【备战2024年中职高考】中职数学 一轮复习专题训练（考点讲与练）专题29 直线与圆、圆与圆的位置关系（讲）.zip

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二、考点梳理
（一）、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内；点在圆上；点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值
（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值


思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）
3.以为直径两端点的圆方程为
（二）、直线与圆的位置关系
1.判断方法（为圆心到直线的距离）
（1）相离没有公共点
（2）相切只有一个公共点
（3）相交有两个公共点
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线与圆相切意味圆心到直线的距离恰好等于半径
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
= 1 \* rman i）点在圆外
如定点，圆：，[]
第一步：设切线方程
第二步：通过，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了.
如：过点作圆的切线，求切线方程.
答案：和
= 2 \* rman ii）点在圆上
若点在圆上，则切线方程为
注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
③求切线长：利用基本图形，
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题(最短,最长)：垂径定理及勾股定理
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________. 答案：
4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
（三）、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（为圆心距）
（1）外离 （2）外切
（3）相交 （4）内切
（5）内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
注：若与相切，则表示其中一条公切线方程；
若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
三、考点分类剖析
考点一、判断直线与圆的位置关系
【例1】直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离为，且圆心不在直线上，
所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心.
故选：C.
【变式练习1】圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
【变式练习2】直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【解析】曲线C：是圆心在上，半径的圆，
则圆心与直线l的距离，
，
曲线C与直线l相切，即只有一个交点，
故选：B
【变式练习3】直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（ ）
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【答案】C
【解析】圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.
圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝，
所以直线与圆相交.
故选：C
考点二、求直线与圆的交点坐标
【例2】已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
，
集合有3个元素，
所以集合的真子集的个数为7，
故选：C
【变式练习1】直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】由x2+y2-2x-4y=0得，
∴，
由得，
所以△ABC的面积为.
故选：C.
【变式练习2】直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得，
即，解得或，故方程组的解为或.
故选：C
考点三、过圆上一点求切线方程
【例3】
已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆可化为，
所以点与圆心连线所在直线的斜率为，
则所求直线的斜率为，
由点斜式方程，可得，
整理得.
故选：A.
【变式练习】经过点的圆的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
考点四、过圆外一点求切线方程
【例4】若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）
A．B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】圆的圆心是 ，半径是 ，
把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，
当直线斜率不存在时，
直线为 ，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
解得 或 ，
切线为或 ，
故选：D.
【变式练习】求过点且与圆相切的直线方程为______.
【答案】x＝4或3x+4y＝0
【解析】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：x＝4或3x+4y＝0.
考点五、求圆的弦长
【例5】直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为．
故选：C
【变式练习1】圆 被轴所截得的弦长为（ ）
A． B． C．4D．
【答案】D
【解析】的圆心和半径分别为， ，
因此圆被轴所截得的弦长为 ，
故选：D
【变式练习2】已知圆，直线经过点，则直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆的方程知圆心，半径为，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与的连线垂直于弦，
弦心距为：，
所以最短弦长为：.
故选：C.
考点六、直线与圆的位置关系求距离的最值
【例6】圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴圆上的点到
直线的距离最小值为，
故选：A.
【变式练习】点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，圆心，
所以圆心到的距离为，所以的最小值为.
故选：B.
考点七、圆与圆的位置关系
【例7】已知圆与圆，则两圆的位置关系为________．
【答案】相交
【解析】根据两圆的方程，
得，，，
，
两圆相交．
故答案为：相交.
【变式练习1】圆与圆的位置关系为______．
【答案】相离
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆心距离，
故两圆的位置关系是相离.
故答案为：相离.
【变式练习2】已知圆，圆，则它们有________条公切线．
【答案】2
【解析】因为，故，
故，，故，而两圆半径分别为，
故小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，两圆相相交，故两圆有2条公切线，
故答案为：2.
考点八、两圆的公共弦长
【例8】已知圆和交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将和相减得直线，
点到直线的距离，
所以．
故选：B
【变式练习】圆与圆的公共弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】联立，解得或，
故公共弦长等于.
故选：D.
考点九、圆的公切线条数
【例9】圆与圆的公切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径.
，所以，
所以两个圆相交，公切线有条.
故选：B
【变式练习1】与两圆和都相切的直线有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由题意知，，
所以圆心距,
所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
【变式练习2】圆与恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，
则圆心距，解得，
故选:D.
考点十、相交圆的公共弦方程
【例10】过圆与圆交点的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】联立，解得或，
所以圆与圆交点为和，
所以过两圆交点的直线方程为，即.
故选：C
【变式练习1】圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2+4y=0的公共弦所在的直线方程是（ ）
A．x+2y=0B．x-2y=0
C．2x+y=0D．2x-y=0
【答案】A
【解析】因为x2+y2-2x=0，x2+y2+4y=0，所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0，所以x+2y=0，即所求直线方程为x+2y=0.
故选：A
【变式练习2】圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】变形为，圆心为，
变形为，圆心为，
公共弦AB的垂直平分线即为直线，
即，整理得.
故选：D
考试内容
考试要求
1.直线与圆的位置关系判定
2.直线与圆相交弦长
3.圆的切线方程
4.两圆的位置关系
5.圆的公切线方程
6.含参数的圆的一般方程
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握
掌握