数学七年级上册3.4 整式的加减练习题

这是一份数学七年级上册3.4 整式的加减练习题，共63页。试卷主要包含了 解题思维过程， 常见的数列规律等内容，欢迎下载使用。

1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：
①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系．
②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系．
③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系．
④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．
⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．
2. 常见的数列规律：
①1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
②2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
③2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
④2，6，12，20，…，（为正整数）．
⑤，，，，，，…，（为正整数）．
⑥特殊数列：
（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，．
（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．
【经典题型一 数字排列规律】
【例1】（2023·云南临沧·统考二模）按一定规律排列的一列数依次为，，，，…，按此规律排列下去，这组数中的第8个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）有一列数，按照一定规律排列成1，，9，，81，……．其中第6，第7，第8三个数的和是 ．
3．（2023·广东河源·统考二模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，第2023个等式是： ．
4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）观察下列等式并回答问题：
；；；；……；
(1)可猜想第个的等式为______________________.
(2)若字母表示自然数，将第个的等式写出来，并验证其正确性.
5．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，解答问题：
，
，
，
…
(1)请根据上述规律填空：____________；
(2)我们知道，任何一个两位数（个数上的数字为，十位上的数字为）都可以表示为，根据上述规律用含的代数式表示的结果，并用所学知识说明你的结论的正确性．
【经典题型二 图形排列规律】
【例2】（2023·山东聊城·统考一模）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第9个图形的菱形个数为（ ）
A．73B．81C．91D．109
2．（2023·江苏淮安·校考一模）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第个图形中小圆点的个数为 ．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是 个．（用含有n的式子表示）
​
4．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）背景阅读：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：，，，，，，，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．
实践操作：


(1)写出斐波那契数列的前 个数；
(2)斐波那契数列的前个数中，有 个奇数？
(3)现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图 的正方形系列：
再分别依次从左到右取 个、 个、 个、 个， 正方形拼成如图 长方形并记为①，②，③，④，⑤ ．
（ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）；
（ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽．
5．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
【经典题型三 图形面积类规律】
【例3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级专题练习）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·云南昆明·七年级云南师大附中校考期中）如图，每格图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积是，第②个图形的面积为，第③个图形的面积为，那么第④个图形的面积为（ ）
①②③④
A． B．C．D．
3．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．若按这个方式继续分割下去，可求得的值为 ．
C
4（2022春·山东青岛·七年级校联考期末）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于 cm2．
5．（2021春·河北张家口·七年级统考期末）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过 次操作．
6．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推…

(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______，的值为______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
①______．
②计算：．
7．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点为格点，如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为“格点正方形”．
(1)【探索发现】按照图形完成下表：
从上述表格中你发现与p、q之间有什么关系？
(2)【继续猜想】类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为有类似（1）中的结论吗？试以图5中格点长方形为例来验证．
(3)【学以致用】在的方格（图6）中画一个格点三角形，使它的面积为5.5，且这个三角形内的格点数最多．
【经典题型四 动点类规律】
【例4】（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与O点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置．
A．887B．903C．90D．1024
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（ ）上．
A．B．C．D．
3．（2023秋·四川广安·七年级统考期末）如图，在正方形中，动点M从点A出发以的速度沿着正方形的边顺时针运动，同时动点N也从点A出发以的速度沿着正方形的边逆时针运动，1s后点M，N都运动到点D，记为第1次相遇，继续进行下去，则第2023次相遇在点 处．
4．（2022·山东聊城·统考中考真题）数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）．
5．（2018秋·浙江绍兴·七年级绍兴市越城区孙端中学阶段练习）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1， B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度
的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为 秒．（结果保留π）
6．（2022秋·贵州贵阳·七年级校联考期中）已知在数轴上，有一动点Q从原点O出发，在数轴上以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……
(1)5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是______；
(2)如果在数轴上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
7．（2022秋·河南洛阳·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．
(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为 ；
(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m•BC（其中m＞1），则点C在数轴上所表示的数为 （用含m的代数式表示）；
(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点Pn为线段BPn﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，pn（n为正整数）．
①请问：当n≥2时，2pn﹣pn﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②记S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求当n＝2022时S的值．
【经典题型五 数列规律】
【例5】（2022秋·广东佛山·七年级石门中学统考阶段练习）如果对大于1的整数w，存在两个正整数x，y，使得，那么这个数w叫做智慧数（如，）．已知智慧数按从小到大排列，构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…那么第2020个智慧数是（ ）
A．2692B．2694C．2696D．2698
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级期中）由6个数组成数列a0，将其中的每个数换成该数在数列a0中出现的次数，可得到一个新的数列a1，例如数列a0：{1，1，3，2，5，2}，则a1：{2，2，1，2，1，2}，当某个数列a0经过变换得到新的数列a1，由a1继续按相同规则变换得到a2，…最终得到数列an﹣1（n≥2）与数列an相同，则an不可能是下列的（ ）
A．{2，4，4，4，2，4}B．{1，3，2，3，2，3}
C．{6，6，6，6，6，6}D．{1，1，1，1，1，1}
