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备考2024届高考数学一轮复习讲义第九章统计与成对数据的统计分析第2讲用样本估计总体
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第九章统计与成对数据的统计分析第2讲用样本估计总体，共10页。
（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有① p％ 的数据小于或等于这个值，且至少有② （100－p）％ 的数据大于或等于这个值.
（2）四分位数：第25百分位数、中位数（第50百分位数）、第75百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，这三个分位数统称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
2.平均数、中位数、众数
3.方差和标准差
4.分层随机抽样的样本均值与方差
以两层随机抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2，第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2，则x＝1m∑i=1mxi，s2＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝1n∑j=1nyj，t2＝1n∑j=1n（yj－y）2.若记样本均值为a，样本方差为b2，则可以算出a＝1m＋n（∑i=1mxi＋∑j=1nyj）＝mx＋nym＋n，b2＝m[s2＋（x－a）2]＋n[t2＋（y－a）2]m＋n.
常用结论
1.平均数的性质
（1）若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b.
（2）若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为x和y，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数为x＋y.
2.方差的性质
若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即数据经过平移后方差不变.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近
B.一组数据的第p百分位数唯一
C.方差与标准差具有相同的单位
D.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变
解析 平均数指的是这组数据的平均水平，中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联系，故A错误；一组数据的第p百分位数可以不唯一，故B错误；方差是标准差的平方，故它们的单位不一样，故C错误.
2.[全国卷Ⅲ]设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ C ）
B.0.1C.1D.10
解析 因为数据axi＋b（i＝1，2，…，n）的方差是数据xi（i＝1，2，…，n）的方差的a2倍，所以所求数据的方差为102×0.01＝1.
3.[多选/2021新高考卷Ⅱ]下列统计量中可用于度量样本x1，x2，…，xn离散程度的有（ AC ）
A.x1，x2，…，xn的标准差B.x1，x2，…，xn的中位数
C.x1，x2，…，xn的极差D.x1，x2，…，xn的平均数
解析 平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数，对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数.方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.故选AC.
4.[江苏高考]已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 53 .
解析 数据6，7，8，8，9，10的平均数是6+7+8+8+9+106＝8，则方差是4+1+0+0+1+46＝53.
5.[2023湖南省六校联考]数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为m，第60百分位数为a，则m＋a＝ 10 .
解析 共有10个数据，且为从小到大排列，所以中位数为第5个数和第6个数的平均数，所以m＝4+52＝4.5，因为10×60％＝6，所以第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数，所以a＝5+62＝5.5，所以m＋a＝10.
研透高考 明确方向
命题点1 百分位数的估计
例1 （1）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.则该组数据的第75百分位数为 14.5 ，第86百分位数为 17 .
解析 ∵75％×20＝15，∴第75百分位数为14+152＝14.5.∵86％×20＝17.2，∴第86百分位数为第18个数据，即17.
（2）[2023重庆二调]如图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80％分位数为 78.5 .
解析 ∵（0.016＋0.030）×10＝0.46＜0.8，（0.016＋0.030＋0.040）×10＝0.86＞0.8，
∴80％分位数位于[70，80）中，令其为x，则x－7010＝0.8－0.460.4，（面积（频率）之比等于宽（横坐标之差）之比）
解得x＝78.5.
方法技巧
1.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据；（2）计算i＝n×p％；（3）若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.
2.频率分布直方图中第p百分位数的求解步骤
（1）确定第p百分位数所在的区间[a，b）；
（2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则第p百分位数为a＋p％－fa％fb％－fa％×（b－a）.
训练1 （1）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ C ）
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
解析 因为100×75％＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选C.
（2）[2023河北名校联考]为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是 7（8，9，10也可） .（写出一个满足条件的m的值即可）
解析 原数据去掉m后，剩余数据从小到大依次为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，所以这7个数的第25百分位数为7，所以数据7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，又8×0.25＝2，所以7为这8个数据从小到大排序后的第2个数与第3个数的平均数，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.
