湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．
3．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．－3
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将沿轴翻折，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5B．10C．11D．13
6．如图，若，则下列各式错误的是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，湖边有三条公路，其中公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为（ ）

A． B． C． D．
8．小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
9．如图，一艘潜水艇在海面下米的点处发现其正前方的海底处有黑匣子，同时测得黑匣子的俯角为，潜水艇继续在同一深度直线航行米到点处，测得黑匣子的俯角为，则黑匣子所在的处距离海面的深度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
10．如图，能使成立的条件是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若：OA＝3：5，四边形的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2B．25cm2C．18cm2D．27cm2
12． 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围．
解：
．
∵无论x取何实数，总有，∴．
即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最大值1D．有最小值1
二、填空题
13．若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 ．
14．一元二次方程的解为 ．
15．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
17．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
18．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了 km．
三、解答题
19．计算：
（1） 3－2＋
（2）
20．解方程：．
21．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
22．我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）成绩为“B等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
23．某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款台灯每个成本为40元，
（1）若每个台灯降x元(),则每星期能卖出 个台灯，每个台灯的利润是 元．
（2）在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？
24．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan 15°时，可构造如图所 示的图形．在 Rt△ACB 中，∠C= 90°， ∠ABC=30°， AC=x（x>0），延长 CB 至点 D，使得 BD=AB，连接AD，易知∠D =15°，CD=BD+BC=AB+BC=，所以tan15°=tanD……
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan 15°的计算．
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan 22.5°的值．
25．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值．
26．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=时，求a的值．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵二次根式有意义
∴，解得：
故选：B
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2．D
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
3．D
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握关于轴对称的点坐标的横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题等关键．
由题意知，点与点关于轴对称，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故选：C．
5．D
【分析】利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得
所以
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
根据平行线分线段成比例判断作答即可．
【详解】解：由平行线分线段成比例可得，，，，，
B、C、D正确，故不符合要求；A错误，故符合要求；
故选：A ．
7．B
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，中，，M是的中点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，
他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
9．A
【分析】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用等知识．熟练掌握三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用是解题的关键．
由题意知，，，则，即，如图，作于，则，根据黑匣子所在的处距离海面的深度是，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，米，米，
∴，
∴米，
如图，作于，
∴，
∴黑匣子所在的处距离海面的深度是米，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
当时，无法判定，故A不符合要求；
当时，无法判定，故B不符合要求；
当，时，可以判定，故C符合要求；
当时，无法判定，故D不符合要求；
故选：C．
11．B
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形ABCD的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA′：OA＝3：5，
∴S四边形A′B′C′D′：S四边形ABCD＝9：25，
∵四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，
∴四边形ABCD的面积＝25cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
12．C
【分析】把化为，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】解：
；
∵，
∴，即代数式有最大值为1．
故选C
【点睛】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，熟记配方法的步骤是解本题的关键．
13．2
【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴或，
解得，，
故答案为：．
15．且
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是 即可进行解答
【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根
得，
解得
则且
故答案为且
【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．
16．3
【分析】连接CF并延长交AB于G，证明△FDC≌△FBG，根据全等三角形的性质得到BG＝DC＝6，CF＝FG，求出AG，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG(ASA)
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．8
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴，
由反射知，
∴△ABP∽△CDP，
由相似三角形对应边的比相等可得，即，
解得CD=8m，
故答案为：8．
18．24
【分析】过点作，设，则，，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，，，从而求解．
【详解】解：过点作，
设，
∵，
∴，，
在中，，
，
地在正中位置，
，
又∵，
，
∴，
∴，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．
故答案为：24．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
19．（1）－2＋2；（2）10
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算；
（2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算．
【详解】解：（1）原式＝6－8＋2＝－2＋2；
（2）原式．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
20．，
【分析】利用配方法变形为，再直接开平方即可求．
【详解】解：
，
，
，
所以，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）CD＝2．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
22．（1）5（2）72°；40（3）
【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；
（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；
（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）
∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）
故答案为：5；
（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为
m=，
故答案为：72°；40；
（3）根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）=．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法．
23．（1）(300+30x) ，(20-x) ；（2）定价为52元.
【分析】（1）根据“每降价1元，每星期可多卖30个”求出降x元多卖出台灯的个数，然后再加上300即可得出每星期卖出台灯的总数；用降价前的利润减去降价数即可得到每个台灯的利润；
（2）设每个台灯降x元，根据题意列出方程，求解后结合“顾客得实惠的前提”取舍即可.
【详解】（1）∵每降价1元，每星期可多卖30个．
∴每个台灯降x元(),则可多卖出30x个，
∴每星期能卖出（300+30x）个台灯，
降价前每个台灯的利润为：60-40=20元，
由于每个台灯降价x元，所以降价后每个台灯的利润为：（20-x）元；
（2）设每个台灯降x元，根据题意得，
(20-x)(300+30x)=6480,
解得x=8,x=2(舍去）
∴定价为52元
答：在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为52元
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．（1） ；（2）见解析，
【分析】（1）根据tan15°= tan∠D=，再代入数值计算即可；
（2）在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=，根据tan22.5°=计算即可．
【详解】解：（1）tan15°= tan∠D=== = ．
（2）在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD=，
∴tan22.5°=，
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角．
25．问题背景：见解析；尝试应用：3
【分析】（1）问题背景：由题意得出，，则，可证得结论；
（2）尝试应用：连接，证明，由（1）知，由相似三角形的性质得出，，可证明，得出，则可求出答案．
【详解】问题背景
证明：，
，，
，，
；
尝试应用
解：如图1，连接，
，，
，
由（1）知，
，，
在中，，
，
．
，，
，
．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（1）EC =，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）四边形APFD是菱形，证明见解析；
（3）a=3或7．
【分析】（1）PC在BC上运动时，只需要用勾股定理表示PE2＝PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把a＝3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值，进而判断即可．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到2，再分情况讨论，从而求出a的值．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵BP＝a，
∴PC＝5﹣a，DE＝4﹣CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，∠1+∠2＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴EC，
自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）如图1，当a＝3时，EC，
∴DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF＝3，
∴PF＝AD＝5，
∴四边形APFD是平行四边形，
∵AP5，
∴AP＝PF，
∴平行四边形APFD是菱形；
（3）如图2，根据tan∠PAE，可得：2，
∵∠APB+∠BPE＝90°，∠CEP+∠EPC＝90°，
∴∠CEP＝∠APB，
又∵∠ABP＝∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴2
于是：2 ①或 2 ②
解得：a＝3，EC＝1.5或 a＝7，EC＝3.5．
∴a＝3或7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．