2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区侨谊中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区侨谊中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )
A. 43
B. 45
C. 34
D. 35
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=35,AB=10，则△ABC的面积为( )
A. 24
B. 30
C. 40
D. 48
3.抛物线y=(x−4)2−5的顶点坐标和开口方向分别是( )
A. (4,−5)，开口向上B. (4,−5)，开口向下
C. (−4,−5)，开口向上D. (−4,−5)，开口向下
4.王明同学遇到了这样一道题， 3tan(α+10°)=1，则锐角α的度数为( )
A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°
5.如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长AB=CD=m(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离EF的长度为( )
A. msinα
B. mcsα
C. msinα
D. mcsα
6.如图，函数y=ax2+3x+1和y=ax−a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m(m为常数)的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有( )
A. 最大值5B. 最大值154C. 最小值5D. 最小值154
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB=1：3，连接AC，过点O作OP/​/AB交AC的延长线于点P.若P(1,1)，则tan∠ACO的值是( )
A. 13
B. 3
C. 12
D. 2
9.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，则信号塔AB的高度约为( )
(参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93)
A. 23米B. 24米C. 24.5米D. 25米
10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则( )
A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2
C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.将一次函数y=2x的图象向上平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为______ ．
12.已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过(1,1)点；②当x>1时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数：______．
13.若x+y=2，则xy+1的最大值为______ ．
14.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为6cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2(结果保留根号)．
15.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若BD的坡度是1：2，则tan∠DEC的值是______ ．
16.如图，已知点A(4,3)，点B为直线y=−2上的一动点，点C(0,n)，−217.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE/​/BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE=73，则tanA= ______ ．
18.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如图中的函数是有界函数，其边界值是1.则函数y=x+2(−4≤x≤2)的边界值______ ；将函数y=x2(−1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是l，若34≤t≤1，则m的取值范围______ ．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)sin60°⋅cs30°−12；
(2)2cs230°−2sin60°⋅cs45°．
20.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程：
(1)x2−3x+2=0；
(2)(x−3)2+4x(x−3)=0．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5．
(1)求证：BE⊥CD；
(2)求sin∠DAE．
22.(本小题10分)
如图，已知△ABC．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则cs∠OBC= ______ .(如需画草图，请使用图2)
23.(本小题10分)
如图所示，A(−1,0)，B(2,−3)两点在二次函数y1=ax2+bx−3与一次函数y2=−x+m图象上．
(1)求m的值和二次函数的解析式．
(2)请直接写出使y1>y2时，自变量x的取值范围．
(3)二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．
24.(本小题10分)
如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：BC2=AB⋅BD；
(3)若PA=6，PC=6 2，求BD的长．
25.(本小题10分)
如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
(1)求BC的高度；(结果精确到个位，参考数据： 3≈1.73)
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1.25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
26.(本小题10分)
某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元/kg.经市场调查发现：该商品的日销售量y(kg)是售价x(元/kg)的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)x为多少时，当天的销售利润w(元)最大？最大利润为多少？
(3)由于产量日渐减少，该商品进价提高了a元/kg(a>0)，物价部门规定该商品售价不得超过36元/kg，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若日销售最大利润是864元，求a的值．
27.(本小题10分)
如图，平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx−5(a>0,b<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，过抛物线的顶点P且与y轴平行的直线l交BC于点D，且满足BD：CD=3：2．
(1)若∠ACB=90°，求抛物线的解析式；
(2)问：OC和DP能否相等？若能，请求出该抛物线的函数解析式，若不能，请说明理由．
28.(本小题12分)
【问题背景】已知二次函数y=x2−2mx+m2−4(m为常数)．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛.以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家______ 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”(请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上)
A.华罗庚
B.陈景润
C.苏步青
D.陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为x=1，关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4−t=0(t为实数)在−3(3)若该二次函数自变量x的值满足−3≤x≤−1时，与其对应的函数值y的最小值为12，则m的值为______ ．
【拓展应用】
(4)当m=1时，二次函数图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点(不与B、C重合)，连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，△DEF为等腰三角形时，求线段DF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由图可知：BC=4，AB=3，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，tanA=BCAB=43．
