2021-2022学年河北省保定市高一上学期期末调研考试数学试题含解析

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  保定市2021~2022学年度上学期高一期末调研考试数学试卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题：“，”的否定是（）A. ， B. ，C. ， D. ，【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“，”是全称命题，它的否定是特称命题：，，故选：C2. 已知集合，，全集，则（）A.  B.  C.  D. I【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.【详解】由题意得，所以．故选：B3. （）A.  B.  C.  D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】利用角度弧度互化即得.详解】．故选：C.4. 已知，则（）A.  B.  C.  D. 【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，可得，计算化简，即可得答案.【详解】由，得，所以．故选：B5. 若函数为上的奇函数，则实数的值为（）A.  B.  C. 1 D. 2【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.【详解】函数为上的奇函数,故，得，当时，满足，即此时为奇函数，故，故选：A6. 函数的最小值为（）A. 1 B.  C.  D. 【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则，化简可得，分析即可得答案.【详解】由题意得，当时，的最小值为.故选：D7. 已知，，且满足，则的最小值为（）A. 2 B. 3 C.  D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，即，时取等号．所以的最小值为.故选：C8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】利用对数函数、一次函数的性质判断的初步取值范围，再由整体的单调性建立不等式，构造函数，利用函数的单调性求解不等式，从求得的取值范围.【详解】由题意必有，可得，且，整理为．令由换底公式有，由函数为增函数，可得函数为增函数，注意到，所以由，得，即，实数a的取值范围为．故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知，则（）A.  B.  C.  D. 【9题答案】【答案】BCD【解析】【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.【详解】，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．故选：BCD10. 下列说法正确的是（）A. 的值与的值相等B. 的值比的值大C. 的值为正数D. 关于x的不等式的解集为【10题答案】【答案】ABC【解析】【分析】利用诱导公式可判断A，利用正弦函数的性质可判断B，利用三角函数的符号可判断C，利用余弦函数的性质可判断D.【详解】对于选项A，由可知选项A正确；对于选项B，由及正弦函数的单调性可知B选项正确；对于选项C，由，，，可知C选项正确；对于选项D，由余弦函数的图象及，可知关于x的不等式的解集为，故D选项错误．故选：ABC.11. 已知为锐角，角的终边上有一点，x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为N，则（）A. 若，则B. 劣弧的长度为C. 劣弧所对扇形的面积为是D. 【11题答案】【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；根据扇形面积公式，可判断C的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案.【详解】A：，故，故A正确；B：劣弧的长度为，故B正确；C：只有当时，扇形的面积为，故C不正确；D：，∵为锐角，故．故D正确.故选：ABD12. 若，，则（）A. 函数为奇函数B. 当，时，C. 当，时，D. 函数有两个零点【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据与的关系判断函数的奇偶性，即可判断，对于BC，利用作差法即可判断；对于D，根据零点的存在性定理，结合两函数的图像即可判断.【详解】对于A选项，函数的定义域为，由，所以函数为奇函数，可知A选项正确；对于B选项，由，有，可知B选项错误；对于C选项，由，有，可知C选项正确；对于D选项，令，由，，，由上可知函数至少有两个零点，由双钩函数的性质可得函数在上递减，在上递增，且，作出函数和的图象，根据函数和的图象可知，函数有且仅有两个零点，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数的定义域为______．【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用整体代入法求得的定义域.详解】令，，可得，，故函数的定义域为．故答案为：14. 已知，则______．【14题答案】【答案】##【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.【详解】，．故答案为：15. 已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）【15题答案】【答案】【解析】【分析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】，，所以．故答案为：16. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______．【16题答案】【答案】    ①. 1    ②. 【解析】【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：由图象可知：且因为，所以，由，可得，因为，所以所以，整理得；当时，令，可得，由韦达定理可得所以，因且，所以或，则或，所以故答案为：1，．【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. 计算下列各式的值：（1），其中m，n均为正数，为自然对数的底数；（2），其中且．【17~18题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的性质、换底公式及对数的运算法则计算可得；【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．18. 已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值．【18~19题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.【小问1详解】由，可得所以，即，所以【小问2详解】由，可得，解得或，而，所以，解得，所以．19. 已知函数的最小正周期为，其中．（1）求的值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的值域．【19~21题答案】【答案】（1）（2）函数的单调减区间为，单调增区间为（3）【解析】【分析】（1）利用求得.（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.【小问1详解】由函数的最小正周期为，，所以，可得，【小问2详解】由（1）可知，当，有，，当，可得，故当时，函数的单调减区间为，单调增区间为．【小问3详解】当，有，，可得，有，故函数在区间上的值域为．20. 已知是幂函数，是指数函数，且满足，．（1）求函数，的解析式；（2）若，，请判断“是的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【20~21题答案】【答案】（1），（2）“”是“”的必要不充分条件【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得.（2）通过求函数的值域求得，由此确定充分、必要条件.【小问1详解】设，，则则，代入，∴，.【小问2详解】由（1）知，，，当时，，有，得，又由，有，得，故，当时，，有，得，又由，有，，解得，故，由?，故“”是“”的必要不充分条件．21. 如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．（1）若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；（2）若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．【21~22题答案】【答案】（1）200米（2）4608平方米【解析】【分析】(1)设苗圃的两边长分别为a，b，依题意列出已知和所求，由基本不等式直接可得；(2)根据题意列出已知，利用基本不等式将条件化为不等式，然后解不等式可得.【小问1详解】设苗圃的两边长分别为a，b（如图），则，，当且仅当即时取“=”，故栅栏总长的最小值为200米．【小问2详解】，而，故，令，则，因式分解为，解得，所以，，当且仅当，即时取“=”，故苗圃面积的最大值为4608平方米．22. 已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数的最小值为，求实数的值；（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数．【22~24题答案】【答案】（1）（2）（3）当时，方程有一个根；当时，方程没有根；当或或时，方程有两个根；当时，方程有三个根；当时，方程有四个根．【解析】【分析】（1）利用偶函数满足，求出的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求的值；（3）定义法得到的单调性，方程通过换元后得到的根的情况，通过分类讨论最终求出结果.【小问1详解】由题意得：，即，所以，其中，∴，解得：【小问2详解】，∴，故函数的最小值为，令，故的最小值为，等价于，解得：或，无解综上：．【小问3详解】由，令，，有．由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，令，有，方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），，当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；时，方程②的解为，可得方程①有两个解；当时，可得或，1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；2°当方程②有两负根时，可得，不可能；3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，由上知：当时，方程①有一个根；当时，方程①没有根；当或或时，方程①有两个根；当时，方程①有三个根；当时，方程①有四个根．【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不等式等.