04，重庆市大足区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份04，重庆市大足区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了测试时间，参考公式等内容，欢迎下载使用。

1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页．
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．
4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上．
5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
6．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确的．
1. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A.
B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载C. 明天会下雨
D. 汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【解析】
【详解】解：A、，是必然事件，故本选项符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、明天会下雨，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键．
3. 如图，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆的内接四边形的性质，根据圆的内接四边形的对角互补可得答案．
【详解】解：∵，四边形为的内接四边形，
∴，
故选C
4. 一个选择题有四个答案，其中只有一个是正确的，小马不知道哪个答案是正确的，就随机选了一个，小马选择正确的概率为（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据一共有4个答案，那么就用4种等可能性的结果，其中只有1个正确答案，那么只有一种是正确的结果，由此利用概率公式计算即可.
【详解】解：∵一共有4个答案，其中只有1个正确答案，
∴P（小马选择正确的概率），
故选C.
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式.
5. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，在方程两边都加上1化为完全平方式子，即可得到答案，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：
方程两边都加上1，得，则，
故选：A．
6. 已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆相切可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵，
，
或，
，，
的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，
，
与直线l相切，
的半径，即，
故选：B．
7. 班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积．每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数）即可得出对应方程．
【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意列方程得：．
故选：D．
8. 已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴是解题的关键．由题意可得对称轴为直线，结合，可得距离对称轴越远，函数值越大．再根据各点到对称轴的距离即可判断．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且，
距离对称轴越远，函数值越大．
∵，，，
，
∴．
故选：D．
9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点为点E，的延长线交于点F，连接．则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 平分D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查旋转的性质，四点共圆的性质，三角形内角和定理，根据各性质依次判断即可得到答案．
【详解】∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，故A选项正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，B，F，D四点共圆，
∵，
∴，
∴平分，故C选项正确；
设与交于点G，
由旋转得，
∵，，
∴，故D选项正确；
无法判断，故B选项错误；
故选：B．
10. 定义：如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“平衡式”，对于上述“平衡式”A、B，下列三个结论正确的个数为（ ）
①若，，则的值为1；
②无论x取何值时，“平衡式”A、B的值始终可化为相反数；
③若p，q为常数，A有最小值，且最小值为1，则的最小值为．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，二次函数的性质，理解新新定义是解题的关键．根据新定义，得出的值代入计算即可判断①，根据新定义得出，即可判断②，根据题意得出，即可判断③．
【详解】解：①∵，，
依题意，，
∴，故①正确；
②，，
∴，
∵，，，
∴，故②正确；
③∵有最小值，且最小值为．
∴的最小值为，
∵，，，
∴
当，
则的最小值为，
当，
则的最大值为，故③不正确，
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在对应的横线上．
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的特征，利用关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知m是方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．根据方程的解，得到，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1
13. 已知二次函数，当时，函数最小值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数的性质可以求得当时，函数的最小值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线，
∵，
∴当时，y取得最小值，此时，
故答案为：1．
14. 现从，，0，3中，任取一个数作为二次函数中a的值，则所得抛物线与x轴有公共点的概率______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了列举法求概率，分别求函数表达式，找到所有抛物线及与x轴有公共点的抛物线，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
∵，
∴抛物线与x轴有两个不同的公共点，
当时，，
∵，
∴抛物线与x轴有两个不同的公共点，
当时，不是二次函数，不符合题意，
当时，，
∵，
∴抛物线与x轴没有公共点，
综上可知共得到三条抛物线，所得抛物线与x轴有公共点的概率为，
故答案为：
15. 如图，矩形中，以A为圆心，的长为半径画圆，交于点E，再以B为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解决问题的关键．连接，根据阴影部分的面积的面积扇形的面积扇形的面积解答即可．
