（全国通用）中考数学总复习 专题03 分式（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题03 分式（10个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析），共26页。

【考点1 分式的定义】
1．（2022·江苏宿迁·模拟预测）下列式子：①13，②3x，③x+14，④xx+y，属于分式的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·广东梅雁东山学校模拟预测）在式子1a；2xyπ；3abc4；56+x；x7+y8；9x+10y；x2x中，分式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2022·广东·吴川市第一中学模拟预测）在下列式子中，属于分式是（ ）
A．3xyπB．xx+1C．x23+1D．4a2bc5
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：当x=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式：_________．
5．（2022·山东临沂·模拟预测）式子①1x，②x+y5，③12−a，④ xπ−1， ⑤1mx+y中，分式有________个
【考点2 分式有意义的条件】
6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式x−22x+5无意义．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）当x=2时，分式x+35x−a无意义，则a=______．
8．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学模拟预测）如果代数式xx−1有意义，那么x的取值范围是__________
9．（2022·江苏连云港·模拟预测）若代数式(3x+3)0+(2x−1)−2有意义，则x的取值范围是___________.
10．（2022·宁夏吴忠·二模）要使14−x有意义，则x的取值范围是________．
【考点3 分式的值为零的条件】
11．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学一模）若分式x−1x+3的值为0，则x=________．
12．（2022·贵州·石阡县教育局教研室模拟预测）已知x2−12+xy−2x+1y+2=0，则1xy+1x+1y+1+⋅⋅⋅+1x+2022y+2022的值是___________．
13．（2022·辽宁葫芦岛·模拟预测）如果分式x+12x+a的值是0，则a的取值范围是__________．
14．（2022·云南·云大附中模拟预测）若分式|y|−55−y的值为0，则y＝_______
15．（2022·江苏·靖江市实验学校模拟预测）当x＝_______时，分式x2−9x+3的值为零．
【考点4 分式的值】
16．（2022·北京东城·二模）若分式xx2+2的值为正，则实数x的取值范围是__________________.
17．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）当x取何整数时，分式6x-1的值是整数？
18．（2022·重庆·中考模拟）探索：（1）如果3x−2x−1=3+nx−1，则n= ；
（2）如果5x−3x+2=5+nx+2，则n= ；
总结：如果ax+bx+c=a+nx+c（其中a、b、c为常数），则n= ；
应用：利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为为整数，求满足条件的整数x的值．
19．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知：x≠y，y=−x+8，求代数式x2x−y+y2y−x的值．
20．（2022·浙江杭州·模拟预测）（1）已知4x−y=0，求分式4xy+y2x2−2xy的值．
（2）已知1x+1y=3，求分式3x−2xy+3yx+xy+y的值．
【考点5 分式的基本性质】
21．（2022·河北·新河县教师发展中心二模）根据分式的基本性质，分式−aa−b可变形为（ ）
A．a−a−bB．ab−aC．aa+bD．aa−b
22．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数b>a>1．则下列各式中比ab的值大的是（ ）
A．2a2bB．a2b2C．a−1b−1D．a+1b+1
23．（2022·河北·一模）如果将分式x2+y2x+y中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．不变
C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的14．
24．（2022·广东江门·一模）把分式13x−1612x+14的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．3x−62x+4B．4x−26x+3C．2x−12x+1D．2x−23x+4
25．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则−x+y−2x−y=___________．
【考点6 约分与通分】
26．（2022·浙江·松阳县教育局教研室二模）化简：x2−9x−3=_____
27．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）（1）约分：3a2b6ab
（2）通分：2b3a2与abc
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）如图，图①是一个边长为a的正方形减去一个边长为1的小正方形，图②是一个边长为a−1的正方形，记图①和图②中阴影部分的面积分别为S1,S2，请化简S1S2．
29．（2022·浙江丽水·一模）从三个代数式：①a2−2ab+b2，②3a−3b，③a2−b2中任选两个分别作为分式的分子和分母：
(1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们．
(2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．
30．（2022·广东·丰顺县球山中学二模）通分：
(1)xx−y，yx2+2xy+y2，2x2−y2；
(2)12x+2，3x2−1，xx2+2x+1．
【考点7 最简分式与最简公分母】
31．（2022·湖北黄冈·三模）下列分式是最简分式的（ ）
A．a+ba2+b2B．aa2−3aC．2a3a2bD．a2−aba2−b2
32．（2022·湖南张家界·二模）分式b2a，a+bab+a，a4−b4a2+b2，m2−8m64−m2中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
33．（2022·广东广州·二模）分式x6xyz与18x2y2的最简公分母是__________．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）下列三个分式1x2−x，5xx2−2x+1，1−xx+x2中的最简公分母是 ______．
35．（2022·河北保定·一模下列四个分式：x+yx2+y2、x−yx2−y2、x−yx2+y2、x+yx2−y2，其中最简分式有__________个．
【考点8 分式的运算】
36．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：a1=31×2×3，a2=52×3×4，a3=73×4×5，…，an=2n+1n(n+1)(n+2)．记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S12=__．
37．（2022·四川自贡·中考真题）化简：a−3a2+4a+4⋅a2−4a−3+2a+2 ＝____________．
38．（2022·西藏·中考真题）计算：a2+2aa⋅aa2−4−2a−2．
39．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：a2−b2a÷a+b2−2aba．
40．（2022·四川泸州·中考真题）化简：(m2−3m+1m+1)÷m2−1m.