2．（2021秋·浙江温州·七年级统考期中）数列：1，4，9，16，25，…，是平方数数列，第n个数用n2表示，数轴上现有一点P从原点出发，依次以平方数数列中的数为距离向左跳跃后再回到其相反数位置记为一次跳跃，第一次向左跳跃1个单位后再回到其相反数位置记为点P1，则点P1表示的数为1．第2次向左跳跃4个单位后再回到其相反数位置记为点P2，则点P2表示的数为3，第3次向左跳跃9个单位后再回到其相反数位置记为点P3，则点P3表示的数为6，……按此规律跳跃，则点P100表示的数为 ．
3．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级…逐步增加时，楼梯的上法数依次为1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的裴波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：
（1）上10级台阶共有 种上法．
（2）这列数的前2020个数中共有 个偶数．
4．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）观察下列数列：
，，，，，，…
(1)第11，12，13个数分别为 ， ， ．
(2)第2022个数是什么？
(3)如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
5．（2022秋·重庆·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）观察按下列规律排列成的一列数：
1，，，，，，，，，，，，，，，，…
这列数也可分组排列：，，，，…
(1)如果按分组排列，请问从左到右依次在第几组？
(2)如果是原数列中的第个数，请先求出的值，再求该数列中前个数的乘积；
(3)在原数列中，未经约分且分母为3的数记为，与它相邻的后一个数记为，是否存在这样的两个数和，使得？如果存在，请写出和的值；若不存在，请说明理由．
【经典题型六 新定义规律】
【例6】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取，则：若，则第次“运算”的结果是( )

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对于有序数对，定义，则的值为（ ）
A．B．245C．D．
2．（2022秋·全国·七年级期末）有一列数，记为，我们记其前n项和为=，定义为这列数的“新海和”，现如果有2020个数，其“新海和”为2021，则2，这2021个数的“新海和”为（ ）．
A．2022B．2020C．2021D．2022
3．（2023·山东济宁·统考二模）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ．
4．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则 ；
（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为 ；
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若，则第2022次“F运算”的结果是
6．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）数学是一门充满思维乐趣的学科．现有的数阵，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数阵中第行第列的数．例如，数阵第3行第2列所对应的数是3，所以．
(1)对于数阵A，的值为 ；若，则x的值可能为 ；
(2)若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；
则称此数阵是“有趣数阵”．
①请判断数阵A是否是“有趣数阵”．你的结论： （填“是”或“不是”）；
②已知一个“有趣数阵”满足，试计算的值．
7．（2022秋·湖南株洲·七年级期末）阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：
解：设S＝2+22+23+…22020①，
①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，
②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，
即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．
然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，…的公比q为______，第4项是______．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝_____（用a1和q的代数式表示）．
(3)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
(4)请你用上述方法求的值．
【经典题型七 规律性问题综合】
【例7】（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199B．200C．201D．202
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西宜春·统考二模）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移动规则是：第次移动个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）

A．、B．、C．、、D．、、
3．（2022秋·河北张家口·七年级统考期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为（是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由与1差的绝对值得到，即为，第四个数是由与差的绝对值得到，即为，…依此类推．
①若，则这列数的前5个数的和为 ；
②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则 ．
4．（2023·湖北恩施·统考二模）观察下列按一定规律排成的一组数：
，从左起第个数记，则 ， ．
5．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则 ．
6．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
．．．……；
下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式的第三项的系数______；
(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；
(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；
②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．
7．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”．
(1)直接写出计算结果：______，______．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）：
①______，
②______．
(3)将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：______．（只写最后结果）．
(4)【结论应用】计算：
专题09 整式的加减探究与表达规律【七大题型】
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：
①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系．
②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系．
③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系．
④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．
⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．
2. 常见的数列规律：
①1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
②2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
③2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
④2，6，12，20，…，（为正整数）．
⑤，，，，，，…，（为正整数）．
⑥特殊数列：
（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，．
（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．
【经典题型一 数字排列规律】
【例1】（2023·云南临沧·统考二模）按一定规律排列的一列数依次为，，，，…，按此规律排列下去，这组数中的第8个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【详解】解：∵一列数依次为，，，，…，，
∴第n个数为：；∴当时，．故选：C．
【变式训练】
1．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【详解】解：由图可得，
第一行有1个数，
第二行有3个数，
第三行有5个数，
第四行有7个数，
，
则第n行有个数，
每一行的最后一个数字的绝对值是：，
∴第2023行从左边数第2023个数的绝对值是，
图中的奇数都是负数，偶数都是正数，
第2023行从左边数第2023个数是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数
2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）有一列数，按照一定规律排列成1，，9，，81，……．其中第6，第7，第8三个数的和是 ．
【答案】【详解】解：，，
，，，
……．
这列数的排列规律是：第（为非负整数）个数为，
第6个数为：，第7个数为：，
第8个数为：，
第6，第7，第8三个数的和是：，故答案为：．
3．（2023·广东河源·统考二模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，第2023个等式是： ．
【答案】【详解】解：第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
第个等式：，
当时，式子为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字规律探究，根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）观察下列等式并回答问题：
；；；；……；
(1)可猜想第个的等式为______________________.