【详解】解：如图，连接，

则阴影部分的面积的面积扇形的面积扇形的面积，
以B为圆心，的长为半径画圆，交于点E，
，
∵，以A为圆心，的长为半径画圆，交于点E，
，
是矩形，
，，
∴，
，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
16. 如图，正方形中，点F在边上，E在边的延长线上，按顺时针方向旋转后恰好与重合，若，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，由旋转的性质得，从而得，为等腰直角三角形，再利用面积公式即可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∵按顺时针方向旋转后恰好与重合，
．
，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：
17. 若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案．
【详解】解：关于的不等式组，整理可得：，
∵关于的不等式组有解集，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有且仅有4个整数解，
∴关于的不等式组的整数解为：、、，0，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
综上所述，m的取值范围为，
∴符合条件的整数m为3、4、5、6．
∴，
故答案为：
18. 一个四位自然数各位数字不相等且均不为0，如果千位数字与个位数字之和，百位数字与十位数字之和都是8的倍数，我们称这个四位自然数为“幸运数”．请问最大的“幸运数”是______；若一个“幸运数”，满足的值是9的倍数，我们又称这个四位自然数为“美满数”，则最小的“美满数”是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义的应用以及学生的推理能力．理解新定义的意义是解决问题的关键．要求最大的四位“幸运数”，千位数字可选最大的一位数9，因为千位数字与个位数字之和是8的倍数，那么可得个位数字为7；百位数字选8的话，十位数字要么是8，要么是0，个位已经是7，所以百位数字最大可选6，那么十位数字只能选2，可得最大的“幸运数”；“美满数”是在“幸运数”的基础上得到的，通过计算可得 的值一定是9的倍数，那么千位数字可选最小的非0数字1，进而推导出个位数字为7，百位数字为2，那么十位数字为6，就得到了最小的“美满数”．
【详解】解：（1）∵要求最大的四位“幸运数”，
∴千位数字可选最大的一位数9．
∵千位数字与个位数字之和是8的倍数，
∴个位数字为7．
∵百位数字选8的话，十位数字要么是8，要么是0，各位数字不相等且均不为0，
∴百位数字不能选8．
∵个位数字是7，
∴百位数字最大选6．
∵百位数字与十位数字之和是8的倍数，
∴十位数字为2．
∴最大的“幸运数”是．
故答案为：9627．
（2）∵ 是“幸运数”，
∴，，
∵
，
∵一定是9的倍数，
∴，
∴，
∴最小的“美满数”的千位数字可选最小的非0数字1，
∴个位数字可选7；
∵各位数字不相等，
∴最小的“美满数”的百位数字最小可选2，
∴十位数字可选6，
∴最小的“美满数”是．
故答案为： 1267．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法并根据方程灵活选择是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
∴
则，
即，
∴
∴
【小问2详解】
∴
∴或
解得
20. 如图，在平行四边形中，点E在上，且．
（1）用直尺和圆规在上方作，使得，交于点F．
（2）求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，① ．
② ．
在与中，
，．
④ ．．
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④．
【解析】
【分析】本题考查尺规作图及线段相等证明，涉及作等角、平行四边形的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握基本尺规作图及全等三角形的判定是解决问题的关键．
（1）根据题意，按照作一个角等于已知角的方法作出图形即可得到答案；
（2）根据平行线的性质，再结合三角形全等的判定与性质即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求，
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，．
．
在与中，
，
．
．
．
故答案为：①；②；③；④．
21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，画出旋转后的．并求出、的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】此题考查了画原点对称的图形，旋转图形，
（1）根据原点对称的性质得到点，顺次连线即可得到；
（2）根据旋转的性质确定点，顺次连线得到，以及点、的坐标；
正确掌握中心对称的性质及旋转的性质是解题的关键．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求，．
22. 2024年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．某中学为了提高学生对航天的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完整的统计图表．
请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查随机抽取了______名参赛学生的成绩．在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是______度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校2000名学生中，知识竞赛成绩达到“优秀”的有______名；
（4）成绩前四名的学生中正好是两名男生和两名女生，若从这四名学生中任意选两人为该校的航天知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1），
（2）补全图形见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图以及列表法或树状图法求概率，掌握频率= 频数总数 ，列举所有可能出现的结果是解决问题的关键．
（1）根据C的频数和频率，利用频率= 频数总数进行计算即可；求出F组所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；
（2）求出D组的频数即可补全条形统计图；
（3）求出“优秀”所占百分比即可；
（4）列举出所有可能出现的结果，进而求出选择一男一女的概率．
【小问1详解】
解：（人），
；
【小问2详解】
（人），
补全图形如下：
．
【小问3详解】
（人）；
∴知识竞赛成绩达到“优秀”的有人．
【小问4详解】
画树状图如下：
共有12个等可能的结果，恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为．
23. 如图，在中，，，，点P从点A开始出发沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），点P到达点C停止运动，设点P运动的路程为x，的面积为y．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
（2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质．
（3）若，结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围．
（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】23.
