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2023-2024学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷-普通用卷
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这是一份2023-2024学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视机，正播放新闻B. 抛一枚硬币正面朝上
C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 我们看到的太阳从东边升起
2.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是( )
A. m4=n5B. mn=54C. mn=45D. m4=5n
3.点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足( )
A. 06D. r≥6
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14，则∠A的正切值( )
A. 缩小为原来的14B. 扩大为原来的4倍C. 缩小为原来的12D. 没有变化
5.把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( )
A. y=x2+1B. y=x2−2C. y=x2+2x−1D. y=x2−2x−1
6.如果一个扇形的半径是4，圆心角为90°，则此扇形的面积为( )
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
7.如图，已知三条直线l1，l2，l3互相平行，直线a与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，直线b与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点，若DE=3，EF=6，BC=8，则AB的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，AF⊥BC于点F，DE与AF交于点G，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则FG：AG的值为( )
A. 13B. 2−1C. 12D. 22
9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为BD上一点，CF与AB交于点G，若FG>CG，则BF的长的范围为( )
A. 4B. 4C. 4 2D. 4 210.若函数图象上存在点P(a,b)满足a+b=m(a>0，且m为常数)，则称点P为这个函数的“m优和点”.例如：函数图象上存在点P(t,1−t)，因为t+1−t=1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”.若二次函数y=x2+(k−3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，则k的取值范围为( )
A. k=±4B. k=−4或k>3C. k=−4或k>5D. k=±4或k>5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.五边形的内角和等于______度．
12.从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为______．
13.如图，将一个三角形纸板ABC的顶点A放在⊙O上，AB经过圆心，∠A=30°，半径OA=2，则在⊙O上被这个三角形纸板遮挡住的DE的长为______.(结果保留π)
14.如图，已知△ABC的两条中线AD，BE交于点G，过点D作AC的平行线交BE于点F，若△DFG的面积为1，则△AEG的面积为______．
15.已知二次函数y=−(x−2m)2+m，当0≤x≤3m时，y的最小值为n，则n的最大值为______．
16.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△ADE与△FDE关于直线DE对称，点A的对称点F在对角线AC上，连接BF并延长交CD于点G，若FD平分∠AFG，则BFAC的值为______，tan∠ACD的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
(1)采用树状图法(或列表法)列出两次摸球出现的所有可能结果；
(2)求摸出的两个球号码之和为偶数的概率．
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
计算sin60°+cs30°+tan45°的值．
19.(本小题3分)
已知线段c是线段a，b的比例中项线段，若a= 3，b=12 3，求线段c的长．
20.(本小题6分)
由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．
(1)作△ABC的中线AD；
(2)过B作AC的垂线，垂足为E．
21.(本小题8分)
如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E(1,5)．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)若点F(m,n)在该二次函数图象上．
①当m=−2时，求n的值；
②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动.此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
(1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度(结果保留根号)；
(2)求教学楼BC的高度(结果取整数)(参考数据： 3≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
23.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边AD上，∠DBE=∠DBC．
(1)求证：△BED∽△BOC；
(2)如图2，点F在线段BD上，∠BFE=∠BCF，BD=2，求BF的长．
24.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务．
25.(本小题12分)
如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，延长AG，DC交于点F，连接AD，GD，GD与AB交于点H．
(1)若∠BAD=α，用含α的代数式表示∠AGD；