故选：A．
先根据题图判断三角形的形状，得到三角形的边长，再根据三角函数的定义，求出∠A的正切函数值．
本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°,sinA=35,AB=10，
∴BC=AB⋅sinA=10×35=6，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∴△ABC的面积为：AC⋅BC2=8×62=24，
故选：A．
根据锐角三角函数可以计算出BC的长，再根据勾股定理可以得到AC的长，然后即可计算出△ABC的面积．
本题考查解直角三角形、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，计算出AC和BC的长．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，根据y=a(x−h)2+k，a>0时图象开口向上，a<0时图象开口向下，顶点坐标是(h,k)进行作答即可．
【解答】
解：由y=(x−4)2−5，得
开口方向向上，
顶点坐标(4,−5)．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：∵tan30°= 33，
∴ 3tan30°=1，
∵ 3tan(α+10°)=1，
∴α+10°=30°，
∴α=20°，
故选：C．
根据tan30°= 33得到 3tan30°=1，根据题意计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°的正切值为 33是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，AE=AB=m．
在Rt△AEF中，
∵sin∠EAB=EFAE，
∴EF=sinα⋅m=msina．
故选：A．
在Rt△AEF中利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2+3x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+3x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−32a<0，故选项错误；
C、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+3x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−32a<0，和x轴的正半轴相交，故选项正确；
D、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+3x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：C．
可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax−a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得：6=m2−m，
解得：m1=3，m2=−2，
∵二次函数y=x2+mx+m2−m，对称轴在y轴左侧，
∴m>0，
∴m=3，
∴y=x2+3x+6，
∴二次函数有最小值为：4ac−b24a=4×1×6−324×1=154．
故选：D．
将(0,6)代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m=3，再利用公式法求出二次函数最值．
此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵OP/​/AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴OCBC=CPAC，
∵OC：OB=1：3，
∴OCBC=12，
∴CPAC=12，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
∴∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ：AO=CP：AC=1：2，∠ACO=∠APQ，
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2OQ=2，
∴AQ=3，
∴tan∠APQ=PQAQ=13，
∴tan∠ACO=tan∠APQ=13．
故选：A．
根据OP/​/AB，证明出△OCP∽△BCA，结合OC：OB=1：3得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，则可求得AQ=3，根据正切的定义即可得到tan∠APQ的值，从而可求tan∠ACO的值．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
过点E作EF⊥DC交CD的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4可设EF=x，则DF=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM=FC，CM=EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【解答】
解：过点E作EF⊥DC交CD延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，DE=CD=78米，
∴设EF=x，则DF=2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2=DE2，即x2+(2.4x)2=782，
解得x=30(舍去负值)，
∴EF=30米，DF=72米，
∴CF=DF+DC=72+78=150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM=CF=150米，CM=EF=30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM=43°，
∴AM=EM⋅tan43°≈150×0.93=139.5米，
∴AC=AM+CM=139.5+30=169.5米．
∴AB=AC−BC=169.5−144.5=25米．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数和二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．
先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．
【解答】
解：∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
∴△=(a+b)2−4ab=(a−b)2>0，
∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，
∴M=2，
∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1，
∴当ab≠0时，△=(a+b)2−4ab=(a−b)2>0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；
当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；
综上可知，M=N或M=N+1．
故选：C．
11.【答案】y=2x+1
【解析】解：把一次函数y=2x，向上平移1个单位长度，得到图象解析式是y=2x+1．
故答案是：y=2x+1．
求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
12.【答案】y=−(x−1)2+1
【解析】解：符合条件的函数可以是一次函数、二次函数，如y=−x，y=−(x−1)2+1等．
故答案为：y=−(x−1)2+1．
可考虑一次函数、二次函数的解析式，本题答案不唯一，只要符合条件即可．
本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不唯一，只要满足条件即可．
13.【答案】2
【解析】解：∵x+y=2，
∴x=2−y，
∴xy+1=(2−y)y+1=−y2+2y+1=−(y−1)2+2，
∴当y=1时，xy+1的最大值为2，
故答案为：2．
根据题意可得x=2−y，代入可得xy+1=−(y−1)2+2，根据二次函数的性质即可得出答案．
本题考查二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．
14.【答案】(4+8 2)
【解析】解：如图，EF=DG=CH= 2，
∵含有45°角的直角三角板，
∴BC= 2，GH=2，
∴FG=6− 2−2− 2=4−2 2，
∴图中阴影部分的面积为：
12×6×6−12×(4−2 2)×(4−2 2)=16−12+8 2=4+8 2(cm2)，
故答案为：(4+8 2).