【考点9 分式的化简求值】
41．（2022·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a2−2a÷1−1a−2，其中a=4．
42．（2022·湖北宜昌·中考真题）求代数式3x+2yx2−y2+xy2−x2的值，其中x=2+y．
43．（2022·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值：x+2+4x−2÷x3x2−4x+4，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．
44．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简2x2−x÷（x−1x2−x−1），再将x＝5代入求值．
解：原式=2x2−x÷x−1x2−x−2x2−x÷1……第1步
=2x−1−2x2−x⋯⋯第2步
=2xxx−1−2xx−1⋯⋯第3步
=2x−2xx−1⋯⋯第4步
=2x−1xx−1⋯⋯第5步
=2x⋯⋯第6步
当x＝5时，原式=25⋯⋯第7步
(1)以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
45．（2022·辽宁辽宁·二模）先化简，再求值：x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x2，其中x=2+2．
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】
46．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003 m的非油性颗粒．用科学记数法表示0.0000003是（ ）
A．0.3×10−6B．0.3×10−7C．3×10−6D．3×10−7
47．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于2的是（ ）
A．20B．4C．2D．(−2)−1
48．（2022·广东北江实验学校三模）某微生物的直径用科学记数法表示为3.2×10−5，则原数中“0”有_____个．
49．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）−3−2+−780+−1−2019=__________________．
50．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知2x−4+x2+y2+2xy=0，则xy=______． 专题03 分式（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 分式的定义】
1．（2022·江苏宿迁·模拟预测）下列式子：①13，②3x，③x+14，④xx+y，属于分式的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：式子：①13，②3x，③x+14，④xx+y中，②④是分式，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
2．（2022·广东梅雁东山学校模拟预测）在式子1a；2xyπ；3abc4；56+x；x7+y8；9x+10y；x2x中，分式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据分式的定义作答即可．
【详解】解：在式1a；2xyπ；3abc4；56+x；x7+y8；9x+10y；x2x中，
分式的有：1a；56+x；9x+10y；x2x，
即分式有4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
3．（2022·广东·吴川市第一中学模拟预测）在下列式子中，属于分式是（ ）
A．3xyπB．xx+1C．x23+1D．4a2bc5
【答案】B
【分析】根据分式的定义对各选项进行判断即可．
【详解】A．由于在3xyπ中，π是数字，故它是整式，该选项不符合题意；
B．由于在xx+1中，分母中有字母，故它是分式，该选项符合题意；
C．由于在x23+1，分母中不含字母，故它是整式，该选项不符合题意；
D．由于在4a2bc5中，分母中不含字母，故它是整式，该选项不符合题意；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：当x=-2时，分式的值为1，请你写出满足上述全部特点的一个分式：_________．
【答案】-2x
【分析】根据分式的值不为零的条件和当x=-2时，分式的值为1写出一个分式即可．
【详解】解：∵分式的值不可能为0，
∴分子不等于0，
∵当x=-2时，分式的值为1，
∴分式为：-2x．
故答案为：-2x（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·模拟预测）式子①1x，②x+y5，③12−a，④ xπ−1， ⑤1mx+y中，分式有________个
【答案】①③⑤
【分析】根据分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：①1x的分母中含有字母，是分式；
②x+y5的分母中不含有字母，是整式；
③12−a的分母中含有字母，是分式；
④xπ−1的分母中不含有字母，是整式；
⑤1mx+y的分母含有字母，是分式；
综上，①③⑤．
故答案为：①③⑤
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是判断是不是分式，只要判断分母中是否含有字母，需要注意π是一个数，所以分母中含有π的不是分式．
【考点2 分式有意义的条件】
6．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校模拟预测）当x＝_____时，分式x−22x+5无意义．
【答案】−52
【分析】根据分式无意义的条件：分母为零，列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：由题意得，2x＋5＝0，
∴2x=−5,
∴x=−52,
故答案为：−52.