命题点2 样本的数字特征
角度1 离散型数据的数字特征
例2 （1）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则（ A ）
A.x＝4，s2＜2B.x＝4，s2＝2
C.x＞4，s2＜2D.x＞4，s2＞2
解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4,17x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42=2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，（x1－4）2＋（x2－4）2＋（x3－4）2＋（x4－4）2＋（x5－4）2＋（x6－4）2＋（x7－4）2＝14，则这8个数的平均数x=18x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+4=18×28+4=4，方差s2=18x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5－42+x6-42+x7-42+4-42=18×14+0=74<2.故选A.
（2）[多选/2023新高考卷Ⅰ]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ BD ）
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
解析 取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.
综上，选BD.
角度2 统计图中的数字特征
例3 [多选/2023重庆市三检]某学校共有2 000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.样本的众数为6712
B.样本的中位数为6623
C.样本的平均值为66
D.该校男生体重超过70 kg的学生大约为600人
解析 对于A，由频率分布直方图知样本的众数为65+702＝6712，故A正确；对于B，设样本的中位数为x，因为前两个矩形面积和为5×0.03＋5×0.05＝0.4，前三个矩形面积和为5×0.03＋5×0.05＋5×0.06＝0.7，所以中位数位于（65，70]之间，则有5×0.03+5×0.05+x-65×0.06=0.5，解得x＝6623，故B正确；对于C，样本的平均值为57.5×0.15＋62.5×0.25＋67.5×0.3＋72.5×0.2＋77.5×0.1＝66.75，故C不正确；对于D，2 000名男生中体重超过70 kg的人数大约为2 000×5×（0.04＋0.02）＝600，故D正确.综上所述，选ABD.
方法技巧
频率分布直方图中的数字特征
（1）众数：在频率分布直方图中，一般用最高小长方形的底边中点的横坐标近似代替；
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
（3）平均数：平均数在频率分布直方图中近似等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
训练2 （1）[2022全国卷甲]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ B ）
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
解析 对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是70％+75％2＝72.5％，所以A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是80％，85％，85％，85％，85％，90％，90％，95％，100％，100％，其平均数显然大于85％，所以B正确；对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误；对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95％－60％＝35％，讲座后问卷答题的正确率的极差是100％－80％＝20％，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B.
（2）[多选/2021新高考卷Ⅰ]有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ CD ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
解析 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x－，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x－+c,m+c,σ,t,因为c≠0，所以C，D正确，故选CD.
命题点3 总体数字特征的估计
角度1 总体集中趋势的估计
例4 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2 500，3 000）内.
（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在[4 000，4 500）内的应抽取多少人？
（2）估计该地居民的月收入的中位数.
（3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数.
解析 （1）因为（0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1）×500＝0.5，所以a=0.51000=0.000 5.
又0.000 5×500＝0.25，所以月收入在[4 000，4 500）内的频率为0.25，所以月收入在4 000，4 500内的应抽取的人数为0.25×100＝25.
（2）因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，
所以样本数据的中位数是3 500＋0.5-（0.1+0.2）0.0005＝3 900.
因此估计该地居民月收入的中位数是3 900元.
（3）样本平均数为2 750×0.000 2+3 250×0.000 4+3 750×0.000 5+4 250×0.000 5+4 750×0.000 3+5 250×0.000 1×500＝3 900，因此估计该地居民月收入的平均数为3 900元.
方法技巧
平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.
角度2 总体离散程度的估计
例5 [2023全国卷乙]某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…，10），试验结果如下：
记zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.
（1）求z，s2.
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
解析 （1）由题意，求出zi的值如表所示，
则z＝110×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝110×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）因为2s210＝26.1＝24.4，z＝11＝121＞24.4，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
方法技巧
总体离散程度的估计
标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定.
训练3 [全国卷Ⅱ]某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：74≈8.602.
解析 （1）由题意可知，随机调查的100个企业中增长率不低于40％的企业有14＋7＝21（个），产值负增长的企业有2个，所以这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例约为21100，产值负增长的企业比例约为2100＝150.