(2)如图2，连接AC，CG，若AC⊥GD，求证：DH=CG；
(3)如图3，在(2)的条件下，作DM⊥AF于点M，DM与AB交于点N，EN=OB，CG= 2，求AF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、打开电视机，正播放新闻，是随机事件，不符合题意；
B、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
D、我们看到的太阳从东边升起，是必然事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：A.因为m4=n5，所以5m=4n，不符合题意；
B.因为mn=54，所以4m=5n，符合题意；
C.因为mn=45，所以5m=4n，不符合题意；
D.因为m4=5n，所以mn=20，不符合题意．
故选：B．
根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP>r，即0故选：A．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
4.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的14，
∴锐角A的对边与邻边的比值不变，
∴锐角A的正切值不变．
故选：D．
根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于锐角对边与邻边的比值．
5.【答案】C
【解析】解：把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到得函数图象y=(x+1)2−2=x2+2x−1，
即y=x2+2x−1，
故选：C．
根据图象向左平移加，向下平移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象平移规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】C
【解析】解：扇形面积为：90π×42360=4π，
故选：C．
根据扇形面积的计算公式直接解答即可．
本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积的计算公式即可．
7.【答案】A
【解析】解：
∵l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF
又∵DE=3，EF=6，BC=8，
∴AB=4
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE～△ABC，
∴S△ADES△ABC=AD2AB2，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴S△ADES△ABC=12=AD2AB2，
∴ADAB= 22，
设AD= 2x，AB=2x，
∴BD=2x− 2x=(2− 2)x，
∵DE//BC，AF⊥BC，
∴FGAG=BDAD=2− 2 2= 2−1．
故选：B．
先说明△ADE～△ABC得出S△ADES△ABC=AD2AB2，再根据题意求出面积之比即可求出相似比，然后表示出BD，根据平行线分线段成比例即可解答．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：作直径CM，
当F在DM(不与D、M重合)上运动时，FG>CG，
∵OE=AE=2，
∴OE=12OA=12OD，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴cs∠DOE=OEOD=12，
∴∠DOE=60°，
∴∠DBE=12∠DOE=30°，
∴∠BDE=90°−∠DBE=60°，
∴∠M=∠BDE=60°，
∵OM=OB，
∴△OBM是等边三角形，
∴BM=OB，
∵AO=2OE=4，
∴MB=OB=AO=4，
∵OE=2，OB=4，
∴BE=2+4=6，
∵sin∠BDE=sin60°=BEBD= 32，
∴BD=4 3
∴BF的长的范围是4故选：B．
作直径CM，当F在DM(不与D、M重合)上运动时，FG>CG，由cs∠DOE=OEOD=12，求出∠DOE=60°，得到∠DBE=12∠DOE=30°，因此∠BDE=90°−∠DBE=60°，由圆周角定理得到∠M=∠BDE=60°，又OM=OB，判定△OBM是等边三角形，得到BM=OB=4，求出BE=2+4=6，由锐角的正弦求出BD长，即可求出BF的范围．
本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，关键是判定△BOM是等边三角形，由锐角的正弦求出BD的长．
10.【答案】C
【解析】解：设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入可得：
a2+(k−3)a+5=k−a；
整理得：(a−1)2+k(a−1)+4=0，(a−1>−1)；
∵二次函数y=x2+(k−3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，
∴关于(a−1)的二次方程：(a−1)2+k(a−1)+4=0(a−1>−1)，要有唯一解，
∴Δ=(k−2)2−4(5−k)=0，且−k2>−1，解得：k=±4，切k<2，
∴k=−4；
由(a−1)2+k(a−1)+4=0，(显然a=1时，等式不成立)，可得k(a−1)=−[(a−1)2+4]，即k=−[(a−1)+4(a−1)]>5(a−1>−1)，
∴k>5；
综上，k的取值范围为k=−4或k>5．
故选：C．
设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入二次函数，根据题意联立关于a的二次方程，再求值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“k优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
11.【答案】540
【解析】解：五边形的内角和=(5−2)⋅180°=540°．
故答案为：540．
直接根据n边形的内角和=(n−2)⋅180°进行计算即可．
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n−2)⋅180°．
12.【答案】13
【解析】解：∵单词“shuxue”，共6个字母，字母u有2个，
∴抽中u的概率为26=13，
故答案为：13．
“shuxue”中共有6个字母，字母u有2个，根据概率公式可得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】23π
【解析】解：连接OE，
∵∠A=30°，∖ ∴∠DOE=60°，
∵OA=2，
∴DE=50×π×218060π×2180=23π，
故答案为：23π.
