2023九年级数学12月月考卷 （含答案）

这是一份2023九年级数学12月月考卷 （含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，羊二，直金十九两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级： 姓名： 学号：
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
2．下列说法正确的是( )
A．“三角形的外角和是360°”是不可能事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力适合用全面调查
C．了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
3．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直径，、分别是上的两点．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
6．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．随着的增大而增大B．图象分布在一三象限
C．当时，D．若在该图象上，则也在该图象上
7．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦AB的长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝4cm，则AB的长是（ ）
A．16cm B．12cm C．8cmD．6cm
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
10．二次函数的图象如图所示，对称轴为．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若代数式有意义，则x的取值范围式 ．
12．不等式组的解集是 ；
13．若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝ cm．
15．学习圆锥有关知识的时候，韩老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是 cm2．
16．已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根为 ；
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A(5，4)，B(1，3)，将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1.
(2)在旋转过程中点B所经过的路径长为_______.
(3)求在旋转过程中线段OB扫过的图形的面积.
20．为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图），
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m= ，n= ，并将条形统计图补充完整；
（2）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？
（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为．
(1)直接写出一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)求的面积．
22．如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
(1)证明：四边形EFGB是菱形；
(2)若，求DF的长度．
23．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．
(1)试说明：直线为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
24．定义：（i）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1=y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（ii）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．
（1）判断函数y=x+m与y=是否为“合作函数”，如果是，请求出m=2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
（2）判断函数y=x+m与y=3x-1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
（3）已知函数y=x+m与y=x2-（2m+1）x+（m2+3m-3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；
②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
B中矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
C中菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
D平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．解题的关键在于对中心对称图形与轴对称图形定义的正确理解．
2．C
【分析】根据事件发生的可能性大小，抽样调查的定义，概率的计算分别判断．
【详解】解：A、“三角形的外角和是360°”是必然事件，故该项说法不正确；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合用抽样调查，故该项说法不正确；
C、了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查，故该项说法正确；
D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，但是中靶与不中靶不是等可能事件，故他击中靶的概率不是，故该项说法不正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了事件发生的可能性大小，抽样调查的定义，概率的计算，正确理解各知识点是解题的关键．
3．A
【分析】根据三角形三边关系定理判断得出答案.
【详解】A：5<4+3，A能摆成三角形，故A选项正确；
B：8+7=15，B不能摆成三角形，故B选项错误；
C：5+5<11，C不能摆成三角形，故C选项错误；
D：13+7=20，D不能摆成三角形，故D选项错误;
故答案选择A.
【点睛】本题考查的是三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
4．A
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组．
【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
5．A
【分析】连接OC，根据圆周角定理计算即可；
【详解】连接OC，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确计算是解题的关键．
6．D
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
【详解】解：中，，
（1）在每个象限内，随的增大而增大，故A错误，
（2）图象分布在二、四象限，故B错误，
（3）当时，；当时，，故C错误，
（4）图象关于原点对称，故若在该图象上，则也在该图象上，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．
7．C
【分析】先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：，PB为的切线，
，
，
为等边三角形，
．
故选C．
【点睛】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
8．B
【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵OA＝3OD，OB＝3CO，
∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴AB＝3CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝12cm，
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
9．B
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．C
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0；
因为图象与y轴交于负半轴，
∴得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且，
∴2a+b=0，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴△=，即，选项②正确；
∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），
∴x=2时，y＜0，即，选项③错误；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴，
把b=﹣2a代入得：，选项④正确，
故选：C．
11．/
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的口诀，即可得出答案.
【详解】
由①可得：x≤4
由②可得：
∴此不等式组的解集为：
故答案为.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题关键.
13．八（或8）
【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：根据正多边形的每一个内角为
正多边形的每一个外角为：
多边形的边数为：
故答案为八．
【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键．
14．4
【详解】∵AB=2cm，AB=AB1，
∴AB1=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，AE=CE，
∴∠ABE=∠AB1E=90°
∵AE=CE
∴AB1=B1C
∴AC=4cm．
15．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，据此解答即可．
【详解】解：∵底面圆的半径为3，
∴则底面周长＝=6π（cm），
∴侧面面积6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π
【点睛】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．-6
【分析】根据“关于的一元二次方程有一个根为”求出n的值，将n的值代入一元二次方程中，即可得出答案.
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为
∴
解得：n=-3
将n=-3代入一元二次方程中得：
解得：x=1或-6
故答案为-6.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.
17．
【分析】根据实数混合运算法则，先算乘方，绝对值，负指数幂，零指数幂，化简二次根式，然后再合并同类项即可．
【详解】解：
＝－1－（－1）＋4×1－2
＝－1－＋1＋4－2
＝．
【点睛】本题考查实数的混合运算，负指数幂，零指数幂，二次根式，掌握实数的混合运算，负指数幂，零指数幂，二次根式是解题关键．
18．；0
【分析】根据单项式乘以多项式法则，乘法公式化简，合并同类项即可．
【详解】∵
=
=
=，
当时，
原式=
=
=0．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式，准确掌握公式和法则是化简计算的关键．
19．(1)见解析；(2)l=；(3)s=.