（2）由题意可知，这类企业产值增长率的平均数约为y＝1100×[2×（－0.1）＋24×0.1＋53×0.3＋14×0.5＋7×0.7]＝0.3，
方差约为s2＝1100×[2×（－0.1－0.3）2＋24×（0.1－0.3）2＋53×（0.3－0.3）2＋14×（0.5－0.3）2＋7×（0.7－0.3）2]＝0.029 6，
所以标准差s＝0.0296＝0.0004×74≈0.02×8.602≈0.17.
命题点4 分层随机抽样的均值与方差
例6 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为 5.4 ，方差为 12.4 .（精确到0.1）
解析 把甲同学抽取的样本的平均数记为x，方差记为sx2；把乙同学抽取的样本的平均数记为y，方差记为sy2；把合在一起后的样本的平均数记为a，方差记为s2.
则a＝10×5+8×610+8≈5.4，
s2＝10×[sx2＋（x－a）2]+8×[sy2＋（y－a）2]10+8
＝10×[9+（5－5.4）2]+8×[16+（6－5.4）2]18
≈12.4.
即合在一起后样本的平均数为5.4，方差为12.4.
方法技巧
计算分层随机抽样的方差的步骤
（1）确定x1，x2，s12，s22；
（2）确定x；
（3）应用公式s2＝n1n1＋n2[s12＋（x1－x）2]＋n2n1＋n2·[s22＋（x2－x）2]，计算s2.
训练4 [2023安徽省示范高中联考]为了调查公司员工的健康状况，某公司男、女员工比例是2∶3，用分层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为70 kg，标准差为5 kg；女员工的平均体重为50 kg，标准差为 6 kg.则由此估计该公司员工的平均体重是 58 kg，方差是 127.6 kg2.
解析 设该公司员工的平均体重为x kg，方差为s2 kg2，由题意得x＝70×25＋50×35＝58，所以方差s2＝[52＋（70－58）2]×25＋[62＋（50－58）2]×35＝127.6.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义.
2.能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.
3.能用样本估计总体的取值规律.
4.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
百分位数的估计
本讲是高考命题的热点，主要考查百分位数，样本数据的数字特征，统计图中的数字特征，总体趋势估计等.预计2025年高考主要以生产生活实践情境为载体考查样本的数字特征及对总体的估计.
样本的数字特征
2023新高考卷ⅠT9；2022全国卷乙T19；2022全国卷甲T2；2021新高考卷ⅠT9；2021新高考卷ⅡT9；2021全国卷甲T2；2021全国卷乙T17；2020全国卷ⅢT3；2019全国卷ⅡT5；2019全国卷ⅡT13；2019全国ⅢT17
总体数字特征的估计
2023全国卷乙T17；2022新高考卷ⅡT19；2022全国卷乙T19；2021全国卷乙T17；2020全国卷ⅡT18；2020全国卷ⅢT18；2019全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT17
分层随机抽样的均值与方差
数字特征
概念
特征
平均数
x＝③ 1nx1+x2+…+xn .
与每一个样本数据有关，样本中任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，对样本中的极端值更加敏感.
中位数
将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后，处在最④ 中间 的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的⑤ 平均数 （当数据的个数是偶数时）.
只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，有的样本数据的改变不一定引起中位数的改变.
众数
一组数据中出现次数⑥ 最多 的数据（即频数最大值所对应的样本数据）.
体现了样本数据的最大集中点，对极端值不敏感，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数.
名称
定义
样本的方差和标准差
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的方差s2＝⑦ 1n[x1-x2+x2-x2+…+xn-x2] ；
标准差s＝⑧ 1n[(x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2] .
总体的方差和标准差
一般式 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝⑨ 1N∑i=1NYi-Y2 .
加权式 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S2＝⑩ 1N∑i=1kfiYi-Y2 .
总体标准差：S＝S2.
