初中北师大版2 二次函数的图像与性质优秀复习练习题

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考查题型一 二次函数的图像
（2022秋•綦江区期末）函数与的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】分别讨论与两种情况时一次函数与二次函数的图象的草图，进而求解．
【解答】解：当时，直线从左至右上升，抛物线开口向上，
选项正确，选项，错误．
当时，直线从左至右下降，抛物线开口向下，
选项错误．
故选：．
（2023秋•庐江县期中）函数和函数是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】分别分析当和时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．
【解答】解：①当时：
函数的图象过一、二、三象限，函数的图象开口向下；
不正确，不符合题意．
②当时：
函数的图象过二、三、四象限，函数的图象开口向上；
不正确，不符合题意．
函数的对称轴为直线，
正确，符合题意；不正确，不符合题意．
故选：．
（2022秋•赛罕区校级期末）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象与轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出的符号，即可确定出正确的选项．
【解答】解：．由直线与轴的交点在轴的负半轴上可知，，错误，不符合题意；
．由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意；
．由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意；
．由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确，符合题意．
故选：．
（2023秋•高安市期中）函数与且在同一平面直角坐标系内的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】本题由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，，且对称轴为轴，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：．
考查题型二 二次函数的顶点坐标
（2023秋•温州期中）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
【解答】解：
抛物线，
顶点坐标为，
故选：．
（2023•长兴县一模）抛物线的顶点坐标是
A． 9，B．C．D．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
（2023秋•宾阳县期中）抛物线顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】运用二次函数顶点式的顶点坐标是进行求解．
【解答】解：抛物线顶点坐标是，
故选：．
（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线，当 时，的值随值的增大而增大，则此抛物线的顶点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由抛物线的解析式知开口方向向上，当 时，的值随值的增大而增大，可知对称轴小于或等于，所以顶点在第三象限．
【解答】解：由题意知，
开口向上，
当 时，的值随值的增大而增大，
对称轴或，如图：
抛物线的对称轴为直线，
，
，
△，
抛物线与轴有2个不同的交点，
顶点在第三象限．
故选．
考查题型三 二次函数的开口方向
（2023秋•西城区校级期中）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是
A．向上，B．向上，C．向下，D．向下，
【分析】根据题意可知，然后依据抛物线的顶点式做出判断即可．
【解答】解：，
抛物线开口向下．
抛物线的解析式为，
顶点坐标为．
故选：．
（2023秋•永泰县期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是
A．B．2C．D．
【分析】抛物线的形状与有关，开口方向与的正负有关．
【解答】解：抛物线与的形状相同，开口方向相反，
二次项系数互为相反数，
．
故选：．
（2023秋•防城区期中）二次函数的开口方向和对称轴分别为
A．开口向上，对称轴为B．开口向下，对称轴为
C．开口向下，对称轴为D．开口向下，对称轴为
【分析】根据函数解析式，可以直接写出该函数图象的开口方向和对称轴，本题得以解决．
【解答】解：，
该函数图象的开口向下，对称轴是直线，
故选：．
考查题型四 二次函数的对称轴
（2023秋•武昌区期中）抛物线的对称轴是
A．B．C．D．
【分析】根据题目中的抛物线，利用对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
故选：．
（2023秋•临高县期中）二次函数的对称轴为
A．B．C．D．
【分析】根据函数的顶点式直接写出对称轴．
【解答】解：，
对称轴为直线，
故选：．
（2023秋•莱芜区期中）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是
A．B．C．D．
【分析】根据各解析式判断抛物线对称轴．
【解答】解：．，抛物线对称轴为直线，故符合题意；
．，抛物线对称轴为直线，故不符合题意；
．，抛物线对称轴为直线，故不符合题意；
．，抛物线对称轴为直线，故不符合题意．
故选：．
（2022秋•安次区期末）抛物线的对称轴是直线
A．B．C．D．
【分析】先根据抛物线的解析式得出、的值，再根据抛物线的对称轴方程即可得出结论．
【解答】解：抛物线的解析式为，
，，
其对称轴是直线．
故选：．
考查题型五 根据二次函数的比较大小
（2023秋•宁海县期中）已知点都在函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
，
．
故选：．
（2023秋•温州期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题．
【解答】解：由题知，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
所以抛物线上的点离对称轴越近，则其纵坐标越大．
又因为，，，
且，
所以．
故选：．
（2023秋•南关区校级期中）若点，在抛物线上，则、的大小关系是
A．B．C．D．无法判断
【分析】分别计算自变量为、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当时，；
当时，；
，
．
故选：．
（2023•渭南一模）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点、、到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
点、、到对称轴的距离分别为2、1、3，