【分析】（1）将OA、OB分别绕点O逆时针旋转90°，可得线段OA1 、OB1，然后连接A1B1，△A1OB1即为所求；
（2）根据勾股定理求出OB，然后利用弧长公式计算即可；
（3）根据勾股定理求出OA，然后由旋转可知：S△A1OB1= S△AOB，然后根据扇形面积公式分别算出S扇形A1OA和S扇形B1OB，由图可知线段AB扫过的图形的面积=S扇形A1OA＋S△A1OB1－S扇形B1OB－S△AOB代入计算即可.
【详解】解：（1）将OA、OB分别绕点O逆时针旋转90°，可得线段OA1 、OB1，然后连接A1B1，如图所示：△A1OB1即为所求；
（2）由勾股定理可得：
∴旋转过程中点B所经过的路径长l=；
（3）由图可知：线段OB扫过的图形的面积=S扇形B1OB=2.5π
【点睛】此题考查的是图形的旋转、求点的运动路径长和线段所扫过的面积，掌握旋转图形的画法、弧长公式和扇形面积公式是解决此题的关键.
20．(1)25，108；画图见解析（2）600人；（3）．
【分析】（1）先利用参加踢毽活动小组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算m的值和n的值，然后补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体，用2000乘以样本中参加足球活动小组的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）调查的总人数=15÷15%=100（人），
所以m%=×100%=25%，即m=25，
参加跳绳活动小组的人数=100-30-25-15=30（人），
所以n°= ，即n=108，
如图，
故答案为：25，108；
（2），
所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率=．
21．(1)；
(2)或
(3)
【分析】（1）先求出点C的坐标，再将、代入，利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）根据图象法，即可得到答案；
（3）先求出点的坐标，得到，再根据，即可求出的面积．
【详解】（1）解：在反比例函数，
，
，
将、代入，得：
，解得：，
一次函数表达式为：；
（2）解：一次函数与反比例函数交点、
由图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）解：一次函数的图象分别与y轴交于点B，
令，则；
，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
22．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据三角形的中位线定理，易证四边形BEFG是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知FE=BE=AB，即可证明四边形EFGB是菱形；
（2）用勾股定理即可求出AB，用中位线顶级可求出DE，由（1）可知FE=BE=AB，最后用DE-EF即可求出DF．
【详解】（1）∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，
∴四边形EFGB是菱形；
（2）∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12，
∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线．
（2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，又是的半径，
直线为的切线．
（2）如图，连接，作，垂足为，则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即的半径为4，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（1）是，当m=2时它们的合作点为-3和1；（2）所以当-5≤m≤3时，函数y=x+m和y=3x-1是“合作函数”，合作点为x=．当m＜-5或m＞3时，函数y=x+m和y=3x-1不是“合作函数”；（3）①2＜m≤6或-3≤m＜1，②m的值为3或3+．
【分析】（1）联立解析式消去y，得到关于x的方程，若方程有实根则这两个函数为“合作函数”；把m=2代入函数，联立解析式求出x的值即为合作点；
（2）联立解析式求出x的值即为合作点，x的值还需要满足条件|x|≤2，从而得到关于m的不等式，求出答案即可；
（3）①联立解析式求出x的值，根据条件“0≤x≤5”和有唯一合作点列出关于m的不等式求解即可；
②共赢点即为y1+y2的最大值，而y1+y2是二次函数且开口向上，所以最大值在端点求得，分别将x=0或5代入解析式求出最大值等于10，得到关于m的方程求解即可．
【详解】（1）若y1=y2时，则x+m=，
∴x2+mx-3=0．
此时△=m2+12＞0，
∴方程总有两个不等实根，
∴函数y=x+m和y=是“合作函数”．
当m=2时，由x+2=，则x2+2x-3=0
解得：x1=-3，x2=1
所以，当m=2时它们的合作点为-3和1；
（2）若y1=y2时，则x+m=3x-1，
解得，x=．
∵|x|≤2，
∴||≤2．
解得，-5≤m≤3．
所以当-5≤m≤3时，函数y=x+m和y=3x-1是“合作函数”，合作点为x=．
当m＜-5或m＞3时，函数y=x+m和y=3x-1不是“合作函数”．
（3）①由y1=y2得，x+m=x2-（2m+1）x+（m2+3m-3）
即x2-（2m+2）x+（m2+2m-3）=0，
∴x1=m-1，x2=m+3．
又∵0≤x≤5且有唯一合作点，
∴或
解得，2＜m≤6或-3≤m＜1．
②y1+y2=x+m+x2-（2m+1）x+（m2+3m-3）
=x2-2mx+m2+4m-3
当x=0取最大值时，y1+y2=m2+4m-3=18
解得，m1=-7（舍去），m2=3．
当x=5取最大值时，y1+y2=25-10m+m2+4m-3=18，
解得，m1=3-（舍去），m2=3+．
综上，m的值为3或3+．
【点睛】考查了二次函数性质和一元二次方程根的情况，联立解析式组成方程组，将合作点问题转化为方程是否有解得问题是解决此题的关键．
25．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．