，然后利用整体代入思想进行计算．
【详解】∵，
∴．
∴，
故答案：29．
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆圆心的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出OG、PG的长度即可求得P点坐标.
【详解】解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则，
∵多边形为正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
又∵PG⊥OA，
∴PG平分，
∴，
又∵OA=6，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴的坐标是，
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.
17. 如图，矩形纸片中，，将纸片裁成如图所示的扇形，若将此扇形围成圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的底面半径，根据弧长等于底面圆的周长，即可求解．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，
依题意，得，
解得．
故圆锥的底面半径为4．
故答案为：4．
18. 如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为____________．

【答案】cm
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．
如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点为，连接、，

，
，
，
在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，
是直径，
，
中，，
，
在中，，
，
当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：（cm），
故答案为：cm．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】解：（1），
，
或，
解得，；
（2），
，
或，
解得，．
20. 为了弘扬雷锋车精神，某校组织“学习雷锋车精神，争做时代好少年”活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．九（1）班决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙两名同学都被选为宣传员”是______事件；（填“必然”“不可能”“随机”）
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙同学都被选为宣传员的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题考查随机事件，利用列表或画树状图求随机事件的概率：
（1）“甲、乙两名同学都被选为宣传员”可能发生，也可能不发生，因此为随机事件；
（2）先画树状图得到所有等可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：“甲、乙两名同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丙的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲、丙的概率为：．
21. 小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：
小聪：，，，，小明：，，，，
（1）填写下表：
（2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
（3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差______．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】21. 8，0.4，8，9
22. 选择小聪，理由见解析
23. 变小
【解析】
【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数、平均数，利用平均数、方差作决策：
（1）根据众数、方差、中位数、平均数的定义求解；
（2）利用平均数、方差作决策；
（3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可．
【小问1详解】
解：小聪5次成绩为，，，，，
众数为：8，
方差为：；
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
中位数为：9
平均数为：，
故答案为：8，0.4，8，9；
【小问2详解】
解：选择小聪，理由为：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定；
【小问3详解】
解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
22. 已知关于x的方程．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程，
得：，
解得：m=．
（2）∵，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键.
23. 元旦节期间，两位同学一同去商场调查某种服装的销售情况，求出服装的售价，下面是两位同学的对话：
【答案】这种服装每件售价是70元或80元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用—销售问题，设单价应定为元，则每件的利润为元，销售量为件，据此列方程求解即可．
【详解】解：设单价应定为元，
根据题意得：，
，
解得．
答：这种服装每件售价是70元或80元．
24. （1）如图①，中，平分交于点，点在边上，且经过、两点，分别交、于点、．求证：是的切线：
（2）如图②，中，，用直尺和圆规作，使它满足以下条件：圆心在边上，经过点，且与边相切．（保留作图痕迹，不用写出作法）
【答案】（1）证明见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质、圆的切线的判定、等边对等角、平行线的判定与性质，解题的关键是作出恰当的辅助线．
连接，由得，再由得，从而得，结合可证，因为圆的半径，从而得证．
【详解】（1）证明：连接，如图．
∵经过A、D两点，
∴，
∴，
∵平分
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，又点D在上，
∴是的切线．
（2）根据（1）题的证明过程，所作如下图．
25. 学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以中点O为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式求出和，进而求出和，即可求解．
【详解】解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系，
由题意知，，，
，，，，
设抛物线解析式为，
将，代入，得，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
，
，
即所需三根不锈钢管立柱的总长度为米．
26. 如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．

（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当点在直线上方时，过点作垂直于轴于点，交直线于点．若，求此时点的坐标：
（3）抛物线在第一象限的部分记为，现将绕点逆时针旋转度，使得上每一点始终在第一象限，求点所经过的路经长．
【答案】（1）
（2）
（3）点B经过的路径长为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、直线与抛物线相切时的特点、一元二次方程根的判别式、勾股定理求线段长、扇形弧长的求法等，解决第（3）问的关键是画出图形帮助分析解法．
（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
（2）先求得点C的坐标，然后用待定系数法求得的解析式，设点的横坐标为a，然后用含字母a的代数式表示出等式关系，可求得a值，即可求得点P的坐标．
（3）设经过点C且与抛物线相切的直线的解析式为，联立抛物线方程，当关于x的二次方程的判别式为0时可求得直线的解析式，从而可求得直线与y轴的夹角即是M的旋转角，点B经过的路径是一段圆弧，其圆心角就是这个旋转角，半径为，即可求得圆弧长．
【小问1详解】
解：将点的坐标代入抛物线中，
，解得：
∴抛物线对应的函数表达式是：．
【小问2详解】
令，则抛物线，
∴点．
设直线的解析式是，
将的坐标代入
∴，
直线的解析式是．
设点的横坐标为a，则点E的纵坐标为，点P的纵坐标为，
∵，
∴．
化简得：
解得：（不合题意，故舍去）
∴点P的纵坐标为
∴此时点P的坐标是．
【小问3详解】
设在点处与抛物线相切的直线与x轴相交于点D，直线的方程为，则，即直线的解析式为：．
联立方程组，消去y，得，
整理得：
∴，
解得：．
∴直线的解析式为：．（如图）

令，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，．
∴当M（抛物线在第一象限的部分）随直线绕点C逆时针旋转时，使得M上每一点始终在第一象限，
∴B点经过的路径是以点C为圆心，圆心角为的圆弧（如上图）．
∵圆弧半径，
∴的长度为：．
即点B所经过的路经长为．
27. 问题探究：如图①，在四边形中，，探究线段、、之间的数量关系．
小江同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处，点、分别落在点A、处，易证点、A、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
简单应用：（1）在图①中，若，则______；
（2）在图②中，是的直径，点、在上，是弧的中点．若，则______；
拓展延伸：（3）如图③，．探究线段、、之间的数量关系：若图③中，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出面积的最大值；
问题解决：（4）如图④，公园里有一个四边形的人工湖，米，米，已经修建一座观光桥，恰巧满足，米，现在再修建一座观光桥，其中、分别是、的中点，则的长度为______米．
【答案】（1）；（2）；（3）；；面积的最大值为；（4）
【解析】
【分析】（1）由题意可知：，所以将与的长度代入即可得出的长度；
（2）连接、、即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出的长度；
（3）过点D作于点E，在上截取F，使，证明、B、C、D四点共圆，得出，，证明，得出，，证明等腰直角三角形，得出，即可得出；
（4）连接、，延长，过点D作于点E，于点F，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式求出，证明四边形为矩形，得出，根据勾股定理得：，，求出，根据中位线性质得出结果即可．
【详解】解：（1）由题意知：，
∵，
∴，
∴；
（2）连接、、，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是弧的中点，
∴，
∴，
如图，将绕点D逆时针旋转到处，
∴，
∵，
∴，
∴E、A、C三点共线，
∵
∴由勾股定理可求得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）过点D作于点E，在上截取F，使，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴、B、C、D四点共圆，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，，
∴，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴
，
即，
∴当时，y有最大值且最大值为，
∴面积的最大值为．
（4）连接、，延长，过点D作于点E，于点F，如图所示：
∵，为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，负值舍去，
∵、分别是、的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，旋转的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．平均数
众数
中位数
方差
小聪
8
8
小明
9
3.2