连接OE，根据圆周角定理可得出∠DOE的度数，再根据弧长公式可得出答案．
本题考查了圆周角定理、弧长公式的计算，熟记：l=nπr180．
14.【答案】4
【解析】解：∵DF//CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴DFCE=BDBC，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD，
∴DFCE=12，
∵BE为△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴DFAE=12，
∵DF//AE，
∴△DFG∽△AEG，
∴S△DFGS△AEG=(DFAE)2=14，
∴S△AEG=4S△DFG=4×1=4．
故答案为：4．
先证明△BDF∽△BCE得到DFCE=BDBC，则利用AD为△ABC的中线得到DFCE=12，再利用BE为△ABC的中线得到AE=CE，所以DFAE=12，接着证明△DFG∽△AEG，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可计算出S△AEG．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
15.【答案】116
【解析】解：∵二次函数y=−(x−2m)2+m，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=2m，函数有最小值m，
∵0≤x≤3m，
∴当x=0时，y取最小值，则：n=−4m2+m=−4(m−18)2+116；
∴当m=18时，n的最大值为：116．
故答案为：116．
根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，x=2m，结合条件可知当x=0时，y有最小值，从而可得n=−4m2+m=−4(m−18)2+116，即可求解．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答的关键是分析清楚对称轴的情况．
16.【答案】12 154
【解析】解：∵△ADE与△FDE关于直线DE对称，
∴AD=DF，同时∠DAF=∠DFA=α，
∵FD平分∠AFG，
∴∠DFG=∠DFA=α，
∴∠BFC=∠AFG=2∠DFG=2α，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD//BC，OA=OD，
∴∠ACB=∠DAO=α，∠ODA=∠OAD=α，BC=DF，
∴∠DOF=∠OAD+∠ODA=2α=∠BFC，
在△DOF和△BFC中，
∠DOF=∠BFC∠OFD=∠BCFDF=BC，
∴△DOF≌△BFC(AAS)，
∴BF=DO，
∴BFAC=DOAC=12；
连BD，过B作BN⊥AC，
由△DOF≌△BFC得CF=OF，
设CF=OF=2m，
∴BF=DO=OB=4m，
∵BN⊥ON，
∴ON=NF=12OF=m，
∴BN= OB2−ON2= 15m，
∵△ADE与△FDE关于直线DE对称，
∴DE⊥AC，
在△DMO和Δ BNO中，
∠DMO=∠BNO∠MOD=∠BONOD=OB，
∴△DMO≌Δ BNO(AAS)，
∴OM=ON=m，DM=BN= 15m，
∴AM=OA−OM=3m，
∵∠ACD+∠DAM=90°，
∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠ACD=∠ADM，
∴tan∠ACD=tan∠ADM=AMDM=3m 15m= 155．
先利用条件证明△DOF≌△BFC，得到BFAC=12；连BD，过B作BN⊥AC，先证明△DMO≌ΔBNO，得到OM=ON=m，DM=BN= 15m，再∠ACD=∠ADM，∴tan∠ACD=tan∠ADM=AMDM=3m 15m= 155．
本题考查了矩形的性质，相似的运用，其中角平分线证明相似是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
(2)设两个球号码之和为偶数5事件 A，摸出的两个球号码之和为偶数的结果有2种，
∴P(A)=26=13．
【解析】(1)画树状图列举出所有情况即可；
(2)让摸出的两个球号码之和是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
18.【答案】解：∵sin60°= 32，cs30°= 32，tan45°=1，
∴原式= 32+ 32+1=1+ 3．
【解析】根据题意，将特殊角的三角函数值代入即得答案．
解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
19.【答案】解：依题意，c2=ab，
∵a= 3，b=12 3，
∴c2= 3×12 3=36，
∴c=6(负值舍去)，
∴线段c的长为6．
【解析】根据成比例线段的定义得出c2=ab，代入数据进行计算即可求解．
本题考查了比例线段，掌握根据成比例线段的定义得出c2=ab是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设BC交格线于D，连接AD，如图：
线段AD即为所求；
(2)取格点K，过B，K作直线交AC于E，如图：
直线BE即为所求．
理由：由图可得△BHK≌△ATC(SAS)，
∴∠BKH=∠ACT，
∵∠ACT+∠CAT=90°，
∴∠BKH+∠CAT=90°，
∴∠AEK=90°，
∴BE⊥AC．
【解析】(1)设BC交格线于D，连接AD，线段AD即为所求；
(2)取格点K，过B，K作直线交AC于E，直线BE即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，按要求作出图形．
21.【答案】解：(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，
∴a=2，
∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，
∴顶点坐标为(−1,1)；
(2)①把m=−2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，
②∵n≤2，对称轴为x=−1，
∴−2≤m≤0．
【解析】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；
(2)①把m=−2代入解析式即可求n的值；
②由n≤2，在此范围内求m即可．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠A=30°，DE=30m，