(2)若字母表示自然数，将第个的等式写出来，并验证其正确性.
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】（1）观察第个式子，第个式子，第个式子，第个式子可知第个式子为进而即可解答；
（2）观察第个式子，第个式子，第个式子，第个式子可知第个式子为，再根据整式的混合运算法则即可解答．
【详解】（1）解：∵第个式子，第个式子，第个式子，第个式子，……，
∴第个式子为,
∴第个式子为，
故答案为；
（2）解：∵第个式子，第个式子，第个式子，第个式子，……，
∴第个式子为,理由如下：
∵，，
∴，
∴左边右边，
∴等式成立，
∴第个式子为．
【点睛】本题考查了整式的规律题，整式的混合运算法则，根据已知式子找出规律是解题的关键．
5．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，解答问题：
，
，
，
…
(1)请根据上述规律填空：____________；
(2)我们知道，任何一个两位数（个数上的数字为，十位上的数字为）都可以表示为，根据上述规律用含的代数式表示的结果，并用所学知识说明你的结论的正确性．
【答案】(1)，2401
(2)
【分析】（1）根据题意，由已知算式得出规律解答；
（2）根据题意，由已知算式得出规律，再列式解答．
【详解】（1）解：，2401．
（2）．
因为，
，
所以．
【经典题型二 图形排列规律】
【例2】（2023·山东聊城·统考一模）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒的变化是图②的火柴棒比图①多6根，图③的火柴棒比图②多6根，据此找出规律即可解答．
【详解】由图形可知，第一个金鱼需用火柴棒的根数为：；
第二个金鱼需用火柴棒的根数为：；
第三个金鱼需用火柴棒的根数为：；
…；
第n个金鱼需用火柴棒的根数为：，故选：A．
【变式训练】
1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第9个图形的菱形个数为（ ）
A．73B．81C．91D．109
【答案】C【详解】解：由图可知：
第一个图形：上面由3个菱形，下面有0个菱形，
第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，
第三个图形：上面有10个菱形，下面有3个菱形，
第四个图形：上面有15个菱形，下面有6个菱形，
……
第n个图形：上面有个菱形，下面有个菱形，
∴第9个图形的菱形个数为：．
故选：C．
2．（2023·江苏淮安·校考一模）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第个图形中小圆点的个数为 ．
【答案】144
【分析】根据题目中各个图形的小黑点的个数，可以发现其中的规律，从而可以得到第个图形中小圆点的个数．
【详解】解：由题意可得，
第一个图形的小圆点的个数为：，
第二个图形的小圆点的个数为：，
第三个图形的小圆点的个数为：，

第十个图形的小圆点的个数为：，故答案为：．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是 个．（用含有n的式子表示）
​
【答案】【详解】解：由图形可知：
第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，
第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
…，
∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方
4．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）背景阅读：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：，，，，，，，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．
实践操作：


(1)写出斐波那契数列的前 个数；
(2)斐波那契数列的前个数中，有 个奇数？
(3)现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图 的正方形系列：
再分别依次从左到右取 个、 个、 个、 个， 正方形拼成如图 长方形并记为①，②，③，④，⑤ ．
（ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）；
（ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽．
【答案】(1)，，，，，，，，，(2)
(3)（ⅰ）；；；（ⅱ）长为 ，宽为
②根据（1）中结果及规律即可得到序号为⑩的长方形长和宽．
【详解】（1）写出斐波那契数列的前10个数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55
（2）奇偶特点：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……，3个一周期.