阴影部分的面积=外框大直角三角板的面积−内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．
本题考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长．
15.【答案】23
【解析】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE与△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB=ABAD=12，
设AB=a，则AD=2a，
∴BD= 5a，
∵S△ABD=12BD⋅AE=12AB⋅AD，
∴AE=CF=2 55a，
∴BE=FD= 55a，
∴EF=BD−2BE= 5a−2 55a=3 55a，
∴tan∠DEC=CFEF=23，
故答案为：23．
过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2a，易证△ABE≌△CDF(AAS)，从而可求出AE=CF= 3a，BE=FD=1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握三角形的相关应用是解题的关键．
16.【答案】53 12
【解析】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：
则∠AMC=90°，∠ANB=90°，
∵直线y=−2与x轴平行，
∴∠ABN=α，∠CGB=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACM+∠MAC=90°，∠ACM+∠BCG=90°，
∴∠CAM=∠BCG，
∵∠AMC=∠CGB=90°，
∴△AMC∽△CGB，
∴CMAM=BGCG，
设BG=m，
∵点A坐标为(4,3)，点C坐标为(0,n)，
∴AM=4，GC=n+2，CM=3−n，
∴3−n4=mn+2，
当n=2时，可得14=m4，
解得m=1，
∴GB=1，BN=3，
∴tanα=ANBN=53；
∵tanα=ANNB=5NB，
当BN最小，即BG最大时，tanα最大，
∵3−n4=mn+2，
∴m=−14(n−3)(n+2)=−14(n−12)2+2516，
∵−14<0，
∴当n=12时，m取得最大值，即tanα最大，
故答案为：53，12．
过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，易证△AMC∽△CGB，根据相似三角形的性质可得CMAM=BGCG，设BG=m，可得3−n4=mn+2，将n=2代入求出m的值，进一步根据tanα=ANBN求解即可；根据tanα=ANNB=5NB，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，因为m=−14(n−3)(n+2)=−14(n−12)2+2516，根据二次函数的性质即可求出tanα的值最大时n的值．
本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，本题目综合性强，难度较大．
17.【答案】3 77
【解析】解：过点G作GM⊥DE于M，如图，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE/​/BC，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴ED=EC，
∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
又∵∠DGE=∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴DGCG=GEDG，
∴DG2=GE×GC，
∵∠ABC=90°，DE/​/BC，
∴AD⊥DE，
∴AD//GM，
∴AGGE=DMEM，∠MGE=∠A，
∵AGGE=73，
∴DMEM=73，
设GE=3k，EM=3n，则AG=7k，DM=7n，
∴EC=DE=10n，
∴DG2=GE×GC=3k×(3k+10n)=9k2+30kn，
在Rt△DGM中，GM2=DG2−DM2，
在Rt△GME中，GM2=GE2−EM2，
∴DG2−DM2=GE2−EM2，
即9k2+30kn−(7n)2=(3k)2−(3n)2，
解得：n=34k，
∴EM=94k，
∵GE=3k，
∴GM= GE2−EM2= (3k)2−(94k)2=3 74k，
∴tanA=tan∠EGM=EMGM=94k3 74k=3 77．
故答案为：3 77．
过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2=GE×GC，根据AD//GM，得AGEG=DMEM=73，设GE=3k，AG=7k，EM=3n，DM=7n，则EC=DE=10n，在Rt△DGM中，GM2=DG2−DM2，在Rt△GME中GM2=GE2−EM2，则DG2−DM2=GE2−EM2，解方程求得n=34k，则EM=94k，GE=3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．