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zi
9
6
8
－8
15
11
19
18
20
12
y的分组
[－0.20，0）
[0，0.20）
[0.20，0.40）
[0.40，0.60）
[0.60，0.80）
企业数
2
24
53
14
7
（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有① p％ 的数据小于或等于这个值，且至少有② （100－p）％ 的数据大于或等于这个值.
（2）四分位数：第25百分位数、中位数（第50百分位数）、第75百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，这三个分位数统称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
2.平均数、中位数、众数
3.方差和标准差
4.分层随机抽样的样本均值与方差
以两层随机抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2，第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2，则x＝1m∑i=1mxi，s2＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝1n∑j=1nyj，t2＝1n∑j=1n（yj－y）2.若记样本均值为a，样本方差为b2，则可以算出a＝1m＋n（∑i=1mxi＋∑j=1nyj）＝mx＋nym＋n，b2＝m[s2＋（x－a）2]＋n[t2＋（y－a）2]m＋n.
常用结论
1.平均数的性质
（1）若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b.
（2）若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别为x和y，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数为x＋y.
2.方差的性质
若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即数据经过平移后方差不变.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近
B.一组数据的第p百分位数唯一
C.方差与标准差具有相同的单位
D.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变
解析 平均数指的是这组数据的平均水平，中位数指的是这组数据的中间水平，它们之间没有必然联系，故A错误；一组数据的第p百分位数可以不唯一，故B错误；方差是标准差的平方，故它们的单位不一样，故C错误.
2.[全国卷Ⅲ]设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ C ）
B.0.1C.1D.10
解析 因为数据axi＋b（i＝1，2，…，n）的方差是数据xi（i＝1，2，…，n）的方差的a2倍，所以所求数据的方差为102×0.01＝1.
3.[多选/2021新高考卷Ⅱ]下列统计量中可用于度量样本x1，x2，…，xn离散程度的有（ AC ）
A.x1，x2，…，xn的标准差B.x1，x2，…，xn的中位数
C.x1，x2，…，xn的极差D.x1，x2，…，xn的平均数
解析 平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数，对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数.方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.故选AC.
4.[江苏高考]已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 53 .
解析 数据6，7，8，8，9，10的平均数是6+7+8+8+9+106＝8，则方差是4+1+0+0+1+46＝53.
5.[2023湖南省六校联考]数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为m，第60百分位数为a，则m＋a＝ 10 .
解析 共有10个数据，且为从小到大排列，所以中位数为第5个数和第6个数的平均数，所以m＝4+52＝4.5，因为10×60％＝6，所以第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数，所以a＝5+62＝5.5，所以m＋a＝10.
研透高考 明确方向
命题点1 百分位数的估计
例1 （1）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.则该组数据的第75百分位数为 14.5 ，第86百分位数为 17 .
解析 ∵75％×20＝15，∴第75百分位数为14+152＝14.5.∵86％×20＝17.2，∴第86百分位数为第18个数据，即17.
（2）[2023重庆二调]如图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80％分位数为 78.5 .
解析 ∵（0.016＋0.030）×10＝0.46＜0.8，（0.016＋0.030＋0.040）×10＝0.86＞0.8，
∴80％分位数位于[70，80）中，令其为x，则x－7010＝0.8－0.460.4，（面积（频率）之比等于宽（横坐标之差）之比）
解得x＝78.5.
方法技巧
1.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据；（2）计算i＝n×p％；（3）若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.
2.频率分布直方图中第p百分位数的求解步骤
（1）确定第p百分位数所在的区间[a，b）；
（2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则第p百分位数为a＋p％－fa％fb％－fa％×（b－a）.
训练1 （1）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ C ）
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
解析 因为100×75％＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选C.
（2）[2023河北名校联考]为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m（1≤m≤10）的值可以是 7（8，9，10也可） .（写出一个满足条件的m的值即可）
解析 原数据去掉m后，剩余数据从小到大依次为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，所以这7个数的第25百分位数为7，所以数据7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，又8×0.25＝2，所以7为这8个数据从小到大排序后的第2个数与第3个数的平均数，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.