∴AE= 3DE=30 3(m)，
∵AB=60m，
∴BE=AB−AE=(60−30 3)m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为(60−30 3)m；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF//DG，
∴∠DCF=∠CDG=37°，
在Rt△DCF中，DF=CF⋅tan37°≈(60−30 3)×0.75=(45−22.5 3)m，
∴EF=DE−DF=30−(45−22.5 3)=22.5 3−15≈24(m)，
∴BC=EF=24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【解析】(1)在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF//DG，从而可得∠DCF=∠CDG=37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，OB=OC，
∴∠DBC=∠ADB，∠DBC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB，
又∠DBE=∠DBC．
∴△BED∽△BOC；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=12BD=1，
∵∠DBE=∠DBC，∠BFE=∠BCF，
∴△BEF∽△BFC，
∴BEBF=BFBC，
即BF2=BE×BC．
∵△BED∽△BOC，
∴BEBO=BDBC，
即BE×BC=BO×BD，
∴BF2=BO×BD=1×2=2，
∴BF= 2．
【解析】(1)根据矩形的性质得出OB=OC，进而利用相似三角形的判定解答即可；
(2)先证明△BEF∽△BFC，得到BF2=BE×BC.再利用(1)中结论△BED∽△BOC，得到BE×BC=BO×BD，从而求出BF的值．
本题考查了矩形的性质，以及相似三角形的应用，两次相似是解答的关键．
24.【答案】解：任务1：
设抛物线解析式为：y=ax2+bx，
抛物线过顶点(2,3)，M(4,0)，
∴3=4a+2b0=16a+4b，
∴a=−34b=3，
∴抛物线解析式为：y=−34x2+3x．
任务2：
∵形状相同，最高高度也相同，
∴设顶点坐标为(m,3)，其中m>0，
∴设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，
∵抛物线过A(0,94)，
∴94=−34(−m)2+3，
∴m2=1，
∴m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
∴抛物线解析式为：y=−34(x−1)2+3，
当y=0时，
−34(x−1)2+3=0，
∴x1=3，x2=−1，
∴OB=3，
即喷泉跨度OB的最小值为3．
任务3：
设F(n,h)，则E(n+2,h)，
∴h=−34n2+3nh=−34(n+2−1)2+3，
∴n=12h=2116，
∴能够进入该安全通道的人的最大身高为2116≈1.3(m)．
【解析】由任务1设抛物线解析式为：y=ax2+bx，代入(2,3)，M(4,0)即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，代入(0,94)即可求抛物线解析式，从而求OB的值；在任务3中，设F(n,h)，则E(n+2,h)，代入对应的抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴∠AGD=∠ADC，
∵∠BAD=α，
∴∠AGD=∠ADC=90°−α；
(2)证明：∵AC⊥GD，∠AGD=90°−α，
∵∠GAC=α，
∵AC=AD，
∴AC=AD，
∵∠ACG=∠ADH，
∴△AGC≌△AHD(ASA)，
∴DH=CG；
(3)解：连接BD，
∵∠GAC=∠BAD=α，
∴CG=BD，
∴CG=BD=DH，
∵CD⊥AB，
∴EH=EB，
∵AB=2BO=2EN=2(NH+EH)，
∴AH+BH=2NH+2EH，
∴AH=2NH，
∵DM⊥AF，
∴∠HDN=90°−∠AGD=α，
∴∠HDN=∠HAD，∠DHN=∠AHD，
∴△HDN∽△HAD，
∴HNHD=HDHA，
设HN=x，则HA=2x，
∵DH=CG= 2，
∴xHD=HD2x，解得x=1，
∵△AGC≌△AHD，
∴AG=AH=2，
∵∠GAC=∠GDC=α，
∴△EDH∽△EAD，
∴EHED=EDEA，
∴ED2=EH⋅EA=DH2−EH2，
设EH=y，
∴y(2+y)=2−y2，
解得y=−1+ 52，
∵∠AGD=∠ADF，∠GAD=∠DAF，
∴△GAD∽△DAF，
∴AF=AD2AG=2y+3= 5+2．
【解析】(1)利用垂径定理证明即可；
(2)通过证明△AGC≌△AHD(ASA)，即可证明所求；
(3)连接BD，先推导出AH=2NH，再证明△HDN∽△HAD，设HN=x，则HA=2x，利用相似的边成比例求出x=1，再证明△EDH∽△EAD，得到ED2=EH⋅EA=DH2−EH2，设EH=y，列出方程求出y=−1+ 52，通过证明△GAD∽△DAF，即可求AF=AD2AG=2y+3= 5+2．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．如何设计喷泉安全通道？
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到(穿梭过程中人的高度变化忽略不计)．
素材1
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2
图2是当喷水头在地面上时(喷水头最低)，其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM=4m，水柱最高点离地面3m.图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
素材3
安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
问题解决
任务1
确定喷泉形状
在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2
确定喷泉跨度的最小值
若喷水管OA最高可伸长到2.25m，求出喷泉跨度OB的最小值．
