广东省中山市纪雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省中山市纪雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，解答题 等内容，欢迎下载使用。

1. 若 有意义，则x是怎样的实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选：C．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可.
【详解】解：A.，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.是最简二次根式，故本选项正确；
D.，故本选项错误.
故选C.
【点睛】本题考查最简二次根式，最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.
3. 化简的结果为（ ）
A. B. 5C. -5D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义，若一个正数x的平方等于即,则这个正数x为的算术平方根.据此将二次根式进行化简即可.
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根的意义.
4. 若 ，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查非负数的性质：非负数的和为0，则每个非负数必为0．根据算术平方根的非负性求出x、y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的性质，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键．由二次根式的性质判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意，
故选：D．
6. 计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算即可求解.
【详解】原式.
故选D.
【点睛】容易题.失分原因是：对幂的乘法和乘方法则混淆，没有熟练掌握.
7. 直角的一条边长为3，另一条边长为4， 则第三条边的长为（ ）
A. 5B. 3C. 5或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，则有两种情况，一种是这两边都是直角边，则第三边是斜边；另一种是已知的两边一条是直角边，另一条是斜边，则第三边是直角边，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当3和4都是直角边时，第三条边的长为；
当4为斜边，3为直角边时，第三条边的长为，
∴第三条边的长为5或 ．
故选：5或 ．
8. 下列线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，1，3B. 1，2，3C. 2，3，5D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：两边和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：A、，不能够组成三角形，本选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，能组成三角形，本选项符合题意．
故选：D．
9. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 1，2，3B. 1，1，C. 2，3，4D. 7，15，17
【答案】B
【解析】
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则即为不是．
【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意；
B． ，可以构成直角三角形，故B选项符合题意；
C． ，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D． ，不可以构成直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
10. 在中，斜边，则值为（ ）
A. B. C. D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理可知，进而可知．
【详解】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：_____．
【答案】．
【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
12. 生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示为 _________mm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：______．
【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形
【解析】
【分析】命题都能写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题．
【详解】解: ∵原命题的题设是：直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c；原命题的结论是：这个三角形是直角三角形；
∴逆命题是：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且，那么这个三角形是直角三角形.
故答案为如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且，那么这个三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中明确题意，准准确得到条件和结论是解题的关键．
14. 化简： ___________；___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，根据分母有理化的方法，两式分子、分母同都乘以，去掉分母中的根号，从而得出答案．
【详解】解：，
故答案为：，．
15. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数比大小．解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法．
16. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得AD的长，再根据面积即可求得．
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=BC=3，
∴，
设AC边上的高为h，
则，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
三、解答题(一)： 本大题共4小题， 17、18题各4分， 19、20各6分．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质和二次根式乘法法则计算即可．
【详解】解：原式．
【教材P14 例4】
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．先利用二次根式的乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
【教材P15 习题6】
20. 已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【答案】（1）12；（2）．
【解析】
【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
四、解答题（二）： 本大题共3小题， 21题8分， 22、23各10分
21. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键．利用两种求大正方形面积方法列出等式即可．
【详解】解：∵4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，
∴，
∴，
∴．
22. 如图， 在中，，，
（1）若， 求的长；
（2）若， 求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是：
（1）先根据含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）先求出，然后证明，然后根据根据勾股定理构造关于的方程求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴，
∴；
小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
又，
∴（负值舍去）．
23. 已知：如图，四边形中，，，，且．试求：

（1）的度数．
（2）四边形的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数；
（2）由（1）可知和是直角三角形，再根据即可得出结论．
【小问1详解】
解：连接，

，
，
又，，
∵，
即
；
【小问2详解】
由（1）可知和直角三角形，
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
五、解答题（三） ： 本大题共2小题， 24、25各12分
24. 如图， 在中，， 点D为中点， E、F分别为边、上两点， 且，
（1）求证： ；
（2）若，， 求的长．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理，作合适的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作交的延长线于点G，连接，易证，可得，，即可求得，根据勾股定理可得，根据等量代换即可解题；
（2）利用（1）的结论直接求解即可．
【小问1详解】
解：过点A作交的延长线于点G，连接，
∴，
∵点D为中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴．
（2023 秋·西湖区期末）
25. 在中，，点P为线段上任意一点（P与B，C不重合），连接．
（1）若，，
①求的最小值．
②当时，求的长．
（2）若，，请用含m，n的代数式表示，并说明理由．
【答案】（1）①6；②或
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）①过点A作于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，当点P与点D重合时，最小，进而可得答案；
②利用勾股定理求出，然后分情况计算的长即可；
（2）过点A作于点E，利用勾股定理得出，，两式相减，整理后可得结论．
【小问1详解】
解：①过点A作于点D，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当点P与点D重合时，最小，
∴的最小值为6；
②∵，，
∴，
∴或；
【小问2详解】
过点A作于点E，由（1）可知，
在中，，
在中，，
得：
，
，
，
即．