福建省漳州市2023-2024学年九年级上学期数学期末考试模拟试卷

这是一份福建省漳州市2023-2024学年九年级上学期数学期末考试模拟试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若 x:y=3:2 ，则 x−yy 的值为（ ）
A．23B．12C．13D．2
2．下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形
3．一元二次方程 x2−2x−3=0 配方后可变形为（ ）
A．(x−1)2=2B．(x−1)2=4C．(x−1)2=1D．(x−1)2=7
4．若反比例函数 y=1−mx 的图像在第一、第三象限，则 m 可能取的一个值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cs∠BAC的值为（ ）
A．43B．34C．35D．45
6．若点 (−2,y1),(−3,y2),(2,y3) 都在反比例函数 y=kx(k<0) 图象上，则 y1,y2,y3 的大小关系为（ ）
A．y3>y1>y2B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y1>y2>y3
7．如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的坡度为 i=1:2.5 ，过点B作 BC⊥AC ，垂足为点C.若大厅水平距离 AC 的长为 7.5m ，则两层之间的高度 BC 为（ ）
A．3mB．4mC．5mD．6m
8．如图，以点O为位似中心，把 △ABC 放大2倍得到 △A′B′C′ ，则以下说法中错误的是（ ）
A．AB//A′B′B．△ABC∽△A′B′C′
C．AO:AA′=1:2D．点 C,O,C′ 三点在同一直线上
9．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ）
A．1个单位B．2个单位C．3个单位D．4个单位
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 BD//x 轴，若 A(1,0),D(0,2) ，则点C的坐标为（ ）
A．(4,3)B．(4,4)C．(3,4)D．(2.5,4)
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．若sinA= 32 ，则锐角∠A= °.
12．若正方形 ABCD 的对角线 AC 的长为4，则该正方形的面积为 .
13．如图，在 △ABC 中， D,E 分别为 AB,AC 边上的中点，则 △ABC 与 △ADE 的周长的比值是 .
14．若关于x的方程 x2+mx−n=0 有一个根是3，则 3m−n 的值是 .
15．从 −1,2,3,−6 这四个数中任取两数，积为6的概率是 .
16．如图，点A在双曲线 y=−2x(x<0) 上，连接 OA ，作 OB⊥OA ，交双曲线 y=kx(k>0) 于点B，若 OB=2OA ，则k的值为 .
三、解答题（共9题，满分86分）
17．（8分）解方程： x2+2x=0 .
18．（8分）如图，在 ▱ABCD 中，过点B作 BE⊥AD ，垂足为E，过点C作 CF⊥AB ，交 AB 的延长线于点 F,BE=CF .求证：四边形 ABCD 是菱形.
19．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深儿何？”它的大意是：如图，已知四边形 BCDE 是矩形， CD=5 尺， AB=5 尺， BF=0.4 尺，求井深 BC 为多少尺？
20．（8分）如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° .
（1）求作点D，使四边形 ABCD 是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接 BD ，若 AB=3,tan∠BAC=13 ，求 BD 的长.
21．（8分）新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习.为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）.
（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于 50% 的概率；
（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为 3:5 ，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在 20% 以下的共有多少人？
22．（10分）阅读下面材料，并完成问题.
任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形 A,B 是“兄弟矩形”.
探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？
小亮同学是这样探究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 x+y=4①xy=72②
由①，得 y=4−x ，③
把③代入②，得 x(4−x)=72 ，
整理，得 2x2−8x+7=0 .
∵b2−4ac=64−56=8>0 ，
∴A 的“兄弟矩形”B存在.
（1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？
（2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求 m,n 应满足的条件.
23．（10分）平安路上，多“盔”有你.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且 1⩽m<5 ），帮助做“交通安全”宣传.捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值.
24．（12分）在 △ABC 中， AB=AC,∠BAC=90° ，点D在边 BC 上，且不与点 B,C 重合，以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接 CF .