奇数：（个），故答案为：；
（3）（i）通过计算相对应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）
序号为①的长方形的周长为；序号为②的长方形的周长为；
序号为③的长方形的周长为；序号为④的长方形的周长为；
序号为⑤的长方形的周长为；
（ii）由（1）得，第11个数为，
第10个长方形的长为：；宽为：．
【点睛】本题主要考查规律型—数字的变换类，根据已知找出正确的规律是解题关键．
5．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)45，22(2)图n中，○的个数，▲的个数．
【分析】（1）根据图形总结规律，直接得出结果；
（2）根据（1）即可得到规律．
【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数，
图2，○的个数，▲的个数，
图3，○的个数，▲的个数，
图4，○的个数，▲的个数，
故答案为：45，22；
（2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数．
【经典题型三 图形面积类规律】
【例3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出正方形的面积为1，根据题意易得第1次操作后右下角的小正方形面积=，第2次操作后右下角的小正方形面积=×=（）2，第3次操作后右下角的小正方形面积=（）3，于是可得到n次操作后右下角的小正方形面积为的n次方，然后把n=2021代入即可得到答案
【详解】解：正方形的面积=1×1=1，
∵第1次操作后右下角的小正方形面积=，
第2次操作后右下角的小正方形面积=×=（）2，
第3次操作后右下角的小正方形面积=（）3，
…
∴第2021次操作后右下角的小正方形面积=（）2021．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级专题练习）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【详解】解：图2阴影部分面积＝，图3阴影部分面积＝
图4阴影部分面积＝图5阴影部分面积＝故选：B．
2．（2022秋·云南昆明·七年级云南师大附中校考期中）如图，每格图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积是，第②个图形的面积为，第③个图形的面积为，那么第④个图形的面积为（ ）
①②③④
A． B．C．D．
【答案】A【详解】解：第①个图形有2个小长方形，面积为1×2×3=6cm2，
第②个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3×3=18cm2，
第③个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4×3=36cm2，
第④个图形有4×5=20个小正方形，面积为4×5×3=60cm2．故选：A．
3．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．若按这个方式继续分割下去，可求得的值为 ．
C
【答案】
【分析】根据题意，阴影部分的面积刚好站正方形总面积的，可以看成是①②③④⑤部分的面积总和，总面积减去阴影部分面积，根据此规律可以得出答案；
【详解】解：根据题意可得，阴影部分面积占总的面积，
可以看成是①②③④⑤部分的面积总和，总面积减去阴影部分面积，
∴，
∴故答案为：
4（2022春·山东青岛·七年级校联考期末）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于 cm2．
【答案】50
【分析】根据等腰直角三角形的面积求出边长，再求出7号的面积和斜边长，求出整个正方形的面积，然后减去空白图形的面积，剩余就是阴影部分的面积．
【详解】解：设编号5的边长是x，则4号的边长是x．∵5对应的面积等于5cm
∴ ∴∴7号的面积，斜边长
∴七巧板拼成的最大正方形的面积是：
∴阴影面积是：80-5-5-20=50cm²
故答案为：50．
【点睛】此题考查求阴影部分的面积，解题的关键把不规则的图形转换成规则图形的面积，利用已知面积
5．（2021春·河北张家口·七年级统考期末）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．二次操作：分别延长，，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过 次操作．
【答案】4
【分析】先根据已知条件求出及的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】解：连接，∵
∴与的面积相等，
∵面积为1，∴
∵∴
同理可得，
同理可证的面积=7×的面积=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作．
故答案为：4．
【点睛】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
6．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推…

(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______，的值为______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
①______．②计算：．
【答案】(1)（或填）；（或填）(2)①，②
【分析】（1）根据图形即可得出第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的比例；根据图形可得表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积；
（2）①根据题意可得，的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面积；② 将原式转化为，再进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的（或填）；
根据图形可得表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积，
故；故答案为：①（或填）；（或填）；
（2）解：①根据题意可得，的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面积，
∴．故答案为：；
②原式
．
7．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点为格点，如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为“格点正方形”．
(1)【探索发现】按照图形完成下表：
从上述表格中你发现与p、q之间有什么关系？
(2)【继续猜想】类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为有类似（1）中的结论吗？试以图5中格点长方形为例来验证．
(3)【学以致用】在的方格（图6）中画一个格点三角形，使它的面积为5.5，且这个三角形内的格点数最多．
【答案】(1)(2)有类似结论，证明见解析(3)见解析
【分析】（1）通过图1至图4可知，每个图形中格点正方形面积等于；
（2）计算出图5中的p，q，，，可知有类似结论；
（3）按要求作图即可，注意不能使三角形的边在格线上．
【详解】（1）解：
观察可知，；
（2）解：有类似结论．
观察图5可知，，，，
，
因此；
（3）解：如图，
．
【点睛】本题考查图形中的规律型问题，读懂题意，从已知图形中找出规律是解题的关键．
【经典题型四 动点类规律】
【例4】（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与O点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可得跳动n次离原点的长度为，代入计算即可；
【详解】解：由题意得，
∵第一次跳动到的中点处时，
∴，
同理第二次从处跳动到处时离原点的长度为，
第二次从处跳动到处时离原点的长度为，
…
∴跳动n次离原点的长度为，
∴2023次跳动后的点与点的距离是；
故选D．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离，，准确分析计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置．
A．887B．903C．90D．1024
【答案】B
【分析】由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可；
【详解】解：由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，
由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为，
∵，
∴点从跳到跳动了：，
故选：B．
【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（ ）上．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的4倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；
从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，
从第2次相遇起，5次一个循环．
因此可得：从开始出发起，每次相遇的位置依次是：，，点，，；依次循环．
故它们第2021次相遇位置在边上．故选：D．
3．（2023秋·四川广安·七年级统考期末）如图，在正方形中，动点M从点A出发以的速度沿着正方形的边顺时针运动，同时动点N也从点A出发以的速度沿着正方形的边逆时针运动，1s后点M，N都运动到点D，记为第1次相遇，继续进行下去，则第2023次相遇在点 处．
【答案】B
【分析】M和N相遇一次所用的时间为1秒，即按M路线每一次相遇正好前进一个边长，到达下一个顶点，再由，可求出结果．
【详解】解：M和N相遇一次的时间为1秒，
即每一次相遇M正好前进一个边长，到达下一个顶点，
∵，
∴第2023次相遇在B处．
故答案为：B．
4．（2022·山东聊城·统考中考真题）数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）．
【答案】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4=，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【详解】由于OA=4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，
故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．
故答案为4-．
【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
5．（2022秋·浙江绍兴·七年级绍兴市越城区孙端中学阶段练习）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1， B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度
的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为 秒．（结果保留π）
【答案】10+55π ．【分析】观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，然后可得到动点M到达A10点处运动的单位长度=4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10），然后除以速度即可得到动点M到达A10点处所需时间．
【详解】动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，
∵10=4×2.5，∴动点M到达A10点处运动的单位长度=4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10）=10+55π；
∴动点M到达A10点处运动所需时间=（10+55π）÷1=（10+55π）秒，
故答案为10+55π.