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限
现在需要一条宽为2m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？(精确到0.1m)
1.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视机，正播放新闻B. 抛一枚硬币正面朝上
C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 我们看到的太阳从东边升起
2.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是( )
A. m4=n5B. mn=54C. mn=45D. m4=5n
3.点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足( )
A. 0
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的14，则∠A的正切值( )
A. 缩小为原来的14B. 扩大为原来的4倍C. 缩小为原来的12D. 没有变化
5.把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( )
A. y=x2+1B. y=x2−2C. y=x2+2x−1D. y=x2−2x−1
6.如果一个扇形的半径是4，圆心角为90°，则此扇形的面积为( )
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
7.如图，已知三条直线l1，l2，l3互相平行，直线a与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，直线b与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点，若DE=3，EF=6，BC=8，则AB的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，AF⊥BC于点F，DE与AF交于点G，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则FG：AG的值为( )
A. 13B. 2−1C. 12D. 22
9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为BD上一点，CF与AB交于点G，若FG>CG，则BF的长的范围为( )
A. 4
A. k=±4B. k=−4或k>3C. k=−4或k>5D. k=±4或k>5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.五边形的内角和等于______度．
12.从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为______．
13.如图，将一个三角形纸板ABC的顶点A放在⊙O上，AB经过圆心，∠A=30°，半径OA=2，则在⊙O上被这个三角形纸板遮挡住的DE的长为______.(结果保留π)
14.如图，已知△ABC的两条中线AD，BE交于点G，过点D作AC的平行线交BE于点F，若△DFG的面积为1，则△AEG的面积为______．
15.已知二次函数y=−(x−2m)2+m，当0≤x≤3m时，y的最小值为n，则n的最大值为______．
16.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△ADE与△FDE关于直线DE对称，点A的对称点F在对角线AC上，连接BF并延长交CD于点G，若FD平分∠AFG，则BFAC的值为______，tan∠ACD的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
(1)采用树状图法(或列表法)列出两次摸球出现的所有可能结果；
(2)求摸出的两个球号码之和为偶数的概率．
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
计算sin60°+cs30°+tan45°的值．
19.(本小题3分)
已知线段c是线段a，b的比例中项线段，若a= 3，b=12 3，求线段c的长．
20.(本小题6分)
由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．
(1)作△ABC的中线AD；
(2)过B作AC的垂线，垂足为E．
21.(本小题8分)
如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E(1,5)．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)若点F(m,n)在该二次函数图象上．
①当m=−2时，求n的值；
②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动.此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
(1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度(结果保留根号)；
(2)求教学楼BC的高度(结果取整数)(参考数据： 3≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
23.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边AD上，∠DBE=∠DBC．
(1)求证：△BED∽△BOC；
(2)如图2，点F在线段BD上，∠BFE=∠BCF，BD=2，求BF的长．
24.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务．
25.(本小题12分)
如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，延长AG，DC交于点F，连接AD，GD，GD与AB交于点H．
(1)若∠BAD=α，用含α的代数式表示∠AGD；
(2)如图2，连接AC，CG，若AC⊥GD，求证：DH=CG；
(3)如图3，在(2)的条件下，作DM⊥AF于点M，DM与AB交于点N，EN=OB，CG= 2，求AF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、打开电视机，正播放新闻，是随机事件，不符合题意；