（1）如图1，求证： CF⊥BC ；
（2）若直线 DE 与直线 CF 相交于点 P,AC=82,CD=a ，求 CP 的长.（用只含a的式子表示）
25．（14分）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(−3,n),B(2,n) 两点.
（1）求b的值；
（2）当 −1（3）若方程 x2+bx+c=0 的两实根 x1,x2 满足 3⩽x2−x1<9 ，且 p=x12−3x22 ，求p的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵x:y=3:2 ，
∴x−yy=3−22=12 ；
故答案为：B.
【分析】根据比例的性质，设x=3，y=2，代入原式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，只是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合。
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2−2x−3=0 ，
∴x2−2x+1=3+1 ，
∴(x−1)2=4 ，
故答案为：B.
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1 ，然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y=1−mx 的图像在第一、第三象限，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
四个选项中，只有0＜1，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的图象可知1﹣m＞0，再求出m的范围即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＝3，CD＝4，
∴由勾股定理可知： AC=AD2+CD2=32+42=5 ，
∴cs∠BAC＝ ADAC=35 ，
故答案为：C.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理先求出AC，然后在Rt△ADC中求cs∠BAC即可.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点 (−2,y1),(−3,y2),(2,y3) 都在反比例函数 y=kx(k<0) 图象上，
∴(2,y3) 在第四象限， (−2,y1), (−3,y2) 在第二象限，
∴y3 ＜0， y1> 0， y2 ＞0，且在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵-2＞-3，
∴y1>y2 ，
∴y1>y2>y3 ，
故答案为：D.
【分析】根据图象分布，确定(2，y3)在第四象限，(-2，y1)， (-3，y2)在第二象限，从而确定y3最小，根据反比例函数的性质，确定y1>y2 ，从而得到答案.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵AB 的坡度为 i=1：2.5 ，过 B 点作 BC⊥AC ，垂足为点C，大厅水平距离 AC 的长为 7.5m ，
∴BC：AC=1：2.5 ，
则 BC=7.5÷2.5=3 （m）.
故答案为：A.
【分析】直接利用坡度的定义求得BC：AC=1：2.5 ，代入数据求解即可.
8．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′=1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O.
∴A、B、D正确，C错误
故答案为：C.
【分析】根据位似的性质可得△ABC∽△A'B'C'，然后根据相似三角形的性质分别进行分析判断即可解答.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由表格可得点 (0,3) 与点 (2,3) 是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线 x=0+22=1 ，
∴点 (1,4) 是二次函数的顶点，
设二次函数解析式为 y=a(x−1)2+4 ，代入点 (−1,0) 可得： a=−1 ，
∴二次函数解析式为 y=−(x−1)2+4 ，
∵该二次函数图象向左平移后通过原点，
∴设平移后的解析式为 y=−(x−1+b)2+4 ，
代入原点可得： 0=−(−1+b)2+4 ，解得： b1=3,b2=−1 (舍去)，
∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度；
故答案为：C.
【分析】由表格可得点(0，3)与点(2，3)是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线x=2+02=1，进而可得点(1，4)是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为y=a(x-1)2 +4 , 然后代入点(-1，0)可得二次函数解析式，最后问题可求解.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAO+∠BAF=90°，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAF，
∴△ADO∽△BAF，
∴OA：BF=OD：FA，
∵BD//x 轴，若 A(1,0),D(0,2) ，
∴OA=1，OD=2,BF=2，
∴1：2=2：FA，
∴FA=4，
∴点B（5,2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴点E是BD的，AC的中点，
∴点E（ 52 ,2），
设点C的坐标为（m，n），
∴m+12=52,n+02=2,
∴m=4，n=4,
∴点C的坐标为（4，4），
故答案为：C.
【分析】过点B作BF⊥x轴，垂足为F，证明△ADO~△BAF，确定点的坐标，再利用中点坐标公式确定点E的坐标，最后二次运用中点中点坐标公式即可确定点C的坐标.
11．【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：若sinA= 32 ，则锐角∠A=60°，
故答案为：60.
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠A的度数.