本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18.【答案】4 0≤m≤14或34≤m≤1
【解析】解：∵函数y=x+2(−4≤x≤2)，
∴−2≤y≤4，
∴边界值为4，
若m>1，图象向下平移m个单位后，x=0时，y<−m<−1，此时函数的边界值t>1，不合题意，故m≤1．
∴函数y=x2(−1≤x≤m,m≥0)，当x=−1时，ymax=1，当x=0时，ymin=0，
∴向下平移m个单位后，ymax=1−m，ymin=−m，
∵边界值34≤t≤1，
∴34≤1−m≤1或−1≤−m≤−34，
∴0≤m≤14或34≤m≤1，
故答案为：4，0≤m≤14或34≤m≤1．
判断出y的取值范围，可得函数y=x+2(−4≤x≤2)的边界值；先设m>1，函数向下平移m个单位后，x=0时，y=−m<−1，此时边界值t>1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y=x2所过的点，结合平移，即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，结合新定义，弄清函数边界值的定义，熟悉平移变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式= 32× 32−12
=34−12
=14；
(2)原式=2×( 32)2−2× 32× 22
=2×34− 62
=32− 62．
【解析】(1)直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案；
(2)直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20.【答案】解：(1)x2−3x+2=0，
(x−1)(x−2)=0，
∴x−1=0或x−2=0，
∴x1=1，x2=2；
(2)(x−3)2+4x(x−3)=0，
(x−3)(x−3+4x)=0，
∴x−3=0或5x−3=0，
∴x1=3，x2=35．
【解析】(1)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，DC/​/AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA
∴AD=DE=10，
∴BC=10，AB=CD=DE+CE=16，
∵CE2+BE2=62+82=100=BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
BE⊥CD；
(2)解：∵AB/​/CD，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE= AB2+BE2= 162+82=8 5，
∴sin∠DAE=sin∠EAB=BEAE=88 5= 55．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出DC=AB，AD=CB，DC/​/AB，推出∠DEA=∠EAB，再根据角平分线性质得出∠DAE=∠DEA，推出AD=DE=10，得出AB=CD=16，由勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)由平行线得出∠ABE=∠BEC=90°，由勾股定理求出AE= AB2+BE2=8 5，得出cs∠DAE=cs∠EAB，即可得出结果．
本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定、三角函数等知识点，证明AD=DE是解题的关键．
22.【答案】 144
【解析】解：(1)如图所示，⊙O即为所求；
(2)设AB，AC分别切⊙O于点E，F，连接OE，OF，则：OE⊥AB，OF⊥AC，OD=OE=OF，
由题意，得：OD⊥BC，BD=BE，AE=AF，CD=CF，
设BD=BE=x，
∴AE=AF=AB−BE=5−x，CD=CF=BC−BD=6−x，
∴AC=AF+CF=5−x+6−x=4，
∴x=72，
过点A作AG⊥BC于点G，则：∠AGB=∠AGC=90°，
设BG=a，则：CG=6−a，
∵AG2=AB2−BG2=AC2−CG2，
∴52−a2=42−(6−a)2，
解得：a=154，
∴AG= AB2−BG2=54 7，
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴BC⋅AG=(AB+BC+AC)⋅OD，即：6×5 74=(4+5+6)⋅OD，
∴OD= 72；
∴OB= OD2+BD2= ( 72)2+(72)2= 14，
∴cs∠OBC=BDOB=72 14= 144；
故答案为： 144．
(1)作∠ACB，∠ABC的角平分线，交于点O，过点O作BC的垂线，交BC于点D，以点O为圆心，OD为半径画圆，⊙O即为所求；
(2)如图，切线长定理求出BD的长，等积法求出OD，利用勾股定理求得OB的长，再利用cs∠OBC=BDOB，进行求解即可．
本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半径是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵A(−1,0)在一次函数y2=−x+m图象上
∴0=1+m
∴m=−1；