命题点2 样本的数字特征
角度1 离散型数据的数字特征
例2 （1）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则（ A ）
A.x＝4，s2＜2B.x＝4，s2＝2
C.x＞4，s2＜2D.x＞4，s2＞2
解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4,17x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42=2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，（x1－4）2＋（x2－4）2＋（x3－4）2＋（x4－4）2＋（x5－4）2＋（x6－4）2＋（x7－4）2＝14，则这8个数的平均数x=18x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+4=18×28+4=4，方差s2=18x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5－42+x6-42+x7-42+4-42=18×14+0=74<2.故选A.
（2）[多选/2023新高考卷Ⅰ]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ BD ）
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
解析 取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.
综上，选BD.
角度2 统计图中的数字特征
例3 [多选/2023重庆市三检]某学校共有2 000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.样本的众数为6712
B.样本的中位数为6623
C.样本的平均值为66
D.该校男生体重超过70 kg的学生大约为600人
解析 对于A，由频率分布直方图知样本的众数为65+702＝6712，故A正确；对于B，设样本的中位数为x，因为前两个矩形面积和为5×0.03＋5×0.05＝0.4，前三个矩形面积和为5×0.03＋5×0.05＋5×0.06＝0.7，所以中位数位于（65，70]之间，则有5×0.03+5×0.05+x-65×0.06=0.5，解得x＝6623，故B正确；对于C，样本的平均值为57.5×0.15＋62.5×0.25＋67.5×0.3＋72.5×0.2＋77.5×0.1＝66.75，故C不正确；对于D，2 000名男生中体重超过70 kg的人数大约为2 000×5×（0.04＋0.02）＝600，故D正确.综上所述，选ABD.
方法技巧
频率分布直方图中的数字特征
（1）众数：在频率分布直方图中，一般用最高小长方形的底边中点的横坐标近似代替；
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
（3）平均数：平均数在频率分布直方图中近似等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
训练2 （1）[2022全国卷甲]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ B ）
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
解析 对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是70％+75％2＝72.5％，所以A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是80％，85％，85％，85％，85％，90％，90％，95％，100％，100％，其平均数显然大于85％，所以B正确；对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误；对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95％－60％＝35％，讲座后问卷答题的正确率的极差是100％－80％＝20％，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B.
（2）[多选/2021新高考卷Ⅰ]有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ CD ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
解析 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x－，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为x－+c,m+c,σ,t,因为c≠0，所以C，D正确，故选CD.
命题点3 总体数字特征的估计
角度1 总体集中趋势的估计
例4 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2 500，3 000）内.
（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在[4 000，4 500）内的应抽取多少人？
（2）估计该地居民的月收入的中位数.
（3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数.
解析 （1）因为（0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1）×500＝0.5，所以a=0.51000=0.000 5.
又0.000 5×500＝0.25，所以月收入在[4 000，4 500）内的频率为0.25，所以月收入在4 000，4 500内的应抽取的人数为0.25×100＝25.
（2）因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，
所以样本数据的中位数是3 500＋0.5-（0.1+0.2）0.0005＝3 900.
因此估计该地居民月收入的中位数是3 900元.
（3）样本平均数为2 750×0.000 2+3 250×0.000 4+3 750×0.000 5+4 250×0.000 5+4 750×0.000 3+5 250×0.000 1×500＝3 900，因此估计该地居民月收入的平均数为3 900元.
方法技巧
平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.
角度2 总体离散程度的估计
例5 [2023全国卷乙]某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…，10），试验结果如下：
记zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.
（1）求z，s2.
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
解析 （1）由题意，求出zi的值如表所示，
则z＝110×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝110×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）因为2s210＝26.1＝24.4，z＝11＝121＞24.4，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
方法技巧
总体离散程度的估计
标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定.
训练3 [全国卷Ⅱ]某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：74≈8.602.
解析 （1）由题意可知，随机调查的100个企业中增长率不低于40％的企业有14＋7＝21（个），产值负增长的企业有2个，所以这类企业中产值增长率不低于40％的企业比例约为21100，产值负增长的企业比例约为2100＝150.