12．【答案】8
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的一条对角线的长为4，
∴这个正方形的面积= 12 ×4²=8.
故答案为：8.
【分析】正方形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可.
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为 AB 、 AC 边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ 12 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=12 ，
∴C△ABCC△ADE=BCDE=2 ，
∴△ABC 与 △ADE 的周长的比值是2，
故答案为：2.
【分析】由相似三角形的性质可知，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，结合三角形中位线定理即可求解.
14．【答案】-9
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵3是方程 x2+mx−n=0 的一个根，
∴9+3m−n=0 ，
∴3m−n=−9 ；
故答案是-9.
【分析】 因为一元二次方程有一根为3， 把x=3代入原方程，再整理化简即得结果.
15．【答案】13
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：树状图如图所示
共有12个等可能的结果，其中积为6的结果有4个，
∴任取两个数，积为6的概率为 412=13
故答案为： 13.
【分析】根据题意先画出树状图，表示出所有等可能的结果数，再找出两个数的积为6的结果数，最后求概率即可.
16．【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作 AE⊥x 轴，过点B作 BF⊥x 轴，
∵OB⊥OA ，
∴∠AOB=90° ，
∴∠2+∠3=90° ，
∵∠1+∠2=90° ，
∴∠1=∠3 ，
∴△AEO∼△OFB ，
∵A在 y=−2x(x<0) 上，
设 A(x1,−2x1)(x1<0) ，
∴OE=|x1| ， AE=|−2x1| ，
∵OB=2OA ，
∴EOFB=AEOF=AOOB=12 ，
∴FB=2EO=2|x1|=−2x1 ，
OF=2AE=2|−2x1|=−4x1 ，
∴B的坐标为 (−4x1,−2x1) ，
将点B的坐标代入 y=kx(k>0) ，
则 k=−4x1×(−2x1)=8 ；
故答案是8.
【分析】过点A作AE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，先证明△AEO∼△OFB ，再利用相似三角形的性质把B点坐标用x1表示，最后把B点坐标代入反比例函数式求k即可;
17．【答案】解：方法一：
原方程可化为 x(x+2)=0 .
∴x1=0,x2=−2 .
方法二：
配方，得 x2+2x+1=0+1 ，
即 (x+1)2=1 .
直接开平方，得 x+1=±1 ，
∴x1=0,x2=−2 .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用分解因式法或配方法解一元二次方程皆可.
18．【答案】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC .
∴∠A=∠CBF .
又∵BE⊥AD ， CF⊥AB
∴∠BEA=∠CFB=90° .
在△BEA与△CFB中
∠BEA=∠CFB∠A=∠CBFBE=CF
∴△ABE≌△BCF （AAS）
∴AB=BC .
∴四边形 ABCD 是菱形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，结合垂直的定义，利用角角边定理证明△ABE≌△BCF，得出AB=BC，则可证明四边形 ABCD 是菱形.
19．【答案】解：
方法一：
∵ 四边形 BCDE 是矩形， ∴BF//CD ，
∴△ABF∽△ACD ，
∴ABAC=BFCD ，
即 AC=AB⋅CDBF=5×50.4=62.5 .
∴BC=AC−AB
=62.5−5
=57.5 （尺）.
答：井深 BC 为57.5尺.
方法二：
∵ 四边形 BCDE 是矩形， ∴BF//CD ，
∴△ABF∽△DEF ，
∴ABDE=BFEF ，
即 DE=AB⋅EFBF
=5×(5−0.4)0.4=57.5 .
∴BC=DE=57.5 （尺）.
答：井深 BC 为57.5尺.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】方法一：根据题意可知△ABF∽△ACD，根据相似三角形的性质可求AC，进一步得到井深；
方法二：根据题意证明△ABF∽△DEF，根据相似三角形的性质求出DE，则知井深BC.
20．【答案】（1）解：如图所示，
四边形 ABCD 就是所求作的矩形；
（2）解：
在 Rt△ABC 中，
∵AB=3, tan∠BAC=13 ，
∴BC=1 ，
∴AC=AB2+BC2=10 ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BD=AC=10 .