∵A(−1,0)，B(2,−3)两点在二次函数y1=ax2+bx−3图象上
∴a−b−3=04a+2b−3=−3，
解得：a=1b=−2；
∴二次函数的解析式为y1=x2−2x−3；
(2)由图象可得y1>y2时，自变量x的取值范围为x<−1或x>2；
(3)∵二次函数y1=x2−2x−3交y轴于C，
∴C(0,−3)，
又∵B(2,−3)，
∴BC⊥y轴，如图，
∴△ABC的面积为：12×2×3=3．
∴△ABC的面积为3．
【解析】(1)把A(−1,0)代入一次函数y2=−x+m，解方程即可求得m的值；把A(−1,0)，B(2,−3)分别代入二次函数y1=ax2+bx−3，得到关于a和b的方程组，解得a和b的值，则可得二次函数的解析式．
(2)根据函数图象，位于上方的函数值大，可直接得出答案．
(3)先利用二次函数交y轴于C，求得点C的坐标，再根据点B的坐标，可得BC⊥y轴，按照直角三角形面积公式计算即可得△ABC的面积．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应用，熟练掌握相关基础知识并数形结合是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC/​/BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
则BC平分∠PBD；
(2)证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴ABCB=BCBD，
即BC2=AB⋅BD；
(3)解：∵PC为圆O的切线，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∠ACB=90°=∠ACO+∠OCB，
∠OCB=∠PCA，
又∵∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC，
△PAC∽△PCB，
PCPA=PBPC，
∴PC2=PA⋅PB，即72=6PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB−PA=12−6=6，
∴OC=3，PO=PA+AO=9，
∵∠P=∠P，∠PCO=∠PDB=90°，
∴△OCP∽△BDP，
∴OCBD=OPBP，即3BD=912，
则BD=4．
【解析】(1)连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
(2)连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；
(3)由△PAC∽△PCB得到PC2=PA⋅PB，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB−PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．
此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，
得矩形EFCG，

∴EF=CG，EG=FC，
根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，
∴EG=12DE=20米，
∴DG= 3EG=20 3(米)，
∴EF=GC=GD+CD=(20 3+30)米，
∴BF=EF=(20 3+30)米，
∴BC=BF+FC=BF+EG=20 3+30+20=20 3+50≈85(米)，
答：BC的高度约为85米；
(2)根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263(秒)，
∵263<300，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
【解析】(1)作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，根据题意可得CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，然后利用特殊角三角函数即可解决问题；
(2)根据题意求出小开到图书馆所用时间，再与图书馆闭馆所剩5分钟进行比较，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
26.【答案】解：(1)①依题意设y=kx+b，
则有20k+b=8030k+b=60
解得：k=−2b=120
∴y关于x的函数解析式为y=−2x+120；
(2)根据题意得，
w=(−2x+120)×(x−16)
=−2x2+152x−1920
=−2(x−38)2+968，
∴当售价是38元/件时，日销售利润最大，最大利润是968元；
(3)根据题意得，
w=(−2x+120)×(x−16−a)
=−2x2+(152+2a)x−1920−120a
∵a>0，对称轴为直线x=−152+2a2×(−2)=38+a2>36，
又∵−2<0，售价不得超过36元/kg，
∴当x≤36时，w随x的增大而增大，
∴当x=36时，w有最大值864元，
∴−2×362+(152+2a)×36−1920−120a=864，
∴解得：a=2，
∴a的值为2．
