2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A=xx2+x−6=0，B=2 , 3，则A∩B=
A. ⌀B. 2C. 3D. 2 , 3
2.已知i为虚数单位，且zi=1+i，则z⋅z=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为
( )
A. α//β，m//α，则m//β
B. m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
C. m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
D. m⊥α，m//n，α//β，则n⊥β
4.若f(x)=2x+m,x0是奇函数，则
( )
A. m=−1，n=2B. m=1，n=−2
C. m=1，n=2D. m=−1，n=−2
5.已知锐角α的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角α的终边绕原点逆时针转π3后，交以原点为圆心的单位圆于点P(−45,y)，则csα的值为
( )
A. 3 3+410B. 4 3+310C. 4 3−310D. 3 3−410
6.已知向量a=(35,45)，b为单位向量，且满足|a+b|=|b−2a|，则向量b在向量a方向的投影向量为
( )
A. (15,15)B. (35,45)C. (310,25)D. (65,85)
7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为y=a2(exa+e−xa)，当其中参数a=1时，该函数就是双曲余弦函数csℎx=ex+e−x2，类似地有双曲正弦函数sinℎx=ex−e−x2.若设函数f(x)=sinℎx⋅csℎx，若实数x满足不等式f(3x−4)+f(x2)b>0)中，F1，F2分别是左，右焦点，P为椭圆上一点(非顶点)，I为△PF1F2内切圆圆心，若S△IF1F2S△PF1F2=13，则椭圆的离心率e为
( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B. 数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15
C. 数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7
D. 对于随机事件A与B，若P(B)= 0.3，P(B|A) = 0.7，则事件A与B独立
10.先将函数f(x)=sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是
( )
A. 最小正周期为πB. 在(0,π4)上单调递增
C. x∈(π4,π2)时，g(x)∈(2+ 32,2]D. 其图象关于点(π12,0)对称
11.已知曲线C:mx2+(1−m)y2=1，则以下说法正确的是
( )
A. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则00，∴相除得an=an n+12an−1 n2，
∴ann−12=an−1n2，
∴(n−1)lgan=nlgan−1，
∴lgann=lgan−1n−1，
又∵lga11=lg3，
即数列{lgann}是常数列，
所以lgan=nlg3=lg3n，所以an=3n；
(2)bn=an(an−1)(an+1−1)
=3n(3n−1)(3n+1−1)
=12(13n−1−13n+1−1)，
Sn=12(131−1−132−1+132−1−133−1+⋯+13n−1−13n+1−1)，
Sn=12(131−1−13n+1−1)0)
∵x>0，∴当a≤1时，g′(x)≥0，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
f(x)>1，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>1时，令g′(x)=0得x=lna，
当x∈(0,lna)时g′(x)≤0，f′(x)单调递减，x∈(lna,+∞)时g′(x)≥0，f(x)单调递增．
若使f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)min=f′(lna)=a(1−lna)≥0，则1≤a≤e
综上所述：若f(x)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是(−∞,e]．
(2)法1:因为f(x)有两个极值点x1x2，即方程exx=a有两个不同的实数根x1x2
则ex1=ax1，ex2=ax2，
x10)，即x2=x1+t，
ex1+t=a(x1+t)联立ex1=ax1得et=1+tx1
解得x1=tet−1，x2=tet−1+t，要证x1+λx2>λ+1即证tet−1+λ(tet−1+t)>λ+1
即(λt−λ−1)et+λ+t+1>0，即(λt−λ−1)etλ+t+1>−1(∗)，
令g(t)=(λt−λ−1)etλ+t+1，t>0
求导化简可得g′(t)=etλt2+(λ2−1)t(λ+t+1)2=eλλt[t+(λ−12)](λ+t+1)2，
由λ>1，可知λ−1λ>0，即g′(t)>0，所以函数g(t)在(0,+∞)上递增，
得到g(t)>g(0)=−1，即(∗)式成立，所以原不等式成立．
(2)法2:因为f(x)有两个极值点x1x2，即方程exx=a有两个不同的实数根x1，x2
令g(x)=exx，则g′(x)=(x−1)exx2，则
x11λ
而λ> 1
只需证：x2−11−x1>1
即证x1+x2>2，
由(1)可知：a>e时，函数f′(x)有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x12⇔x2>2−x1>1⇔ex2x2>e2−x12−x1，
由ex1x1=ex2x2，因此即证ex1x1>e2−x12−x1，
构造函数ℎ(x)=exx−e2−x2−x，0λ+1即证(λt−λ−1)etλ+t+1>−1，研究g(t)=(λt−λ−1)etλ+t+1的单调性，函数g(t)在(0,+∞)上递增，
得到g(t)>g(0)=−1，即可解决．X
4
5
6
7
8
P
1681
3281
2481
881
181