B、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
D、我们看到的太阳从东边升起，是必然事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：A.因为m4=n5，所以5m=4n，不符合题意；
B.因为mn=54，所以4m=5n，符合题意；
C.因为mn=45，所以5m=4n，不符合题意；
D.因为m4=5n，所以mn=20，不符合题意．
故选：B．
根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP>r，即0
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d
4.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的14，
∴锐角A的对边与邻边的比值不变，
∴锐角A的正切值不变．
故选：D．
根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于锐角对边与邻边的比值．
5.【答案】C
【解析】解：把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到得函数图象y=(x+1)2−2=x2+2x−1，
即y=x2+2x−1，
故选：C．
根据图象向左平移加，向下平移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象平移规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】C
【解析】解：扇形面积为：90π×42360=4π，
故选：C．
根据扇形面积的计算公式直接解答即可．
本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积的计算公式即可．
7.【答案】A
【解析】解：
∵l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF
又∵DE=3，EF=6，BC=8，
∴AB=4
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE～△ABC，
∴S△ADES△ABC=AD2AB2，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴S△ADES△ABC=12=AD2AB2，
∴ADAB= 22，
设AD= 2x，AB=2x，
∴BD=2x− 2x=(2− 2)x，
∵DE//BC，AF⊥BC，
∴FGAG=BDAD=2− 2 2= 2−1．
故选：B．
先说明△ADE～△ABC得出S△ADES△ABC=AD2AB2，再根据题意求出面积之比即可求出相似比，然后表示出BD，根据平行线分线段成比例即可解答．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：作直径CM，
当F在DM(不与D、M重合)上运动时，FG>CG，
∵OE=AE=2，
∴OE=12OA=12OD，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴cs∠DOE=OEOD=12，
∴∠DOE=60°，
∴∠DBE=12∠DOE=30°，
∴∠BDE=90°−∠DBE=60°，
∴∠M=∠BDE=60°，
∵OM=OB，
∴△OBM是等边三角形，
∴BM=OB，
∵AO=2OE=4，
∴MB=OB=AO=4，
∵OE=2，OB=4，
∴BE=2+4=6，
∵sin∠BDE=sin60°=BEBD= 32，
∴BD=4 3
∴BF的长的范围是4
作直径CM，当F在DM(不与D、M重合)上运动时，FG>CG，由cs∠DOE=OEOD=12，求出∠DOE=60°，得到∠DBE=12∠DOE=30°，因此∠BDE=90°−∠DBE=60°，由圆周角定理得到∠M=∠BDE=60°，又OM=OB，判定△OBM是等边三角形，得到BM=OB=4，求出BE=2+4=6，由锐角的正弦求出BD长，即可求出BF的范围．
本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，关键是判定△BOM是等边三角形，由锐角的正弦求出BD的长．
10.【答案】C
【解析】解：设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入可得：
a2+(k−3)a+5=k−a；
整理得：(a−1)2+k(a−1)+4=0，(a−1>−1)；
∵二次函数y=x2+(k−3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，
∴关于(a−1)的二次方程：(a−1)2+k(a−1)+4=0(a−1>−1)，要有唯一解，
∴Δ=(k−2)2−4(5−k)=0，且−k2>−1，解得：k=±4，切k<2，
∴k=−4；
由(a−1)2+k(a−1)+4=0，(显然a=1时，等式不成立)，可得k(a−1)=−[(a−1)2+4]，即k=−[(a−1)+4(a−1)]>5(a−1>−1)，
∴k>5；
综上，k的取值范围为k=−4或k>5．
故选：C．
设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入二次函数，根据题意联立关于a的二次方程，再求值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“k优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
11.【答案】540
【解析】解：五边形的内角和=(5−2)⋅180°=540°．
故答案为：540．
直接根据n边形的内角和=(n−2)⋅180°进行计算即可．
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n−2)⋅180°．
12.【答案】13
【解析】解：∵单词“shuxue”，共6个字母，字母u有2个，
∴抽中u的概率为26=13，
故答案为：13．
“shuxue”中共有6个字母，字母u有2个，根据概率公式可得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】23π
【解析】解：连接OE，
∵∠A=30°，∖ ∴∠DOE=60°，
∵OA=2，
∴DE=50×π×218060π×2180=23π，
故答案为：23π.