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，解题的关键是通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了圆的周长公式．
6．（2022秋·贵州贵阳·七年级校联考期中）已知在数轴上，有一动点Q从原点O出发，在数轴上以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……
(1)5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是______；
(2)如果在数轴上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，分钟或分钟
【分析】（1）先找出点Q每次移动的距离的规律、每次移动后所处位置对应的数出现的规律，计算出移动的次数和移动5秒后点Q的位置对应的数；
（2）分两种情况讨论：当点A在原点右边时，当点A在原点左边时，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，点Q每次移动的距离（单位长度）的规律是：
1，2，3，4，5，…，
点Q每次移动后所处位置对应的数出现的规律是：
，…，设点Q第n次移动后所处位置对应的数为x，
当n为奇数时，则x为正数，且，
当n为偶数时，则x为负数，且，
∵（单位长度），（单位长度），
∴第5次移动完对用的数是，
∴，
∴5秒后点Q的位置对应的数是．
故答案为：．
（2）解： ①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，
解得
∴动点Q走过的路程是
，
∴第一次与点A重合需时间秒分钟，
②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则，
解得，
∴动点Q走过的路程是
，
∴第一次与点A重合需时间秒分钟；
综上所述，第一次与点A重合需时间为分钟或分钟．
【点睛】本题考查数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数，注意要分情况讨论求解，弄
7．（2022秋·河南洛阳·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．
(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为 ；
(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m•BC（其中m＞1），则点C在数轴上所表示的数为 （用含m的代数式表示）；
(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点Pn为线段BPn﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，pn（n为正整数）．
①请问：当n≥2时，2pn﹣pn﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②记S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求当n＝2022时S的值．
【答案】(1)2或；(2)或；(3)①2pn﹣pn﹣1为定值为1；②2022
【分析】（1）分情况讨论：根据图形中AQ与BQ的关系列等式可得结论；
（2）同理根据（1）分情况讨论，由图形AC+BC=1或AC-BC=1，可得结论；
（3）①根据中点的定义依次得：P1表示的数为，P2表示的数为，P3表示的数为，…，Pn-1表示的数为，Pn表示的数为，代入计算2pn-pn-1的值可得结论；
②由①得：当n=2022时，2P2022-P2022=1，2P2022=P2022+1，同理得：2P2022=P2017+1，2P2017=P2016+1，2P2016=P2015+1，…，2P2=P1+1，代入计算可得结论．
【详解】（1）分两种情况：
①当Q在A、B之间时，如图1，
∵AQ＝2QB，AQ+BQ＝1，
∴AQ，即Q点在数轴上所表示的数为；
②当Q在点B的右边时，如图2，
∵AQ﹣BQ＝1，AQ＝2BQ，
∴AQAQ＝1，
∴AQ＝2，即Q点在数轴上所表示的数为2，
综上，Q点在数轴上所表示的数为2或；
故答案为：2或；
（2）∵AC＝m•BC，
∴BC，
分两种情况：
①当C在A、B之间时，如图3，
∵AC+BC＝1，
∴AC1，AC，即C点在数轴上所表示的数为；
②当C在点B的右边时，如图4，
∵AC﹣BC＝1，∴AC1，
∴AC，即C点在数轴上所表示的数为，
综上，C点在数轴上所表示的数为或；
故答案为：或；
（3）①由题意得：P1表示的数为，P2表示的数为，P3表示的数为，…，Pn﹣1表示的数为，Pn表示的数为，
∴当n≥2时，2pn﹣pn﹣1＝21，
则当n≥2时，2pn﹣pn﹣1为定值为1；
②由①得：当n＝2022时，2P2022﹣P2022＝1，2P2022＝P2022+1，
同理得：2P2022＝P2017+1，2P2017＝P2016+1，2P2016＝P2015+1，…，2P2＝P1+1，
∴S＝p1+p2+p3+…+p2022+2p2022，
＝p1+p2+p3+…+p2022+P2022+1，
＝p1+p2+p3+…+2p2022+1，
＝p1+p2+p3+…+2p2017+2，
＝p1+2p2+2017，
＝2P1+2022，
＝2022
【经典题型五 数列规律】
【例5】（2022秋·广东佛山·七年级石门中学统考阶段练习）如果对大于1的整数w，存在两个正整数x，y，使得，那么这个数w叫做智慧数（如，）．已知智慧数按从小到大排列，构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…那么第2020个智慧数是（ ）
A．2692B．2694C．2696D．2698
【答案】C【分析】将所给的数每3个为一组进行分组，通过分组发现：从第二组开始，每组的第一个数是（且为正整数），第二个数是，第三个数是，由此可知第2020个智慧数是第674组第1个数，再求解即可．
【详解】解：∵3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，
∴，，，，，，…，
∴从第二组开始，每组的第一个数是（且为正整数），
第二个数是，第三个数是，
∵，∴第2020个智慧数是第674组第1个数，
∴4×674＝2696，故选：C．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级期中）由6个数组成数列a0，将其中的每个数换成该数在数列a0中出现的次数，可得到一个新的数列a1，例如数列a0：{1，1，3，2，5，2}，则a1：{2，2，1，2，1，2}，当某个数列a0经过变换得到新的数列a1，由a1继续按相同规则变换得到a2，…最终得到数列an﹣1（n≥2）与数列an相同，则an不可能是下列的（ ）
A．{2，4，4，4，2，4}B．{1，3，2，3，2，3}
C．{6，6，6，6，6，6}D．{1，1，1，1，1，1}
【答案】D【分析】根据已知数列的规律判断即可；
