湖北省十堰市郧阳中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

这是一份湖北省十堰市郧阳中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷分为问卷的指定位置上，已知向量,则，已知数列满足,则，的展开式中的系数为，在中，,则下列各式一定成立的是，已知函数的部分图象如图所示，则，若函数的定义域为,且,则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．
2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．若复数，则（ ）
A．i B． C．1 D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量,则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足,则（ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．2
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
6．设抛物线的焦点为F,过点F且倾斜角为的直线与C交于A,B两点，以为直径的圆与准线l切于点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，,则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．在满足的实数对中，使得成立的正整数n的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．22 D．23
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上有4个零点
C．
D．将的图象向右平移个单位，可得的图象
10．若函数的定义域为,且,则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．
11．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
第Ⅱ卷（非选择题 共2分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知集合，则的子集个数为________；
13．在工业生产中轴承的直径服从,购买者要求直径为,不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为________；（若，则）
14．设双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点．满足,直线交双曲线于另一点B,且,则双曲线离心率的一个值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）设等比数列的前n项和为,已知．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前n项和．
16．（15分）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8,4.9,5.0,5.1．视力为正常视力，否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：
（Ⅰ）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关？（不需说明理由）
（Ⅱ）估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
（Ⅲ）已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面,点E,F分别是棱的中点．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）在截面内是否存在点G,使平面,并说明理由．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点P的两条直线分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线的斜率满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明直线过定点；
（Ⅲ）椭圆C的焦点分别为,求凸四边形面积的取值范围．
19．（17分）已知函数．
（Ⅰ）证明曲线在处的切线过原点；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）若,求实数a的取值范围．
数学（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
1~4 ACDC 5~8 ABBD
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．ABC 10．BCD 11．ABD
三、填空题：本大题共3小题．每小题5分，共计15分．
12．4 13．0.1 14．或5
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）（Ⅰ）由题设得,故，
因为数列为等比数列，所以数列，所以； 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以． 13分
16．（15分）（Ⅰ）不能据此判断； 4分
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为，因此第85百分位数一定位于内，由，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8； 9分
（Ⅲ）设“该地区近视学生”，“该地区优秀学生”，
由题设得，
所以 15分
17．（15分）（Ⅰ）以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则，，,设平面的法向量，
则，即，可取,因为，
所以与平面所成角的正弦值为； 7分
（Ⅱ）假设截面内存在点G满足条件，设，
所以,因为平面,所以，所以，解得,这与假设矛盾矛盾，所以不存在点G,使平面． 15分
18．（17分）（Ⅰ）由题设得，解得,所以C的方程为； 4分
（Ⅱ）由题意可设，设，
由，整理得,
由韦达定理得，
由得，即，
整理得,因为，得,解得或时，直线过定点舍去；
时，满足,所以直线过定点． 10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得直线，所以，
由，整理得，
由题意得，
因为，所以，所以，令，
所以，在上单调递减，
所以的范围是． 17分
19．（17分）（Ⅰ）由题设得,所以,
又因为,所以切点为,斜率,
所以切线方程为,即,恒过原点． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
①时，,
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减；
②时，,
时，在上单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③时，，
在上单调递增，在上单调递减； 10分
（Ⅲ）当时，,即，
下面证明当时，,即证,
令,因为,所以，只需证，
即证，令，
，令，
令与在上单调递减，
所以在上单调递减，,
所以存在,使得,即，
所以,
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令时,
所以在上单调递增，所以，
所以,所以在上单调递减，
,
所以在上单调递增，在上单调递减，所以,
综上所述． 17分