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是解题的关键．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校模拟预测）当x=2时，分式x+35x−a无意义，则a=______．
【答案】10
【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案．
【详解】解：对于分式x+35x−a，
当x=2时，分式无意义，得5×2-a=0，
解得a=10．
故答案是：10．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
8．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学模拟预测）如果代数式xx−1有意义，那么x的取值范围是__________
【答案】x≥0且x≠1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x≥0且x-1≠0，解得x≥0且x≠1，
故填：x≥0且x≠1．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．（2022·江苏连云港·模拟预测）若代数式(3x+3)0+(2x−1)−2有意义，则x的取值范围是___________.
【答案】x≠−1且x≠12
【分析】零次幂和负整数幂均不为0.
【详解】∵代数式(3x+3)0+(2x−1)−2有意义
∴3x+3≠0,2x-1≠0
∴x≠−1且x≠12.
【点睛】本题考查的是代数式，熟练掌握零次幂和负整数幂均不为0是解题的关键.
10．（2022·宁夏吴忠·二模）要使14−x有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x＜4
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组解答即可．
【详解】解：∵14−x有意义
∴4−x≥04−x≠0 ，解得：x＜4．
故答案为x＜4．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，运用二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不等于零列不等式是解答本题的关键．
【考点3 分式的值为零的条件】
11．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学一模）若分式x−1x+3的值为0，则x=________．
【答案】1
【分析】当分式的分子为零，分母不为零时，则分式的分值为零.考点：分式的值为零
【详解】由题意，x-1=0
则x=1
故答案为：x=1
12．（2022·贵州·石阡县教育局教研室模拟预测）已知x2−12+xy−2x+1y+2=0，则1xy+1x+1y+1+⋅⋅⋅+1x+2022y+2022的值是___________．
【答案】20232024
【分析】根据分式等于0的条件可得x=1， y=2，再代入分式求值即可．
【详解】解：∵x2−12+xy−2x+1y+2=0，
∴x2−12+xy−2=0且x+1y+2≠0，
∴x2−12=0，xy−2=0且x≠−1，y≠−2，
∴x=1， y=2，
∴1xy+1x+1y+1+⋅⋅⋅+1x+2022y+2022
=11×2+12×3+⋅⋅⋅+12023×2024
=1−12+12−13+⋅⋅⋅+12023−12014
=1−12014
=20232024，
故答案为：20232024．
【点睛】本题主要主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出x=1， y=2，是关键．
13．（2022·辽宁葫芦岛·模拟预测）如果分式x+12x+a的值是0，则a的取值范围是__________．
【答案】a≠2
【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵分式x+12x+a的值是0，
∴x+1=0，2x+a≠0，
∴x=-1，
∴-2+a≠0，
∴a≠2．
故答案为：a≠2．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
14．（2022·云南·云大附中模拟预测）若分式|y|−55−y的值为0，则y＝_______
【答案】－5
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．
【详解】解：若分式y−55−y的值等于0，
则|y|-5=0，y=±5．
又∵5-y≠0，y≠5，
∴y=-5．
若分式y−55−y的值等于0，则y=-5．
故答案为-5．
【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点，此题很容易出错，不考虑分母为0的情况．
15．（2022·江苏·靖江市实验学校模拟预测）当x＝_______时，分式x2−9x+3的值为零．
【答案】3
【详解】解：由题意得x2−9=0,x+3≠0，
解得x＝3
故答案为：3．
【考点4 分式的值】
16．（2022·北京东城·二模）若分式xx2+2的值为正，则实数x的取值范围是__________________.
【答案】x＞0
【详解】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.
【详解】∵分式xx2+2的值为正，
∴x与x2+2的符号同号，
∵x2+2>0，
∴x>0，
故答案为x>0.
【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.