．
故选：．
考查题型六 有关二次函数的辨析题
（2023秋•大连期中）对于抛物线下列说法：①对称轴为；②抛物线与轴两交点的坐标分别为，；③顶点坐标为；④若，当时，函数随的增大而增大，其中正确的结论有 个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据对称轴公式，进行计算即可；令，求得方程的解即可；根据顶点坐标公式计算即可；由，得出对称轴的左侧，函数随的增大而增大．
【解答】解：对称轴，故①正确；
令，得，解得或3，
抛物线与轴两交点的坐标分别为，，故②正确；
，
顶点坐标为，故③正确；
当，当时，函数随的增大而增大，故④错误，
故选：．
（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：
①；
②；
③若，则；
④．
其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与轴交点得出，，的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
，
对称轴，，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故选项①正确；
对称轴，又，则，则，故②错误；
，则，
抛物线对称轴为：，，，故选项③正确；
当时，，，则，
，
，
，，（图象与轴交于负半轴），
，故④选项正确．
故选：．
（2023秋•铁东区校级期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④．正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据开口方向、与坐标轴交点个数以及位置、对称轴进行判断即可．
【解答】解：如图：
由图象开口向下，
；
图象交轴于正半轴，
，
，故①对；
根据图像可知对称轴为：，
，
，
，
，
，故③错；
图象与轴有两个交点，
△，即，故②对；
对称轴为：，与一个交点为，
则与轴另一个交点为：，
，故④错；共两个正确，
故答案选：．
（2023秋•建昌县期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【解答】解：如图：
图象开口向下，
，
图象交轴于正半轴，
，
对称轴是直线，
，
，
，
，故①错；
，
，故②对；
图象与轴两个交点，
△，即，故③对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，
时，，故④对；
由图象知：时，，
，
，即，故⑤对；共四个对，
故选：．
考查题型七 二次函数的平移
（2023秋•新洲区月考）在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是
A．B．C．D．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是．
故选：．
（2023秋•丰都县期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是
A．B．C．D．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可．
【解答】解：将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是．
故选：．
（2023秋•张北县期中）在坐标系中，若使抛物线平移后经过原点，则平移的方式可能是
A．向上平移2个单位长度B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度
【分析】由抛物线与坐标轴的交点坐标，结合平移后经过原点即可解决问题．
【解答】解：由题知，
抛物线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．
又因为抛物线平移后经过原点，
当将平移至原点时，
则为向右平移2个单位长度．
当将平移至原点时，
则为向下平移4个单位长度．
所以符合要求的选项为．
故选：．
（2023•广西）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
【解答】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
．
故选：．
考查题型八 二次函数的最值
（2023秋•丽水期中）二次函数的最小值是
A．1B．3C．4D．无法确定
【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案．
【解答】解：由二次函数关系式，
，
抛物线的开口向上，顶点坐标是，
当时，函数值有最小值3．
故选：．
（2023秋•上虞区期中）当时，则以为自变量的函数的最小值是
A．6B．9C．D．
【分析】根据题意，当时，则以为自变量的函数变形为，然后根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
当时，函数有最小值6，
故选：．
（2023秋•九龙坡区校级期中）抛物线经过和，则抛物线的最低点为
A．B．C．D．
【分析】解：由函数的对称性知，其对称轴为直线，得到，则抛物线的表达式为：，即可求解．
【解答】解：由函数的对称性知，其对称轴为直线，
则，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线开口向上，
则抛物线在顶点处取得最小值，
当时，，
即最低点为：，
故选：．
（2023秋•仁寿县期中）已知，则的最大值为
A．3B．5C．D．
【分析】由得到，即，代入得到，即可根据二次函数的性质求得的最大值．
【解答】解：，
，
，
，
，
的最大值为5．
故选：．
（2022秋•龙岩期末）二次函数的顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数的顶点坐标．
【解答】解：二次函数是顶点式，
顶点坐标为．
故选：．
（2023•涪城区模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①由时，，由图象知：，故错误；
②抛物线过点，
，
，，
，
，故正确；
③抛物线交轴的正半轴，
，
，
，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：．
（2023秋•海淀区校级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，不一致；
、由抛物线可知，，由直线可知，，不一致；
都过点，正确；
、由抛物线可知，，由直线可知，，不交于轴同一点，不一致；
、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点，一致；
故选：．
（2023秋•镇江期中）已知二次函数的最小值为5，则 ．
【分析】对于二次函数，当时，则当时，函数有最小值，当时，则当时，函数有最大值．
【解答】解：二次函数解析式为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，函数有最小值，最小值为，
，
故答案为：6．