【知识点】勾股定理；矩形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】( 1 )分别以点A、C为圆心，BC、 AB长为半径画弧交于一点D ，然后连接即可；
(2)利用三角函数求出BC=1，然后根据矩形的性质及勾股定理可求解即可.
21．【答案】（1）解：估计该生的参与度不低于 50% 的概率为 14+1350=2750 ；
故答案为： 2750
（2）解：∵选择“录播”的学生数为 1200×33+5=450 ，
选择“直播”的学生数为 1200×53+5=750 .
∴ 选择“录播”参与度在 20% 以下的学生数为 450×550=45 ，
选择“直播”参与度在 20% 以下的学生数为 750×250=30 .
45+30=75 ，
∴ 估计参与度均在 20% 以下的学生共有75人.
故答案为75人
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】 （1）用表格中“录播”教学方式学生参与度在50%以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（2）先根据“录播”和“直播”的人数之比为3：5及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
22．【答案】（1）解：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 x+y=52xy=3.②,①
由①，得 y=52−x ，③
把③代入②，得 x(52−x)=3 ，
整理，得 2x2−5x+6=0 ，
∵b2−4ac=25−48=−23<0 ，
∴A 的“兄弟矩形”B不存在.
（2）解：设所求矩形的两边分别是x和y，
由题意，得 x+y=m+n2,①xy=mn2.②
由①，得 y=m+n2−x ，③
把③代入②，得 x(m+n2−x)=mn2 ，
整理，得 2x2−(m+n)x+mn=0 ，
∵b2−4ac=(m+n)2−8mn=m2−6mn+n2 ，
又 ∵x,y 都是正数，
∴ 当 m2−6mn+n2⩾0 时，A的“兄弟矩形”B存在.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】( 1 )按照小亮的方法，列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式判断即可；
（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式得出m,n 应满足的条件.
23．【答案】（1）解：设每顶头盔应降价x元.
根据题意，得 (100+20x)(68−x−40)=4000 .
解得 x1=3,x2=20 .
当 x=3 时， 68−3=65 ；
当 x=20 时， 68−20=48 ；
∵ 每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元.
（2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价a元，根据题意，得
w=[100+20(68−a)](a−40−m)
=−20a2+(20m+2260)a−1460(40+m)
∵ 抛物线对称轴为直线 a=m+1132 ，开口向下，
当 a⩽58 时，利润仍随售价的增大而增大，
∴m+1132⩾58 ，解得 m⩾3 .
∵1⩽m<5, ∴3⩽m<5 .
∵m 为整数， ∴m=3 或4.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68-x-40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，根据每周销售头盔获得的利润=每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程求解，结合每顶售价不高于58元，即可确定x的值；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，利用每周销售头盔获得的利润=每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出w关于a的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，求解得出m的取值范围，再结合1≤m＜5且m为整数，即可得出m的值．
24．【答案】（1）证明：如图1，
∵ 四边形 ADEF 是正方形，
∴∠DAF=90°,AD=AF .
∴∠1+∠2=90° .
∵∠BAC=90°,
∴∠3+∠2=90° .
∴∠1=∠3 .
∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAF ，
∴∠B=∠4 .
∵∠BAC=90°,
∴∠BCF=∠4+∠ACB=∠B+∠ACB=90° .
∴CF⊥DC .
（2）解：作 AQ⊥BC 于Q.
∵△BAC 是等腰直角三角形， AC=82 ，
∴AQ=CQ=8 .
①如图2，当点D在 AQ 的左侧时， a>8, DQ=a−8 .
∵∠1+∠2=90°, ∠P+∠1=90° ，
∴∠2=∠P .
∵∠DQA=∠PCD=90° ，
∴△AQD∽△DCP ，
∴AQDC=DQPC ，
即 8a=a−8PC,
∴PC=18a2−a .