17．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）当x取何整数时，分式6x-1的值是整数？
【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
【详解】当x-1是6的约数时，分式6x−1的值才是整数.
解：∵分式6x−1的值是整数
∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1
解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
18．（2022·重庆·中考模拟）探索：（1）如果3x−2x−1=3+nx−1，则n= ；
（2）如果5x−3x+2=5+nx+2，则n= ；
总结：如果ax+bx+c=a+nx+c（其中a、b、c为常数），则n= ；
应用：利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】探索：（1）n=1；（2）n=-13；总结：n=b-ac；应用：x=2或x=0．
【分析】(1) 将 3x−2x−1 变形为3 +1x−1, 从而求出n的值
(2) 将 5x−3x+2 变形为5 +−13x+2, 从而求出n的值；ax+bx+c 变形为 a+b−acx+c, 从而求出n的值；
仿上方法将4x−3x−1化为4+1x−1，根据4x−3x−1为整数，得到1x−1为整数，从而确定x的值.
【详解】解： (1)∵3x−2x−1=3+1x−1=3+nx−1
∴n=1
故答案为： 1
(2)∵5x−3x+2=5+−13x+2=5+nx+2
∴n=−13
故答案为：-13
总结 :∵ax+bx+c=a+b−acx+c=a+nx+c
∴n=b−ac
故答案为： b−ac
应用 :∵4x−3x−1=4+1x−1
又∵代数式 4x−3x−1 的值为整数
∴1x−1 为整数
∴x−1=1 或 x−1=−1
∴x=2 或 0
【点睛】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
19．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知：x≠y，y=−x+8，求代数式x2x−y+y2y−x的值．
【答案】8
【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将y=−x+8代入计算可得．
【详解】原式=x2x−y+y2y−x=x2x−y−y2x−y =x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y，
当x≠y，y=−x+8时，
原式=x+(−x+8)=8．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
20．（2022·浙江杭州·模拟预测）（1）已知4x−y=0，求分式4xy+y2x2−2xy的值．
（2）已知1x+1y=3，求分式3x−2xy+3yx+xy+y的值．
【答案】（1）−327；（2）74．
【分析】（1）先根据已知等式可得y=4x，再代入利用分式的基本性质求值即可得；
（2）先根据已知等式可得x+y=3xy，再代入利用分式的基本性质求值即可得．
【详解】（1）∵4x−y=0，
∴y=4x，
∴4xy+y2x2−2xy=4x⋅4x+4x2x2−2x⋅4x，
=16x2+16x2x2−8x2，
=32x2−7x2，
=−327；
（2）∵1x+1y=3，
∴x+yxy=3，即x+y=3xy，
∴3x−2xy+3yx+xy+y=3x+y−2xyx+y+xy，
=9xy−2xy3xy+xy，
=7xy4xy，
=74．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质和整体代入思想是解题关键．
【考点5 分式的基本性质】
21．（2022·河北·新河县教师发展中心二模）根据分式的基本性质，分式−aa−b可变形为（ ）
A．a−a−bB．ab−aC．aa+bD．aa−b
【答案】B
【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【详解】解：−aa−b=ab−a ．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
22．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数b>a>1．则下列各式中比ab的值大的是（ ）
A．2a2bB．a2b2C．a−1b−1D．a+1b+1
【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：因为b>a>1，所以，0A．2a2b=ab，故此选项不符合题意；
B．a2b2C．a−1b−1D．a+1b+1>ab，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
23．（2022·河北·一模）如果将分式x2+y2x+y中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．不变
C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的14．
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：(2x)2+(2y)22x+2y=2x2+2y2x+y,
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
24．（2022·广东江门·一模）把分式13x−1612x+14的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．3x−62x+4B．4x−26x+3C．2x−12x+1D．2x−23x+4
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
13x−1612x+14=(13x−16)×12(12x+14)×12=4x−26x+3，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
25．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则−x+y−2x−y=___________．
【答案】x−y2x+y
【分析】把分子分母同时除以−1，即可求解．
【详解】解：−x+y−2x−y=x−y2x+y．
故答案为：x−y2x+y
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．
【考点6 约分与通分】
26．（2022·浙江·松阳县教育局教研室二模）化简：x2−9x−3=_____
【答案】x+3
【分析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据此化简．
【详解】解：x2−9x−3=x+3x−3x−3 =x+3．
故答案为：x+3.