连接OE，根据圆周角定理可得出∠DOE的度数，再根据弧长公式可得出答案．
本题考查了圆周角定理、弧长公式的计算，熟记：l=nπr180．
14.【答案】4
【解析】解：∵DF//CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴DFCE=BDBC，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD，
∴DFCE=12，
∵BE为△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴DFAE=12，
∵DF//AE，
∴△DFG∽△AEG，
∴S△DFGS△AEG=(DFAE)2=14，
∴S△AEG=4S△DFG=4×1=4．
故答案为：4．
先证明△BDF∽△BCE得到DFCE=BDBC，则利用AD为△ABC的中线得到DFCE=12，再利用BE为△ABC的中线得到AE=CE，所以DFAE=12，接着证明△DFG∽△AEG，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可计算出S△AEG．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
15.【答案】116
【解析】解：∵二次函数y=−(x−2m)2+m，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=2m，函数有最小值m，
∵0≤x≤3m，
∴当x=0时，y取最小值，则：n=−4m2+m=−4(m−18)2+116；
∴当m=18时，n的最大值为：116．
故答案为：116．
根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，x=2m，结合条件可知当x=0时，y有最小值，从而可得n=−4m2+m=−4(m−18)2+116，即可求解．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答的关键是分析清楚对称轴的情况．
16.【答案】12 154
【解析】解：∵△ADE与△FDE关于直线DE对称，
∴AD=DF，同时∠DAF=∠DFA=α，
∵FD平分∠AFG，
∴∠DFG=∠DFA=α，
∴∠BFC=∠AFG=2∠DFG=2α，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD//BC，OA=OD，
∴∠ACB=∠DAO=α，∠ODA=∠OAD=α，BC=DF，
∴∠DOF=∠OAD+∠ODA=2α=∠BFC，
在△DOF和△BFC中，
∠DOF=∠BFC∠OFD=∠BCFDF=BC，
∴△DOF≌△BFC(AAS)，
∴BF=DO，
∴BFAC=DOAC=12；
连BD，过B作BN⊥AC，
由△DOF≌△BFC得CF=OF，
设CF=OF=2m，
∴BF=DO=OB=4m，
∵BN⊥ON，
∴ON=NF=12OF=m，
∴BN= OB2−ON2= 15m，
∵△ADE与△FDE关于直线DE对称，
∴DE⊥AC，
在△DMO和Δ BNO中，
∠DMO=∠BNO∠MOD=∠BONOD=OB，
∴△DMO≌Δ BNO(AAS)，
∴OM=ON=m，DM=BN= 15m，
∴AM=OA−OM=3m，
∵∠ACD+∠DAM=90°，
∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠ACD=∠ADM，
∴tan∠ACD=tan∠ADM=AMDM=3m 15m= 155．
先利用条件证明△DOF≌△BFC，得到BFAC=12；连BD，过B作BN⊥AC，先证明△DMO≌ΔBNO，得到OM=ON=m，DM=BN= 15m，再∠ACD=∠ADM，∴tan∠ACD=tan∠ADM=AMDM=3m 15m= 155．
本题考查了矩形的性质，相似的运用，其中角平分线证明相似是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
(2)设两个球号码之和为偶数5事件 A，摸出的两个球号码之和为偶数的结果有2种，
∴P(A)=26=13．
【解析】(1)画树状图列举出所有情况即可；
(2)让摸出的两个球号码之和是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
18.【答案】解：∵sin60°= 32，cs30°= 32，tan45°=1，
∴原式= 32+ 32+1=1+ 3．
【解析】根据题意，将特殊角的三角函数值代入即得答案．
解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
19.【答案】解：依题意，c2=ab，
∵a= 3，b=12 3，
∴c2= 3×12 3=36，
∴c=6(负值舍去)，
∴线段c的长为6．
【解析】根据成比例线段的定义得出c2=ab，代入数据进行计算即可求解．
本题考查了比例线段，掌握根据成比例线段的定义得出c2=ab是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设BC交格线于D，连接AD，如图：
线段AD即为所求；
(2)取格点K，过B，K作直线交AC于E，如图：
直线BE即为所求．
理由：由图可得△BHK≌△ATC(SAS)，
∴∠BKH=∠ACT，
∵∠ACT+∠CAT=90°，
∴∠BKH+∠CAT=90°，
∴∠AEK=90°，
∴BE⊥AC．
【解析】(1)设BC交格线于D，连接AD，线段AD即为所求；
(2)取格点K，过B，K作直线交AC于E，直线BE即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，按要求作出图形．
21.【答案】解：(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，
∴a=2，
∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，
∴顶点坐标为(−1,1)；
(2)①把m=−2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，
②∵n≤2，对称轴为x=−1，
∴−2≤m≤0．
【解析】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；
(2)①把m=−2代入解析式即可求n的值；
②由n≤2，在此范围内求m即可．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠A=30°，DE=30m，
∴AE= 3DE=30 3(m)，
∵AB=60m，