②如图3，当点D在 AQ 的右侧时， a<8,DQ=8−a .
∵∠1+∠2=90°, ∠CPD+∠1=90° ，
∴∠2=∠CPD .
∵∠DQA=∠PCD=90° ，
∴△AQD∽△DCP ，
∴AQDC=DQPC ，
即 8a=8−aPC ，
∴PC=−18a2+a .
③如图4，当点D与点Q重合时，点 E,C,P 三点重合，
此时 CP=0 .
综上所述， PC=18a2−a 或 PC=−18a2+a 或0.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，结合两角互余的性质证明△BAD≌△CAF，得出∠B=∠4，然后利用互余的性质即可得出结果；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出AQ，然后分三种情况讨论 ①当点D在 AQ 的左侧时，②点D在 AQ 的右侧时，当点D与点Q重合时，点 E,C,P 三点重合，先证明△AQD∽△DCP，然后根据相似三角形的性质列比例式求出PC的表达式即可.
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过 A(−3,n),B(2,n) 两点，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−12 .
∴−b2=−12 .
∴b=1 .
（2）解：由（1）得，抛物线的解析式为 y=x2+x+c ，
∵ 对称轴为直线 x=−12 ，且当 −1抛物线与x轴有且只有一个公共点，
①当公共点是顶点时，
∴△=1−4c=0 ，解得 c=14 .
②当公共点不是顶点时，
∴ 当 x=−1 时， 1−1+c⩽0 ，且当 x=1 时， 1+1+c>0 .
解得 −2综上所述，c的取值范围是 c=14 或 −2（3）解：解法一：由（1）知 b=1 ，设 y=x2+x+c .
∵ 方程 x2+x+c=0 的两实根为 x1，x2 ，
∴ 抛物线 y=x2+x+c 与x轴交点的横坐标为 x1,x2 ，
∴x1+x22=−12 ，即 x1+x2=−1 .
∴x2=−1−x1 .
∵3⩽x2−x1<9 ，
∴3⩽(−1−x1)−x1<9 .
∴−5∴p=x12−3x22
=x12−3(−1−x1)2
=−2(x1+32)2+32 .
∵ 当 −5∴ 当 x1=−2 时，p的最大值为1.
解法二：由（1）知 b=1 .
∵ 方程 x2+x+c=0 的两实根为 x1,x2 ，
∴x12+x1+c=0 ，即 x12=−x1−c ，①
x22+x2+c=0 ，即 x22=−x2−c②
①－②，得 x12−x22=−(x1−x2) ，
∴(x1+x2)(x1−x2)=−(x1−x2) .
∵3⩽x2−x1<9 ，
∴x1−x2≠0 .
∴x1+x2=−1 .
即 x1=−1−x2 .
∴3⩽x2−(−1−x2)<9
∴1⩽x2<4
∴p=x12−3x22
=(−1−x2)2−3x22
=−2(x2−12)2+32
∵ 当 1⩽x2<4 时，p随 x2 的增大而减少，
∴ 当 x2=1 时，p最大值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）由A、B两点的纵坐标相等，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，根据对称轴公式即可求出b值；
（2）分两种情况求解，即①当公共点是顶点时，根据△=0，即可求出c值；②当公共点不是顶点时，由数形结合可得当x=-1时，y≤0，当x=1时，y＞0，据此列不等式求出c的取值范围；
（3）方法一：根据对称轴x=x1+x22=−12 ，把x2用含x1的代数式表示，代入p=x12−3x22 ，得出关于p与x1的二次函数，结合3⩽x2−x1<9 得出x1的范围，根据二次函数的性质即可求出p的最大值；
方法二：把x1和x2分别代入方程，联立把x2用含x1的代数式表示，代入p=x12−3x22 ，得出关于p与x1的二次函数，结合3⩽x2−x1<9 得出x1的范围，根据二次函数的性质即可求出p的最大值；x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
0~20%
20%~50%
50%~80%
80%~100%
录播
5
18
14
13
直播
2
15
21
12