【详解】A．a0＝{2，4，4，4，2，4}，a1＝{2，4，4，4，2，4}，……，an＝{2，4，4，4，2，4}，符合；B．a0＝{1，3，2，3，2，3}，a1＝{1，3，2，3，2，3}，……，an＝{1，3，2，3，2，3}，符合题意；
C．a0＝{6，6，6，6，6，6}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，an＝{6，6，6，6，6，6}，符合题意；
D．a0＝{1，1，1，1，1，1}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，an＝{6，6，6，6，6，6}，不符合题意；
故选：D．
2．（2021秋·浙江温州·七年级统考期中）数列：1，4，9，16，25，…，是平方数数列，第n个数用n2表示，数轴上现有一点P从原点出发，依次以平方数数列中的数为距离向左跳跃后再回到其相反数位置记为一次跳跃，第一次向左跳跃1个单位后再回到其相反数位置记为点P1，则点P1表示的数为1．第2次向左跳跃4个单位后再回到其相反数位置记为点P2，则点P2表示的数为3，第3次向左跳跃9个单位后再回到其相反数位置记为点P3，则点P3表示的数为6，……按此规律跳跃，则点P100表示的数为 ．
【答案】5 050【详解】解：根据题意得：点 表示的数为1，
点 表示的数为1，点 表示的数为3=2+1，
点 表示的数为6=3+2+1，点 表示的数为10=4+3+2+1，
由此得到规律，点 表示的数为 ，
所以点P100表示的数为 ．
故答案为：5 050
3．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级…逐步增加时，楼梯的上法数依次为1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的裴波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：
（1）上10级台阶共有 种上法．
（2）这列数的前2020个数中共有 个偶数．
【答案】 89 673
【分析】（1）认真观察不难发现，这列数中，任意相邻两个数的和都等于相邻的后一个数，也就是第10个数应该是第8个、9个的和；
（2）观察发现，每3个数中必有一个偶数，且偶数在3个数中间，依此规律可求出问题答案．
【详解】解：（1）∵1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，
∴上10级台阶共有89种上法；
（2）∵2020÷3=673…1，
∴偶数个数为673个．
【点睛】本题考查了数字型规律，根据已知条件找寻数列中的规律是解题的关键．
4．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）观察下列数列：
，，，，，，…
(1)第11，12，13个数分别为 ， ， ．
(2)第2022个数是什么？
(3)如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
【答案】(1)，，
(2)第2022个数为；
(3)这一列数无限排列下去，与0越来越接近．
【分析】（1）看成，数列，，，，，，…观察分子分母，可得其值；
（2）2022是偶数，由（1）规律可得第2022个数的值；
（3）由（1）易得第n项为，当n无限大时，即可得接近的数为0．
【详解】（1）解：，
观察数列，，，，，，…，可得，
第11个数为，
第12个数为，
第13个数为．
故答案为：，，；
（2）解：2022是偶数，
由（1）规律可得，
第2022个数为；
（3）解：观察数列，可得，
第n项的数为，
当n无限大时，接近于0．
∴这一列数无限排列下去，与0越来越接近．
5．（2022秋·重庆·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）观察按下列规律排列成的一列数：
1，，，，，，，，，，，，，，，，…
这列数也可分组排列：，，，，…
(1)如果按分组排列，请问从左到右依次在第几组？
(2)如果是原数列中的第个数，请先求出的值，再求该数列中前个数的乘积；
(3)在原数列中，未经约分且分母为3的数记为，与它相邻的后一个数记为，是否存在这样的两个数和，使得？如果存在，请写出和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)在第203组(2)m=20505，该数列中前个数的乘积为
(3)存在，，
【分析】（1）根据数字分子与分母的变化得出从左往右在第203组；
（2）根据分数的分子和分母的和为n的一组分数有n-1个，依此求出前面202组的分数个数，加上2，即可求出m的值，再根据每组的积为1，求出这m个数的积；
（3）先设第n组中，，，根据，列方程求解即可．
【详解】（1）∵
∴从左到右依次在第203组；
（2）∵的原数列的第个数，从左到右依次在第203组；
∴：
因为每组的积为1，所以该数列中前个数的乘积为；
（3）解：存在，∵未经约分且分母为3的数记为，与它相邻的后一个数记为，
则为某组的倒数第3个数，为倒数第2个数，
设它们在第组，则，∵
∴即
，
∴或（舍去）
∴，；
【经典题型六 新定义规律】
【例6】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取，则：若，则第次“运算”的结果是( )

A．B．C．D．
【答案】B【分析】分别计算出前次“运算”的结果即可得到规律，根据规律求解即可．
【详解】解：当时，第1次“F运算”的结果是，
第次“运算”的结果是，
第次“运算”的结果是，
第次“运算”的结果是，
第次“运算”的结果是，
第次“运算”的结果是，
…
∴可知每次运算为一个循环，运算的结果为，，，，，循环出现，
∵，
∴第次“运算”的结果与第次“F运算”的结果相同，即为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确进行计算找到数字间的规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对于有序数对，定义，则的值为（ ）
A．B．245C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，首先计算首尾两组数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
，
，
……
，
∴原式，故选：D．
【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，找到规律是解题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级期末）有一列数，记为，我们记其前n项和为=，定义为这列数的“新海和”，现如果有2020个数，其“新海和”为2021，则2，这2021个数的“新海和”为（ ）．
A．2022B．2020C．2021D．2022
【答案】D【分析】根据“新海和”的定义分析可得：2020个数，其“新海和”为2021，即．同理根据定义求新数列2，这2021个数“新海和”．
【详解】解：∵，
∴，
∴2，这2021个数的“新海和”为
．
故选：D．
3．（2023·山东济宁·统考二模）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中给出的信息，依次算出、、，然后找出规律，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴， ，，……，
∴每3次运算结果循环出现一次，
∵，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，找数字规律，解题的关键是理解题意，算出、、，找出规律．
4．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则 ；
（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为 ；
【答案】 3
【分析】（1）根据定义得，代入数据求出数值即可；根据题意依次写出的数值，找到规律，根据规律即可求得数值．
【详解】（1）解：有理数a和b是一对“友好数”
将代入得：
（2）当时，
得：，，，，，，，．．．
发现6个数为一周期，
故答案为：；
【点睛】本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．
5．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若，则第2022次“F运算”的结果是 ．
【答案】8
【分析】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，然后即可写出第2022次“F”运算的结果．
【详解】解：由题意可得，
当n=898时，第一次输出的结果为449，
第二次输出的结果为1352，
第三次输出的结果为169，第四次输出的结果为512，
第五次输出的结果为1，
第六次输出的结果为8，
第七次输出的结果为1，
…，
由上可得，从第五次开始，依次以1，8循环出现，
∵（2022-4）÷2
=2022÷2
=1009，
∴第2022次“F运算”的结果是8，
故答案为：8．
6．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）数学是一门充满思维乐趣的学科．现有的数阵，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数阵中第行第列的数．例如，数阵第3行第2列所对应的数是3，所以．
(1)对于数阵A，的值为 ；若，则x的值可能为 ；
(2)若一个的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；
则称此数阵是“有趣数阵”．
①请判断数阵A是否是“有趣数阵”．你的结论： （填“是”或“不是”）；
②已知一个“有趣数阵”满足，试计算的值．
【答案】(1)2；1、2、3(2)①是；②1
【分析】（1）根据定义为数阵中第行第列的数即可求解；
（2）①根据“有趣数阵”定义即可求解；
②根据；，将变形得到即可求解；
【详解】（1）解：对于数阵，的值为2；若，
则的值为1，2，3，
故答案为：2；1或2或3；
（2）①由数阵图可知，数阵是“有趣数阵”．故答案为：是；
②，，
，
，
，
，
．
7．（2022秋·湖南株洲·七年级期末）阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：
解：设S＝2+22+23+…22020①，
①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，
②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，
即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．
然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，…的公比q为______，第4项是______．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝_____（用a1和q的代数式表示）．
(3)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
(4)请你用上述方法求的值．
【答案】(1)2，24(2)(3)(4)【详解】（1）解： ，
第4项为 ；（2） ；
（3）设第1项为 ，公比为q，则： ，解得 ，∴ ；
（4）设
得： ，
得： ，即 ，
∴ ．
【经典题型七 规律性问题综合】
【例7】（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199B．200C．201D．202
【答案】C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．
【详解】解：∵1条直线将平面分成部分，
2条直线将平面最多分成部分，
3条直线将平面最多分成部分，
4条直线将平面形多分成部分……，
∴n条直线将平面最多分成部分，
∴，
∴
．
故选B．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．
2．（2023·江西宜春·统考二模）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋2023次．移动规则是：第次移动个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在处）．按这样的规则，在这2023次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）

A．、B．、C．、、D．、、
【答案】C
【分析】设顶点分别是0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了次后走过的总格数是，然后根据题目中所给的第次移动个顶点得规则，可得到不等式，即可得到答案．
【详解】解：设顶点分别是0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了次后走过的总格数是，
所以应停在格，这时为整数，且使，分别取时，，发现第2，4，5格没有停棋，
若，
设（）代入可得：
，
由此可知，停棋的情形与相同，
所以第2，4，5格没有停棋，即顶点、、棋子不可能停到，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式加减的探究规律，解题的关键是弄清题意，总结归纳出题目中的规律．
3．（2022秋·河北张家口·七年级统考期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为（是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由与1差的绝对值得到，即为，第四个数是由与差的绝对值得到，即为，…依此类推．
①若，则这列数的前5个数的和为 ；
②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则 ．
【答案】 5 6或7
【分析】①根据题意计算，求出前5个数，再进行相加即可；
②分x为偶数和奇数时进行讨论，找到规律即可求x的值．
【详解】解：①当时，前5个数分别为：1，2，1，1，0；
∴前5个数的和为；
故答案为：5．
②x为偶数时：