∴BE=AB−AE=(60−30 3)m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为(60−30 3)m；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF//DG，
∴∠DCF=∠CDG=37°，
在Rt△DCF中，DF=CF⋅tan37°≈(60−30 3)×0.75=(45−22.5 3)m，
∴EF=DE−DF=30−(45−22.5 3)=22.5 3−15≈24(m)，
∴BC=EF=24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【解析】(1)在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF//DG，从而可得∠DCF=∠CDG=37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，OB=OC，
∴∠DBC=∠ADB，∠DBC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB，
又∠DBE=∠DBC．
∴△BED∽△BOC；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=12BD=1，
∵∠DBE=∠DBC，∠BFE=∠BCF，
∴△BEF∽△BFC，
∴BEBF=BFBC，
即BF2=BE×BC．
∵△BED∽△BOC，
∴BEBO=BDBC，
即BE×BC=BO×BD，
∴BF2=BO×BD=1×2=2，
∴BF= 2．
【解析】(1)根据矩形的性质得出OB=OC，进而利用相似三角形的判定解答即可；
(2)先证明△BEF∽△BFC，得到BF2=BE×BC.再利用(1)中结论△BED∽△BOC，得到BE×BC=BO×BD，从而求出BF的值．
本题考查了矩形的性质，以及相似三角形的应用，两次相似是解答的关键．
24.【答案】解：任务1：
设抛物线解析式为：y=ax2+bx，
抛物线过顶点(2,3)，M(4,0)，
∴3=4a+2b0=16a+4b，
∴a=−34b=3，
∴抛物线解析式为：y=−34x2+3x．
任务2：
∵形状相同，最高高度也相同，
∴设顶点坐标为(m,3)，其中m>0，
∴设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，
∵抛物线过A(0,94)，
∴94=−34(−m)2+3，
∴m2=1，
∴m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
∴抛物线解析式为：y=−34(x−1)2+3，
当y=0时，
−34(x−1)2+3=0，
∴x1=3，x2=−1，
∴OB=3，
即喷泉跨度OB的最小值为3．
任务3：
设F(n,h)，则E(n+2,h)，
∴h=−34n2+3nh=−34(n+2−1)2+3，
∴n=12h=2116，
∴能够进入该安全通道的人的最大身高为2116≈1.3(m)．
【解析】由任务1设抛物线解析式为：y=ax2+bx，代入(2,3)，M(4,0)即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，代入(0,94)即可求抛物线解析式，从而求OB的值；在任务3中，设F(n,h)，则E(n+2,h)，代入对应的抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴∠AGD=∠ADC，
∵∠BAD=α，
∴∠AGD=∠ADC=90°−α；
(2)证明：∵AC⊥GD，∠AGD=90°−α，
∵∠GAC=α，
∵AC=AD，
∴AC=AD，
∵∠ACG=∠ADH，
∴△AGC≌△AHD(ASA)，
∴DH=CG；
(3)解：连接BD，
∵∠GAC=∠BAD=α，
∴CG=BD，
∴CG=BD=DH，
∵CD⊥AB，
∴EH=EB，
∵AB=2BO=2EN=2(NH+EH)，
∴AH+BH=2NH+2EH，
∴AH=2NH，
∵DM⊥AF，
∴∠HDN=90°−∠AGD=α，
∴∠HDN=∠HAD，∠DHN=∠AHD，
∴△HDN∽△HAD，
∴HNHD=HDHA，
设HN=x，则HA=2x，
∵DH=CG= 2，
∴xHD=HD2x，解得x=1，
∵△AGC≌△AHD，
∴AG=AH=2，
∵∠GAC=∠GDC=α，
∴△EDH∽△EAD，
∴EHED=EDEA，
∴ED2=EH⋅EA=DH2−EH2，
设EH=y，
∴y(2+y)=2−y2，
解得y=−1+ 52，
∵∠AGD=∠ADF，∠GAD=∠DAF，
∴△GAD∽△DAF，
∴AF=AD2AG=2y+3= 5+2．
【解析】(1)利用垂径定理证明即可；
(2)通过证明△AGC≌△AHD(ASA)，即可证明所求；
(3)连接BD，先推导出AH=2NH，再证明△HDN∽△HAD，设HN=x，则HA=2x，利用相似的边成比例求出x=1，再证明△EDH∽△EAD，得到ED2=EH⋅EA=DH2−EH2，设EH=y，列出方程求出y=−1+ 52，通过证明△GAD∽△DAF，即可求AF=AD2AG=2y+3= 5+2．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．如何设计喷泉安全通道？
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到(穿梭过程中人的高度变化忽略不计)．
素材1
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2
图2是当喷水头在地面上时(喷水头最低)，其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM=4m，水柱最高点离地面3m.图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
素材3
安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
问题解决
任务1
确定喷泉形状
在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2
确定喷泉跨度的最小值
若喷水管OA最高可伸长到2.25m，求出喷泉跨度OB的最小值．
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限
现在需要一条宽为2m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？(精确到0.1m)
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