27．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）（1）约分：3a2b6ab
（2）通分：2b3a2与abc
【答案】（1）a2；（2）2b2c3a2bc与3a33a2bc
【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；
（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．
【详解】解：（1）3a2b6ab=3ab×a3ab×2=a2；
（2）2b3a2与abc最简公分母为：3a2bc，
则：2b3a2=2b×bc3a2×bc=2b2c3a2bc，
abc=a×3a2bc×3a2=3a33a2bc．
【点睛】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）如图，图①是一个边长为a的正方形减去一个边长为1的小正方形，图②是一个边长为a−1的正方形，记图①和图②中阴影部分的面积分别为S1,S2，请化简S1S2．
【答案】a+1a−1
【分析】先利用正方形的面积公式分别求出S1,S2，再利用平方差公式进行化简即可得．
【详解】解：由图可知，S1=a2−1，S2=(a−1)2，
则S1S2=a2−1(a−1)2
=(a+1)(a−1)(a−1)2
=a+1a−1．
【点睛】本题考查了平方差公式、分式的化简，熟记平方差公式是解题关键．
29．（2022·浙江丽水·一模）从三个代数式：①a2−2ab+b2，②3a−3b，③a2−b2中任选两个分别作为分式的分子和分母：
(1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们．
(2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．
【答案】(1)6个，见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用分式的概念可得；
（2）利用分式的基本性质约分化简即可求解．
（1）
解：一共能得到6个不同的分式：
①3a−3ba2−2ab+b2，②a2−b2a2−2ab+b2，③a2−2ab+b23a−3b，④a2−b23a−3b，⑤a2−2ab+b2a2−b2，⑥3a−3ba2−b2．
（2）
解：①3a−3ba2−2ab+b2=3a−ba−b2=3a−b；
②a2−b2a2−2ab+b2=a−ba+ba−b2=a+ba−b；
③a2−2ab+b23a−3b=a−b23a−b=a−b3；
④a2−b23a−3b=a−ba+b3a−b=a+b3；
⑤a2−2ab+b2a2−b2=a−b2a+ba−b=a−ba+b；
⑥3a−3ba2−b2=3a−ba+ba−b=3a+b；
综上可知，③④能化为整式，得：
a2−2ab+b3a−3b=a−b3 a2−b23a−3b=a+b3
【点睛】本题考查了分式的概念和分式的基本性质，熟练掌握分式约分的方法是解题的关键．
30．（2022·广东·丰顺县球山中学二模）通分：
(1)xx−y，yx2+2xy+y2，2x2−y2；
(2)12x+2，3x2−1，xx2+2x+1．
【答案】(1)x(x+y)2(x+y)2(x−y)，y(x−y)(x+y)2(x−y)，2(x+y)(x+y)2(x−y)
(2)(x+1)(x−1)2(x+1)2(x−1)，6(x+1)2(x+1)2(x−1)，2x(x−1)2(x+1)2(x−1)
【分析】（1）先找出最简公分母(x+y)2(x−y)，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母(2x+1)2(x−1)，然后通分即可．
（1）
解：∵yx2+2xy+y2=y(x+y)2，
2x2−y2=2(x+y)(x−y)，
∴xx−y，yx2+2xy+y2，2x2−y2的最简公分母为：(x+y)2(x−y)，
∴三个分式通分为：x(x+y)2(x+y)2(x−y)，y(x−y)(x+y)2(x−y)，2(x+y)(x+y)2(x−y)．
（2）
解：∵12x+2=12(x+1)，
3x2−1= 3(x+1)(x−1)，
xx2+2x+1=x(x+1)2，
∴分式12x+2，3x2−1，xx2+2x+1的最简公分母为：2(x+1)2(x−1)，
三个分式通分为：(x+1)(x−1)2(x+1)2(x−1)，6(x+1)2(x+1)2(x−1)，2x(x−1)2(x+1)2(x−1)．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
【考点7 最简分式与最简公分母】
31．（2022·湖北黄冈·三模）下列分式是最简分式的（ ）
A．a+ba2+b2B．aa2−3aC．2a3a2bD．a2−aba2−b2
【答案】A
【分析】利用最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，可得结果．
【详解】解：A．分子分母不能分解因式，也没有公因式，是最简分式，符合题意；
B．aa2−3a=aa(a−3)=1a−3，不是最简分式，不符合题意；
C．2a3a2b=23ab，不是最简分式，不符合题意；
D．a2−aba2−b2=a(a−b)(a+b)(a−b)=aa+b，不是最简分式，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简分式，先将分子分母因式分解是解答此题的关键．
32．（2022·湖南张家界·二模）分式b2a，a+bab+a，a4−b4a2+b2，m2−8m64−m2中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据定义逐一分析即可.