这列数为：1，x，，1，，，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…，
观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次，直至减到1，然后开始1，0，1循环，
∵前40个数中恰好有10个0，
∴，
则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到1，从第4组开始后10组均为1，0，1，
∴，则；
x为奇数时：
这列数为：1，x，，1，，，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…，
观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次，直至减到2，然后开始1，1，0循环，
∵前40个数中恰好有10个0，
∴，
则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到2，从第4组开始后10组均为1，1，0，
∴，则；
综上所述：x的值为6、7．
故答案为：6或7．
4．（2023·湖北恩施·统考二模）观察下列按一定规律排成的一组数：
，从左起第个数记，则 ， ．
【答案】
【分析】由题意知，为奇数时，为负，为偶数时，为正，由，可知，由题意知，则；其中；，；其中；，，；其中；，，，；其中；，记分母为，可推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的中的满足，由，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，为奇数时，为负，为偶数时，为正，
∵，∴，
∵，
∴；其中；
，；其中；
，，；其中；
，，，；其中；
记分母为，可推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的中的满足，
∵，∴，则，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了数字变化的规律探究．解题的关键在于推导一般性规律．
5．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则 ．
【答案】1327
【分析】分奇数和偶数计算．
【详解】当序号为偶数时，，
∴，
∴；
当序号为奇数时，，
∴，
∴；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探索，正确运用分类思想分成偶数列，奇数列计算是解题的关键．
6．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
．．．……；
下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式的第三项的系数______；
(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；
(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；
②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由题意可求得当时，多项式的第三项的系数是多少，找到规律，即可得出答案；
（2）求得当时，多项式展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；
（3）①首先确定是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将代入求解即可．
【详解】（1）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：；
当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：；
当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：；
当时，多项式的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：；
……
多项式的展开式是一个次项式，第三项的系数为：；
故答案为：；
（2）解：当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；
……
多项式展开式的各项系数之和为，
故答案为：；
（3）解：①，
展开式中含项是其展开式的第二项，
，
故答案为：；
②，
当时，令，
则，
．
【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表示展开式．
7．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”．
(1)直接写出计算结果：______，______．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）：
①______，
②______．
(3)将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：______．（只写最后结果）．
(4)【结论应用】计算：
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由新定义列出算式计算即可；
（2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；
（3）根据（2）的计算结果得出规律；
（4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：①；
②
；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式．
序号
①
②
③
④
⑤
……
周长
6
10



……
图1
图2
图3
图4
○的个数
3
9
21
______
▲的个数
1
4
10
______
格点正方形边上的格点数p
格点正方形内的格点数q
格点正方形面积
图1
4
1
2
______
图2
4
4
______
______
图3
______
4
______
______
图4
4
______
______
______
第1列
第2列
第3列
第1行
1
1
1
第2行
2
2
2
第3行
3
3
3
序号
①
②
③
④
⑤
……
周长
6
10



……
序号
①
②
③
④
⑤
……
周长
6
10
16
26
42
……
图1
图2
图3
图4
○的个数
3
9
21
______
▲的个数
1
4
10
______
格点正方形边上的格点数p
格点正方形内的格点数q
格点正方形面积
图1
4
1
2
______
图2
4
4
______
______
图3
______
4
______
______
图4
4
______
______
______
格点正方形边上的格点数p
格点正方形内的格点数q
格点正方形面积
图1
4
1
2
2
图2
4
4
5
5
图3
12
4
9
9
图4
4
9
10
10
第1列
第2列
第3列
第1行
1
1
1
第2行
2
2
2
第3行
3
3
3