24. 图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
25. 当时，．
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握画函数图象的方法，根据图象求不等式解集的方法．
（1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式，即可解答；
（2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质；
（3）观察图象求出函数图象的交点坐标，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围．
【小问1详解】
解：如图，过点C作于点D，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
当点P在上时，，，
，
即，
当点P在上时，，，
，
即，
综上：；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示，
由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小；
【小问3详解】
解：联立y和的函数图象，
当时，
，解得：，
∴当时，y和交点坐标为；
当时，
，解得：，
∴当时，y和交点坐标为；
由图可知，当时，．
24. 某商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？
【答案】（1）2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为；
（2）每台A款电器应降价40元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，利用3月份的销售量=1月份的销售量×（1+2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为元，月销售量为台，利用总利润=每台的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可求出y值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【小问1详解】
解：设2月份和3月份两个月销售量月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为；
【小问2详解】
设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为元，月销售量为台，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽快减少库存，
∴．
答：每台A款电器应降价40元．
25. 如图，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第二象限，连接．当线段最长时，求的面积及点Q的坐标；
（3）已知点在直线上，点M在抛物线上，点N在y轴上，在满足（2）的条件下，是否存在这样的点M、N，使以点Q、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求点M的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的面积为8，点Q的坐标为，
（3）存在，点M的坐标为或或，过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了根据待定系数法求一次函数和二次函数，平行四边形的性质，二次函数的性质，熟练将平行四边形对角线平分的性质转化成坐标系中的中点公式是解题的关键．
（1）将，，代入抛物线，利用待定系数法，即可解答；
（2）连接，求得直线的解析式，线段的长度为点纵坐标减去点纵坐标，即可求出的最大值，再根据的面积为的面积加上的面积，即可解答；
（3）分类讨论，即分别以为对称轴时，根据中点公式，进行解答即可．
【小问1详解】
解：将，代入抛物线，
可得，
解得，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图，
设直线的解析式为，
把，代入可得：
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，取最大值为，
则，即点Q的坐标为，
此时，的面积为的面积加上的面积，
即；
【小问3详解】
解：当时，，
，
由（2）可知点Q的坐标为，
设，，
当为对角线时，根据中点公式可得：，
解得，
则，
；
当为对角线时，根据中点公式可得：，
解得，
则，
；
当为对角线时，根据中点公式可得：，
解得，
则，
，
综上所述，点M的坐标为，，．
26. 如图1，在中，，点D在上任意一点，连接．
（1）如图1，D为中点，，，求的长；
（2）如图2，若，E为的中点，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）图3，点G为边上一动点，连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转至，连接，已知，，，当的长取得最小值时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作于点E，求出和长，利用勾股定理即可求出答案；
（2）延长到点F，使得，连接，在上截取，连接，证明，则，再证明，即可得到结论；
（3）作交于W，过点W、H作射线l交于点V，证明，则，得到，证明了点H在过点W且与垂直的射线l上运动，作点B关于l对称的点，交l于点R，连接交l于点，当点H在点时，最小，最小是的长，连接，作于点X，进一步求出的平方即可得到答案．
【小问1详解】
解：作于点E，
∴，
∴，，
∵D为中点，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
如图2，延长到点F，使得，连接，在上截取，连接，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，作交于W，过点W、H作射线l交于点V，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H在过点W且与垂直的射线l上运动，
作点B关于l对称的点，交l于点R，连接交l于点，当点H在点时，最小，最小是的长，连接，作于点X，
∵，，
∴
∴V是中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
设则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、二次根式的混合运算等知识，数形结合和准确添加辅助线是解题的关键．