【详解】解：a4−b4a2+b2=a2+b2a2−b2a2+b2=a2−b2,
m2−8m64−m2=mm−8−m+8m−8=−mm+8,
∴最简分式有b2a，a+bab+a，共2个，
故选B.
【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的判断，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键.
33．（2022·广东广州·二模）分式x6xyz与18x2y2的最简公分母是__________．
【答案】24x2y2z
【分析】根据最简公分母的定义进行求解即可．
【详解】解：∵6xyz与8x2y2的最小公倍数为24x2y2z，
∴分式x6xyz与18x2y2的最简公分母是24x2y2z，
故答案为：24x2y2z．
【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握最简公分母的求解方法是解题的关键，求最简公分母实际上就是求各分母的最小公倍数．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）下列三个分式1x2−x，5xx2−2x+1，1−xx+x2中的最简公分母是 ______．
【答案】xx+1(x−1)2
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数，
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：三个分式1x2−x，5xx2−2x+1，1−xx+x2的最简公分母是xx+1(x−1)2；
故答案为：xx+1(x−1)2．
【点睛】此题考查了最简公分母的定义及求法，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
35．（2022·河北保定·一模下列四个分式：x+yx2+y2、x−yx2−y2、x−yx2+y2、x+yx2−y2，其中最简分式有__________个．
【答案】2##两
【分析】最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答．
【详解】解：x+yx2+y2是最简分式，
x−yx2−y2 =x−yx+yx−y =1x+y，不是最简分式，
x−yx2+y2是最简分式，
x+yx2−y2 =x+yx+yx−y =1x−y，不是最简分式，
故最简分式有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简最简分式，判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子、分母是不是有公因式．
【考点8 分式的运算】
36．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：a1=31×2×3，a2=52×3×4，a3=73×4×5，…，an=2n+1n(n+1)(n+2)．记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S12=__．
【答案】201182
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：a1=31×2×3=12=12×1+12−32×11+2；
a2=52×3×4=524=12×12+12−32×12+2；
a3=73×4×5=760=12×13+12−32×13+2；
…，
an=2n+1nn+1n+2=12×1n+1n+1−32×1n+2，
当n=12时，
原式=121+12+13+⋅⋅⋅+112+12+13+⋅⋅⋅113−32×13+14+⋅⋅⋅+114
=201182，
故答案为：201182．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
37．（2022·四川自贡·中考真题）化简：a−3a2+4a+4⋅a2−4a−3+2a+2 ＝____________．
【答案】aa+2
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】a−3a2+4a+4⋅a2−4a−3+2a+2
=a−3(a+2)2⋅(a+2)(a−2)a−3+2a+2
=a−2a+2+2a+2=aa+2
故答案为aa+2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
38．（2022·西藏·中考真题）计算：a2+2aa⋅aa2−4−2a−2．
【答案】1
【分析】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案．
【详解】a2+2aa·aa2−4−2a−2
=a(a+2)a·a(a+2)(a−2)−2a−2
=aa−2−2a−2
=1
【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计算是本题的解题关键．
39．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：a2−b2a÷a+b2−2aba．
【答案】a+ba−b
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：原式＝a+ba−ba÷a2+b2−2aba
=a+ba−ba×aa−b2
=a+ba−b．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
40．（2022·四川泸州·中考真题）化简：(m2−3m+1m+1)÷m2−1m.
