2022-2023学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2−i，则z−的虚部为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.已知向量|a|= 3，|b|=1，且|a−b|=2，则cs⟨a,a+b⟩=( )
A. 12B. 13C. 32D. 33
3.当今世界面临着百年未有之大变局，中美关系健康稳定发展对维护世界和平、经济复苏等起到积极作用，如图展示了2007年−2022年中国和美国自对方国家的进口额占本国总进口额的比重变化情况，从图中得出如下结论最准确的是( )
A. 在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例一直保持在15%以上
B. 在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但在2019年和2021年时则分别下降至最低点
C. 美国自中国进口额占比逐年下降，2018年后美国自中国的进口额占比下降速度加快
D. 中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=4，b=2 7，B=π3，则c=( )
A. 2B. 2或6C. 6D. 6
5.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是( )
A. 若α∩β=l且α⊥β，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
B. 若m//n，则α//β
C. 若α∩β=l且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
D. 若α//β，则m//n
6.已知cs(α+π6)=13，α∈(0,π2)，则sin(π6−2α)=( )
A. 79B. −79C. −4 29D. 4 29
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|csB
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a2+b2−c2=2absinC，则△ABC为等腰三角形
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点F是正方形A1B1C1D1内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是( )
A. BC1⊥AC
B. 存在点F使得D1F//平面BC1E
C. 存在点F使得DF⊥平面BC1E
D. 平面BC1E截正方体所得的两部分体积比为7：17(或17：7)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量a=(2,1)，b=(x,−1)，且a//b，则x=______.
14.复数z=i2023，则1z=______.
15.
16.在△ABC中，G为△ABC的重心，S△ABC=9 3，cs∠BAC=12，则GB⋅GC的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
若复数z=(m2−m−2)+(m2−1)i，i为虚数单位，m为实数.
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围.
18.(本小题12分)
今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住属民去年100个家庭的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[1.0,1.5),[1.5,2.0),[2.0,2.5),⋯,[4.0,4.5)分成7组，制成了如图的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；
(3)若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民中月均用水量不低于3吨的家庭数，并说明理由.
19.(本小题12分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中每条棱都相等，E、F分别是BC、AC1的中点.
(1)证明EF//平面ABB1A1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
20.(本小题12分)
请从下列条件①csinB=bcs(C−π6)；②csB=2a−b2c；③(a2+b2−c2)tanC= 3ab中选取一个作为已知条件，补充在横线上，并做出解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，满足____.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分
(1)求sinC的值；
(2)若c= 3，a=3b，求△ABC的面积
21.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠ABC=60∘，PA=AD=AB=12BC=1.
(1)求证PB⊥AC；
(2)求二面角A−PB−C的余弦值.
22.(本小题12分)
已知向量a=( 2sinx, 2csx)，b=(sinx,2csx−sinx)，设函数f(x)=a⋅b−3 22.
(1)求f(π4)的值；
(2)当x∈(−π4,π8)时，g(x)=sin4x+ 2mf(x)−3有零点，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：复数z=2−i，则z−=2+i，
所以z−的虚部为1.
故选：C.
利用共轭复数的意义，结合复数的概念求解作答．
本题主要考查了共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得|a−b|2=4，即a2−2a⋅b+b2=4，
∵|a|= 3，|b|=1，
∴3−2a⋅b+1=4，
∴a⋅b=0，
∴|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 3+1=2，
则cs⟨a,a+b⟩=a⋅(a+b)|a||a+b|=a2+a⋅b 3×2=32 3= 32.
故选：C.
根据向量数量积的运算律得a⋅b=0，再利用向量夹角公式即可得到答案．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例，2008年为15%，2022年为14.2%，故A错误；
美国自中国进口额占比，2019年为16.3%，2020为16.5%，故C错误；
在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值10.05%，但2022年时下降至最低点6.5%，故B错误；
中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降，故D正确．
故选：D.
根据图中信息逐项分析即可．
本题考查统计图表相关知识，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，a=4，b=2 7，B=π3，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
得28=16+c2−4c，即c2−4c−12=0，而c>0，解得c=6，
所以c=6.
故选：C.
根据给定条件，利用余弦定理求解作答．
本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：若α∩β=l且α⊥β，m⊂α，m⊥l，由面面垂直性质定理得出m⊥β，故A正确；
若m//n，且m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，故B错误；
若m⊂α，n⊂β，α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故C错误；
由m⊂α，n⊂β，α//β，得m//n或m与n异面，故D错误．
故选：A.
根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质即可判断空间中线线、线面、面面的位置关系．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：sin(π6−2α)=cs[π2−(π6−2α)]=cs(2α+π3)=cs2(α+π6)
=2cs2(α+π6)−1=2×19−1=−79.
故选：B.
根据诱导公式和倍角公式进行求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由图可知f(0)=sinφ=12，又|φ|