（2）由题意可知，这类企业产值增长率的平均数约为y＝1100×[2×（－0.1）＋24×0.1＋53×0.3＋14×0.5＋7×0.7]＝0.3，
方差约为s2＝1100×[2×（－0.1－0.3）2＋24×（0.1－0.3）2＋53×（0.3－0.3）2＋14×（0.5－0.3）2＋7×（0.7－0.3）2]＝0.029 6，
所以标准差s＝0.0296＝0.0004×74≈0.02×8.602≈0.17.
命题点4 分层随机抽样的均值与方差
例6 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为 5.4 ，方差为 12.4 .（精确到0.1）
解析 把甲同学抽取的样本的平均数记为x，方差记为sx2；把乙同学抽取的样本的平均数记为y，方差记为sy2；把合在一起后的样本的平均数记为a，方差记为s2.
则a＝10×5+8×610+8≈5.4，
s2＝10×[sx2＋（x－a）2]+8×[sy2＋（y－a）2]10+8
＝10×[9+（5－5.4）2]+8×[16+（6－5.4）2]18
≈12.4.
即合在一起后样本的平均数为5.4，方差为12.4.
方法技巧
计算分层随机抽样的方差的步骤
（1）确定x1，x2，s12，s22；
（2）确定x；
（3）应用公式s2＝n1n1＋n2[s12＋（x1－x）2]＋n2n1＋n2·[s22＋（x2－x）2]，计算s2.
训练4 [2023安徽省示范高中联考]为了调查公司员工的健康状况，某公司男、女员工比例是2∶3，用分层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为70 kg，标准差为5 kg；女员工的平均体重为50 kg，标准差为 6 kg.则由此估计该公司员工的平均体重是 58 kg，方差是 127.6 kg2.
解析 设该公司员工的平均体重为x kg，方差为s2 kg2，由题意得x＝70×25＋50×35＝58，所以方差s2＝[52＋（70－58）2]×25＋[62＋（50－58）2]×35＝127.6.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义.
2.能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.
3.能用样本估计总体的取值规律.
4.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
百分位数的估计
本讲是高考命题的热点，主要考查百分位数，样本数据的数字特征，统计图中的数字特征，总体趋势估计等.预计2025年高考主要以生产生活实践情境为载体考查样本的数字特征及对总体的估计.
样本的数字特征
2023新高考卷ⅠT9；2022全国卷乙T19；2022全国卷甲T2；2021新高考卷ⅠT9；2021新高考卷ⅡT9；2021全国卷甲T2；2021全国卷乙T17；2020全国卷ⅢT3；2019全国卷ⅡT5；2019全国卷ⅡT13；2019全国ⅢT17
总体数字特征的估计
2023全国卷乙T17；2022新高考卷ⅡT19；2022全国卷乙T19；2021全国卷乙T17；2020全国卷ⅡT18；2020全国卷ⅢT18；2019全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT17
分层随机抽样的均值与方差
数字特征
概念
特征
平均数
x＝③ 1nx1+x2+…+xn .
与每一个样本数据有关，样本中任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，对样本中的极端值更加敏感.
中位数
将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后，处在最④ 中间 的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的⑤ 平均数 （当数据的个数是偶数时）.
只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，有的样本数据的改变不一定引起中位数的改变.
众数
一组数据中出现次数⑥ 最多 的数据（即频数最大值所对应的样本数据）.
体现了样本数据的最大集中点，对极端值不敏感，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数.
名称
定义
样本的方差和标准差
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的方差s2＝⑦ 1n[x1-x2+x2-x2+…+xn-x2] ；
标准差s＝⑧ 1n[(x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2] .
总体的方差和标准差
一般式 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝⑨ 1N∑i=1NYi-Y2 .
加权式 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S2＝⑩ 1N∑i=1kfiYi-Y2 .
总体标准差：S＝S2.
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zi
9
6
8
－8
15
11
19
18
20
12
y的分组
[－0.20，0）
[0，0.20）
[0.20，0.40）
[0.40，0.60）
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