【解析】(1)依题意设y=kx+b，用待定系数法即可得到结论；
(2)根据当天的销售利润等于销售量乘以每千克的利润列出w关于x的函数关系式，再配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；
(3)根据题意得，w=(−2x+120)×(x−16−a)，求出二次函数的对称轴，利用二次函数的性质可得关于a的方程，解出a即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并掌握二次函数的性质是解题的关键．
27.【答案】解：如图所示，设直线l交x轴于点E，
∵直线l/​/y轴，即DE//OC，
∴BDCD=BEOE=32，
∵直线l经过点P，
∴直线l是抛物线的对称轴，
∴BE=AE，
设BE=AE=3m，则OE=2m，AO=m，
当∠ACB=90°时，
∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∴△AOC～△COB，
∴AOCO=COBO，
故OC2=AO⋅BO，即52=m⋅(5m)，
解得：m= 5或m=− 5(舍去)，
∴A(− 5,0)，B(5 5,0)，
将A、B坐标代入y=ax2+bx−5得：
5a− 5b−5=0125a+5 5b−5=0，
解得：a=15，b=−4 55，
∴抛物线的解析式为y=15x2−4 55x−5；
(2)由(1)知：A(−m,0)，B(5m,0)，
设抛物线的解析式为y=a(x+m)(x−5m)，
将C(0,5)代入得：−5=−5m2a，
解得a=1m2，
∴y=1m2(x+m)(x−5m)
=1m2(x−2m)2−9，
故P(2m,−9)，即EP=9，
∵DE/​/OC，
∴△BDE∽△BCO，
∴DEOC=BDBC，且OC=5，
∵BD：CD=3：2，
∴DE=35OC=3，
∴PD=9−3=6，
∵5≠6，
∴OC≠DP，
故OC和DP不可能相等．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理结合对称轴的性质得到BDCD=BEOE=32，BE=AE，设BE=AE=3m，则OE=2m，AO=m，再证明△AOC～△COB，列比例式即可得到答案．
(2)由(1)知：A(−m,0)，B(5m,0)，从而得到抛物线解析式为y=1m2(x−2m)2−9，根据△BDE∽△BCO可以求得DE和DP的长，从而证明OC和DP不可能相等．
本题是二次函数与几何的综合题，考察了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，根据比例关系设未知数并利用相似三角形的性质建立方程是解决问题的关键．
28.【答案】A t<−4，或t≥12 m=−7，或m=3
【解析】解：(1)根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说，
故选：A；
(2)∵次函数的对称轴为x=1，
∴m=1，
∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3，
当−3∴要使得关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4−t=0(t为实数)在−3则t的取值范围是：t<−4，或t≥12；
(3)由y=x2−2mx+m2−4可知对称轴为：x=m，
∵−3≤x≤−1，
当m>−1时，在x=−1处取得最小值，即1+2m+m2−4=12，解得：m=3，或m=−5(舍)，
当−3≤m≤−1时，在x=m处取得最小值，即m2−2m2+m2−4=12，此时方程无解，
当m<−3时，在x=−3处取得最小值，即9+6m+m2−4=12，解得：m=−7，或m=1(舍)，
综上所述：m=−7，或m=3；
(4)当m=1时，二次函数为y=x2−2x−3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴直线BC的解析式为：y=x−3，
∵点D与原点O关于直线BC对称，设D(a,b)，
∴ba=−1b2=a2−3，
解得：a=−b=3，
∴D(3,−3)，
设点F(t,−3)，t>0，
∴直线OE为y=−3tx，
由y=−3txy=x−3，
可得E(3t3+t,93+t)，△DEF为等腰三角形时，
当DF=EF，可得：(3t3+t−t)2+(93+t−3)2=(t−3)2，
化简整理得：t2=3，
解得：t1= 3，t2=− 3(舍)，
∴DF=3− 3，
当DF=DE，可得：(3t3+t−3)2+(3−93+t)2=(t−3)2，
化简整理得：t2=27，
解得：t1=3 3，t2=−3 3(舍)，
∴DF=3 3−3，
综上所述：DF=3− 3，或DF=3 3−3．
(1)根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说；
(2)根据二次函数的对称轴为x=1，可求得m的值，然后利用二次函数在−3(3)根据对称轴x=m，−3≤x≤−1，分类讨论各种情况求得m的值；
(4)根据对称性先求得点D的坐标，然后设点F的坐标，利用等腰三角形的性质，分类可求得DF的长度．
本题考查了二次函数综合类问题，充分利用函数的对称轴和等腰三角形的性质是解决问题的关键．售价x(元/kg)
20
30
40
日销售量y(kg)
80
60
40