【答案】m−1m+1
【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：(m2−3m+1m+1)÷m2−1m
=m2−3m+1+mm÷m+1m−`1m
=m2−2m+1m⋅mm+1m−`1
=m−12m⋅mm+1m−`1
=m−1m+1．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【考点9 分式的化简求值】
41．（2022·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a2−2a÷1−1a−2，其中a=4．
【答案】a−3a；14
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【详解】解：原式=(a−3)2aa−2÷a−2a−2−1a−2
=(a−3)2aa−2÷a−3a−2
=(a−3)2aa−2⋅a−2a−3
=a−3a，
当a=4时，原式=4−34=14．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
42．（2022·湖北宜昌·中考真题）求代数式3x+2yx2−y2+xy2−x2的值，其中x=2+y．
【答案】1
【分析】先将原式化为同分母，再利用同分母分式的减法法则计算，约分到最简结果，将x=2+y代入计算即可求出值．
【详解】原式=3x+2yx2−y2−xx2−y2=2x+2yx2−y2=2(x+y)(x+y)(x−y)=2x−y；
当x=2+y时，x−y=2，
原式=22=1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
43．（2022·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值：x+2+4x−2÷x3x2−4x+4，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．
【答案】x−2x， −1
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将x=1代入求解
【详解】解：原式＝x+2x−2+4x−2×x−22x3
=x2−4+4x−2⋅x−22x3
=x−2x；
∵ x≤2的非负整数，x≠0,2
∴当x=1时，原式＝1−21=−1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
44．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简2x2−x÷（x−1x2−x−1），再将x＝5代入求值．
解：原式=2x2−x÷x−1x2−x−2x2−x÷1……第1步
=2x−1−2x2−x⋯⋯第2步
=2xxx−1−2xx−1⋯⋯第3步
=2x−2xx−1⋯⋯第4步
=2x−1xx−1⋯⋯第5步
=2x⋯⋯第6步
当x＝5时，原式=25⋯⋯第7步
(1)以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
【答案】(1)一、没按照正确的运算顺序计算
(2)−2(x−1)2 ，当x＝5时，原式=−2(5−1)2=−18
(3)要正确应用运算律
【分析】（1）根据分式混合运算法则分析解答；
（2）根据分式混合运算法则计算即可；
（3）根据错误的原因提出建议即可．
【详解】（1）解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，
故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；
（2）原式=2x2−x÷[x−1xx−1−1]
=2xx−1÷（1x−xx）
=2xx−1•x−x−1
=−2(x−1)2，
当x＝5时，原式=−2(5−1)2=−18；
（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式混合运算法则及运算顺序是解题的关键．
45．（2022·辽宁辽宁·二模）先化简，再求值：x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x2，其中x=2+2．
【答案】xx−22，2+22．
【分析】先根据分式的四则混合运算法则化简，然后将x=2+2代入计算即可．
【详解】解：原式=x+2xx−2−x−1x−22×x2x−4
=x+2x−2xx−22−xx−1xx−22×x2x−4
=x−4xx−22⋅x2x−4
=xx−22．
当x=2+2时，原式=2+22+2−22=2+22．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式四则混合运算法则成为解答本题的关键．
【考点10 零指数幂和负整数指数幂】
46．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003 m的非油性颗粒．用科学记数法表示0.0000003是（ ）
A．0.3×10−6B．0.3×10−7C．3×10−6D．3×10−7
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：0.0000003=3×10−7，
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
47．（2022·广东·东莞市光明中学一模）下列实数中等于2的是（ ）
A．20B．4C．2D．(−2)−1
【答案】B
【分析】根据零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则解答即可．
【详解】解：A、20=1，故此选项不符合题意；
B、4=2，故此选项符合题意；
C、2≠2，故此选项不符合题意；
D、(−2)−1=−12，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，算术平方根，负整数指数幂．熟练掌握零指数幂的运算法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
48．（2022·广东北江实验学校三模）某微生物的直径用科学记数法表示为3.2×10−5，则原数中“0”有_____个．
【答案】5
【分析】把3.2×10−5“还原”成原数，即可求解．
【详解】解：3.2×10−5=0.000032，
∴原数中“0”有5个．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法，熟练掌握a×10−n（1≤a<10其中n正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得的数是解题的关键．
49．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）−3−2+−780+−1−2019=__________________．
【答案】−19
【分析】根据负整指数幂和零指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：原式=−19+1−1
=−19．
故答案为：−19．
【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整指数幂的运算法则，正确化简各数是解题关键．
50．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知2x−4+x2+y2+2xy=0，则xy=______．
【答案】14
【分析】将原式整理为2x−4+(x+y)2=0，根据绝对值以及二次根式的非负性得出x,y的值，代入计算即可．
【详解】∵2x−4+x2+y2+2xy=0，
∴2x−4+(x+y)2=0，
∴2x−4=0，x+y=0，
解得：x=2,y=−2，
∴xy=2−2=122=14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了绝对值以及二次根式的非负性，利用非负性得出2x−4=0，x+y=0是解本题的关键．